軸對(duì)稱（解析版）-2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題分類匯編

專題03軸對(duì)稱

等■（等邊）三角形

8

■

題型歸納.

砒

經(jīng)典基礎(chǔ)題

I

題型01軸對(duì)稱圖形

1.（2023秋?紅花崗區(qū)期中）下列四個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

A.±B.C.2D.

【分析】利用軸對(duì)稱圖形的概念可得答案.

【解答】解：四個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是：±,

故選：A.

2.（2023秋?鐘山區(qū)期中）下列四個(gè)漢字中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（)

A.c.中D.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)

圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：4不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

8、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確;

。、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

3.（2023春?綏陽(yáng)縣期中）下列四個(gè)騰訊軟件圖標(biāo)中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（

c."

A.B.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：4不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B.不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

4.(2023秋?花溪區(qū)期中)甲骨文是我國(guó)目前發(fā)現(xiàn)最早的文字，其顯著特點(diǎn)是圖畫性強(qiáng)，下列甲骨文圖畫是

軸對(duì)稱圖形的是()

【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這

條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱.

【解答】解：4該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.該圖形是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

C.該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

軸對(duì)稱變換作圖

1.(2023秋?綏陽(yáng)縣期中)AABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)A(-2,2),點(diǎn)8(-3,-1),

點(diǎn)C(-1,1).

(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的B'C,并寫出點(diǎn)A'的坐標(biāo);

(2)求出△ABC的面積.

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案.

（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可.

【解答】解：（1）如圖，B'C'即為所求.

點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（2,2）.

⑵△48C的面積為（1+2）X3-1-X2X2-yXIX1=2.

2.（2023秋?紅花崗區(qū)期中）如圖，已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,

4）.

（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△ALBICi,并寫出Ci的坐標(biāo)；

（2）在x軸上有一點(diǎn)P,使得尸8+PC的和最小，畫出點(diǎn)P的位置.（用實(shí)線保留畫圖的痕跡）

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案.

（2）取點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8，連接8C,交x軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所求.

【解答】解：（1）如圖，△481。即為所求.

Ci的坐標(biāo)為（-3,2）.

（2）如圖，取點(diǎn)B關(guān)于無軸的對(duì)稱點(diǎn)8,連接B'C,交x軸于點(diǎn)尸，連接BP,

止匕時(shí)P8+PC=PB+PC=CB',為最小值，

則點(diǎn)P即為所求.

3.（2023春?六盤水期中）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在小正方形的頂點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按下列要求

畫圖.

（1）畫△481C1,使它與△ABC關(guān)于直線/成軸對(duì)稱；

（2）在直線/上找一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和最短；

（3）在直線/上找一點(diǎn)Q,使點(diǎn)。到邊AC、BC的距離相等.

【分析】（1）分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4,Bi,G即可.

（2）連接4B交直線/于點(diǎn)P,點(diǎn)尸即為所求作.

（3）NACB的角平分線與直線/的交點(diǎn)。即為所求作.

【解答】解：（1）如圖，△481C1即為所求作.

(2)如圖，點(diǎn)P即為所求作.

(3)如圖，點(diǎn)。即為所求作.

4.(2023秋?綏陽(yáng)縣期中)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.A、B、C三點(diǎn)在格點(diǎn)上.

(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱圖形△481Q；

(2)寫出點(diǎn)4、Bi、Ci的坐標(biāo)；

(3)作點(diǎn)Bi關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8,，連接A3,交無軸于點(diǎn)P,連接B1P,點(diǎn)P即為所求.

【解答】解：(1)如圖，△4B1C1即為所求.

(2)Ai(-2,4)、Bi(-1,1)、Ci(-3,2).

（3）如圖，點(diǎn)P即為所求.

線段的垂直平分線

1.（2024春?清鎮(zhèn)市期中）如圖，P為線段的垂直平分線上一點(diǎn)，若PB=3c?n,則出的長(zhǎng)為（

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：；尸為線段A8的垂直平分線上一點(diǎn)，PB=3cm,

.'.PA=PB=3cm,

故選：D.

2.（2024春?南明區(qū)校級(jí)期中）如圖，A8的中垂線為CP交AB于點(diǎn)P,且AC=2CP.甲、乙兩人想在A2

上取。、E兩點(diǎn)，使得AD=DC=CE=EB,其作法如下：甲作/ACP、NBCP的角平分線，分別交A8

于。、E兩點(diǎn)，則。、E即為所求；乙作AC、8C的中垂線，分別交A8于。、E兩點(diǎn)，則。、E即為所

求.對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列正確的是（）

C.甲正確，乙錯(cuò)誤D.甲錯(cuò)誤，乙正確

【分析】求出NA=30°,ZACP=60°,求出NAC￡>=30°=ZA,即可推出AZ）=C。，同理BE=CE,

即可判斷甲，根據(jù)線段垂直平定縣性質(zhì)得出AO=CD,BE=CE,即可判斷乙.

解：甲、乙都正確，

理由是：是線段48的垂直平分線,

：.BC=AC,ZAPC=ZBPC=9Q°,

：AC=2CP,

AZA=30°,

AZACP=60°,

AZACD^l.ZACP=30o,

2

ZACD^ZA,

：.AD=DC,

同理CE=BE,

即￡＞、E為所求；

在AC的垂直平分線上，

：.AD=CD,

同理CE=BE,

即。、E為所求，

故選：A.

3.（2023秋?印江縣期中）如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于尸點(diǎn)，若AB=5"i,BC

=3c機(jī)，則△PBC的周長(zhǎng)等于（）

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AC=AB=5cm,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AP=BP,故

AP+PC=AC,由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.,△ABC中，AB=AC,AB=5cm,

??AC=5C771,

的垂直平分線交AC于。點(diǎn)，

：.BP+PC=AC,

的周長(zhǎng)=（BP+PC）+BC=AC+BC=5+3=8cm.

故選：C.

4.（2023春?水城區(qū)期中）如圖，線段A5,5C的垂直平分線/1、/2相交于點(diǎn)0.若Nl=40°,則NAOC

C.90°D.100°

【分析】連接50,并延長(zhǎng)3。到尸，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得49=03=0。和NBOO=NBEO

=90°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°得NOOE+NA3C=180°,根據(jù)外角的性質(zhì)得NAOP=NA+N

ABO,NCOP=NC+/OBC,相加可得結(jié)論.

【解答】解：連接50,并延長(zhǎng)30到P,

/2相交于點(diǎn)O,

：.AO=OB=OCfZBDO=ZBEO=90°,

：.ZDOE+ZABC=180°,

VZZ）OE+Zl=180o,

AZABC=Z1=40°,

*：OA=OB=OC,

：.ZA=ZABO,ZOBC=ZC,

VZAOP=ZA+ZABO,ZCOP=ZC+ZOBC,

???NAOC=NAOP+NCOP=NA+NABC+NC=2X40°=80°；

故選：B.

5.（2023春?水城區(qū)期中）如圖，/4=80°,0是人3,4?垂直平分線的交點(diǎn)，則/50。的度數(shù)是160

A

DA\F.

O

B

【分析】連接04根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NA8C+NAC5=10(r,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得

到0A=08,OA=OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：連接。4、0B,

VZA=80°,

：.ZABC+ZACB=100°,

???。是AB,AC垂直平分線的交點(diǎn)，

：?0A=0B,OA=OC,

：.ZOAB=ZOBAfZOCA=ZOAC,OB=OCf

：.ZOBA+ZOCA=SO°,

???NO8C+NOC8=100°-80°=20°,

?：OB=OC,

：.ZBCO=ZCBO=10°,

ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=160°,

故答案為：160°.

6.(2023春?六盤水期中)如圖，△A5C中，ADLBC,EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)R交BC于點(diǎn)、E,且

BD=DE,連接AE

(1)求證：AB=EC；

(2)若△ABC的周長(zhǎng)為18an,AC=Scmf求。。長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=ECAB=AE,等量代換證明結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式得到AB+3C+AC=18cm,根據(jù)A8=EC,計(jì)算，得到答案.

【解答】(1)證明：???EF垂直平分AC,

：.AE=EC,

VA￡>±BC,BD=DE,

：.AB=AEf

：.AB=EC；

(2)解：?二△ABC的周長(zhǎng)為18cm,

：.AB+BC+AC=1SCem),

VAC=8cm,

'.AB+BC—10(cm),

*：AB=EC,BD=DE,

：.DC=DE+EC=1.(AB+BC)=5(cm).

2

1.(2023秋?綏陽(yáng)縣期中)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,-8)、B關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)8的坐標(biāo)是()

A.(-2,-8)B.(2,8)C.(-2,8)D.(8,2)

【分析】直接利用關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,-8),

.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)是：(-2,-8).

故選：A.

2.(2023秋?織金縣校級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(m,2)與點(diǎn)、B(3,”)關(guān)于x軸對(duì)稱，貝b"、

n的值分別為()

A.3,2B.-3,2C.2,3D.3,-2

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得m、”的值，進(jìn)而可

得答案.

【解答】解：：點(diǎn)A(m,2)與點(diǎn)B(3,n)關(guān)于x軸對(duì)稱，

??m~~3j~2.

故選：D.

3.(2023秋?綏陽(yáng)縣期中)已知M(〃，3)和N(4,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，貝U。+萬的值為-1.

【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求出。、。的值，然后相加計(jì)算即

可得解.

【解答】解：?.?加(〃，3)和N(4,b)關(guān)于y軸對(duì)稱，

.?.〃=-4,b=3,

-4+3=-1.

故答案為：-1.

4.(2023秋?云巖區(qū)校級(jí)期中)在社團(tuán)剪紙活動(dòng)中，小羅同學(xué)將剪好的窗花放在適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi),

點(diǎn)A(3,?)與點(diǎn)8Cm,2)恰好關(guān)于％軸對(duì)稱，則用的值為1.

【分析】根據(jù)關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得以加的值，進(jìn)而可得〃產(chǎn)的值.

【解答】解：?.?點(diǎn)A(3,n)與點(diǎn)B(m,2)關(guān)于x軸對(duì)稱，

~2,

.".mn=32=—,

9

故答案為：1.

9

5.(2023春?綏陽(yáng)縣期中)已知點(diǎn)P(a+1,2a-3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍是-

l<a<3.

2-

【分析】點(diǎn)、P(a+1,a-3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)尸(a+1,a-3)在第四象限，符號(hào)為

(+,-).

【解答】解：依題意得夕點(diǎn)在第四象限，

.\+1>0

，，，,2a-3<0，

解得：-1<a<—.

2

故答案為：-l<a<旦.

2

6.(2023秋?七星關(guān)區(qū)校級(jí)期中)已知點(diǎn)A(o-1,5)和點(diǎn)2(2,b-1)關(guān)于x軸對(duì)稱，求(a+b)2。23的

值.

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得。，6的值，再根據(jù)負(fù)數(shù)的奇數(shù)

次幕是負(fù)數(shù)，可得答案.

【解答】解：；點(diǎn)A(a-1,5)和點(diǎn)8(2,b-1)關(guān)于無軸對(duì)稱，

'.a-1=2,1=-5,

解得a=3,b=-4,

則(a+Z?)2023=(-1)2。23=一].

題型05等腰(等邊)三角形的性質(zhì)

1

1.(2024春?清鎮(zhèn)市期中)等腰三角形的一個(gè)角為50°,則這個(gè)等腰三角形的底角為()

A.65°B.65°或80°C.50°或65°D.40°

【分析】已知給出了一個(gè)內(nèi)角是50°,沒有明確是頂角還是底角，所以要進(jìn)行分類討論，分類后還要用

內(nèi)角和定理去驗(yàn)證每種情況是不是都成立.

【解答】解：當(dāng)50°是等腰三角形的頂角時(shí)，則底角為(180°-50°)X_l=65°；

2

當(dāng)50°是底角時(shí)亦可.

故選：C.

2.(2023秋?印江縣期中)如圖，△ABC中，。為A8上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn),且AC=CZ)=8￡)=BE,Z

4=50°,則NCZ5E的度數(shù)為()

A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°

【分析】由AC=CD,根據(jù)等邊對(duì)等角，得NA=/CZM,由NA的度數(shù)得到NCZM的度數(shù)；由C￡>=BZ),

根據(jù)等邊對(duì)等角，得/B=NDCB,由NCD4=/B+/DCB得到的度數(shù)；由80=BE,根據(jù)等邊對(duì)

等角，得/BDE=NBED,由NB=25°得到N2DE1的度數(shù)，再根據(jù)NCDE=180°-NCDA-/EDB得

到答案.

【解答】解：,:AC=CD=BD=BE,

：./XACD.△BC。、△BOE是3個(gè)等腰三角形，

又；NA=50°,

ZA=ZCDA=50°,ZB=ZDCB,ZBDE=ABED.

；NB+NDCB=NCDA=50°,

：.ZB=25°.

VZB+ZEDB+ZDEB=180°,

：.ZBDE=ZBED=1.(180°-25°)=77.5°,

2

：.ZCDE=1800-ZCDA-Z￡Z)B=180°-50°-77.5°=52.5°.

故選：D.

3.(2023秋?綏陽(yáng)縣期中)如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)E在BC邊上，在線段AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)

使得CD=CE,連接。E,CF是△(?￡)￡的中線，若NFCE=52°,則/A的度數(shù)為()

、D

A.38°B.34°C.32°D.28°

【分析】利用等腰三角形的三線合一求出NEC。，再求出NACB即可解決問題.

【解答】解：?.?CE=C￡>,FE=FD,

尸=/DCP=52°,

：.ZACB=180°-104°=76°,

'：AB=AC,

：.ZB=ZACB=16°,

—180°-152°=28°,

故選：D.

4.（2023春?碧江區(qū)校級(jí)期中）若（a-2）2+\b-4|=0,則以心。為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.10D.8或10

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出小b的值，再分a是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解.

【解答】解：根據(jù)題意得，a-2=0,b-4=0,

解得a=2,6=4,

①a=4是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為4、4、2,

?；4、4、2能組成三角形，

...三角形的周長(zhǎng)為10,

②。=2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為4、2、2,

不能組成三角形，

綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為10.

故選：C.

5.（2024春?清鎮(zhèn)市期中）已知一個(gè)等腰三角形兩邊分別為4c機(jī)和9aw,則腰長(zhǎng)是9c?n.

【分析】分4cm是等腰三角形的底邊長(zhǎng)和9cm是底邊長(zhǎng)兩種情況討論即可.

【解答】解：當(dāng)4ctti是等腰三角形的底邊長(zhǎng)時(shí)，腰長(zhǎng)為9c%,9cm,符合題意；

當(dāng)9c”是等腰三角形的底邊長(zhǎng)時(shí)，腰長(zhǎng)為4cm4cm,4+4<9,不能構(gòu)成三角形，不符合題意.

故答案為：9.

6.（2023春?水城區(qū)期中）若等腰三角形的周長(zhǎng)為26cd底邊為11cm則腰長(zhǎng)為（）

A.11cmB.IICTM或7.5an

C.7.5cmD.以上都不對(duì)

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：..Tic機(jī)是底邊，

.?.腰長(zhǎng)=工（26-11）=75cm,

2

故選：c.

7.（2023秋?綏陽(yáng)縣期中）在等腰AABC中，AB=AC,一腰上的中線8。將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和

12兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A.7B.7或11C.11D.7或10

【分析】因?yàn)橐阎獥l件給出的15或12兩個(gè)部分，哪一部分是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半的和不明確，所以分兩種

情況討論.

【解答】解：根據(jù)題意，

①當(dāng)15是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半時(shí)，AC+1AC=15,解得AC=10,

2

所以底邊長(zhǎng)=12-Ax10=7；

2

②當(dāng)12是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半時(shí)，AC+1AC=12,解得AC=8,

2

所以底邊長(zhǎng)=15-AX8=11.

2

所以底邊長(zhǎng)等于7或11.

故選：B.

8.（2023春?銅仁市期中）如圖，AB//CD,ZkACE為等邊三角形，ZBAE=20°,則NDCE1等于（）

【分析】過點(diǎn)E作E/〃CD利用等邊三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：過點(diǎn)E作E7〃CD

???△ACE是等邊三角形，

AZAEC=60°,

VAB/7CZ),EJ//CD,

：.AB//EJ,

：.ZAEJ=ZBAE=20°,

：.ZCEJ=60°-20°=40°,

：.ZDCE=ZCEJ=40°,

故選：B.

9.(2023春?碧江區(qū)校級(jí)期中)如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且

DEYAD.若/8AO=55°,ZB=50°,求/QEC的度數(shù).

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到NC=50°,進(jìn)而得到N8AC=80°,由NBA。

=55°,得到/ZME=25°,由￡>E_LAD,進(jìn)而求出結(jié)論.

【解答】W：\-AB=AC,

VZB=50°,

：.ZC=50°,

：.ZBAC=180°-50°-50°=80°,

\'ZBAD^55°,

：.ZDAE=25°,

:DELAD,

：.ZADE=90°,

ZDEC=ZDAE+ZADE=115°.

10.(2023春?銅仁市期中)如圖，等邊三角形△ABC中，8。是中線，延長(zhǎng)8C至E使得CE=」8C,作

2

DFLBE于F.

(1)求證：BF=EF；

(2)若AB=10,求CE.

【分析】(1)先依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到。C=LC=』BC,從而可求得DC=CE,從而

22

可求得/E的度數(shù)，然后依據(jù)NOBE=/E,最后，在依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)依據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可求得DC的長(zhǎng)，然后依據(jù)CE=DC其解即可.

【解答】解：(1)'.?△ABC為等邊三角形，是中線,

,-.DC=ABC.

2

又；CE=IBC,

2

?**DC=CE,

：.ZE=ZCDE,而N￡>CB=NE+NCDE=60°,

：.ZE=30°,

'：DA=DC.

:.NDBC=!/ABC=30°,

2

:?DB=DE；

■:DF2BC,

：.BF=EF.

(2))?.?△ABC為等邊三角形，

；.AC=AB=10.

VCE=ABC,

2

：.CE=DC=5.

含30°的直角三角形

1.（2023春?七星關(guān)區(qū)期中）如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成

30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）

―

A.6米B.9米C.12米D.15米

【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長(zhǎng)度，再加上離地面

的距離就是折斷前樹的高度.

【解答】解：如圖，根據(jù)題意2C=3米，

,：ZBAC=3Q°,

：.AB=2BC=2X3=6（米），

；.3+6=9（米）.

故選：B.

2.（2023春?水城區(qū)期中）在RtZkA2C中，NC=90°,ZA=30°,AB=2,則BC=（）

A.1B.2C.V3D.V5

【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)直接求解即可.

【解答】解：根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可知：BC=1AB=1.

2

故選：A.

3.（2023春?云巖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，ZACB=90°,N5=60°,CD是AA5c的高，且

BD=1,則的長(zhǎng)為（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

【分析】先求出NA=NBCD=30°,再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得.

【解答】解：,??CO是△A5C的高，ZB=60°,

AZBCD=90°-ZB=30°,

：.BC=2BD=2X1=2,

VZACB=90°,NB=60°,

ZA=90°-ZB=30°,

：.AB=2BC=2X2=4,

：.AD=AB-BD=4-1=3,

故選：B.

4.（2023春?貴陽(yáng)期中）如圖，已知NAO3=60°,點(diǎn)尸在邊。4上，。尸=12,點(diǎn)“，N在邊03上，PM

=PN,若MN=2,則OM的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】過尸作PC，ON,根據(jù)等腰三角形形三線合一及直角三角形30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半即

可得到答案.

【解答】解：過尸作PCLON,

VZAOB=6Q°,PC±ON,

AZOPC=90°-60°=30°,

：。尸=12,

OC=1-OP=6,

2

,:PCLON,PM=PN,MN=2,

：.MC=1-MN=\,

2

：.OM=OC-MC=6-1=5,

故選：c.

5.如圖，RtZXABC中，ZB=60°,AZ）是高，BD=2,8=7,則AB長(zhǎng)為（）

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NR4D=30°,再根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等

于斜邊的一半”求解即可.

【解答】解：:A。是高，

AZADB=90°,

AZB+ZBA￡>=90°,

VZB=60°,

：.ZBAD=30°,

：.AB=2BD=4f

故選：A.

6.（2023春?貴陽(yáng)期中）如圖，在等邊三角形A3C中，點(diǎn)。，E分別在邊5C,AC上，＞DE//AB,過點(diǎn)E

作EfUDE,交5C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?

（1）求NF的度數(shù)；

（2）若CD=2,求。歹的長(zhǎng).

【分析】（1）證明△OCE中的三個(gè)角均為60°,然后再求得N尸=30°,則可得出答案;

（2）先求得C尸然后由EC=DC進(jìn)行求解即可.

【解答】解：（1）;△ABC是等邊三角形，

ZA=ZB=ZACB=60°.

'：DE//AB,

；?/B=NEDC=60°,/A=NCED=60°,

NEDC=NECD=/DEC=60°,

'：EF±ED9

：.ZDEF=90°,

：.ZF=30°；

(2)VZF+ZFEC=ZECD=60°,

：.ZF=ZFEC=30°,

：.CE=CF.

?:/EDC=/ECD=/DEC=60°,

：.CE=DC=2.

:?CF=2.

：.DF=DC+CF=2+2=4.

優(yōu)選提升題

等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)

1.（2023秋?鐘山區(qū)期中）如圖，已知/ABC=60°,點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，8。=8,點(diǎn)。為線段8。上的

中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，線段。2的長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)、E,連接。E,則BE的長(zhǎng)是（

c

B0DA

A.3A/2B.4C.4A/2D.473

【分析】根據(jù)題意和等邊三角形的判定，可以得到BE的長(zhǎng).

【解答】解：連接0E,

由已知可得，OE=OB=LBD=4,

2

VZABC=60°,

.?.△20E是等邊三角形,

.?.2E=02=4,

故選：B.

2.（2023春?銅仁市期中）如圖，/A8C和NACB的角平分線相交于點(diǎn)且過點(diǎn)M的直線OE〃8C,分

另IJ交AB、AC于。、E兩點(diǎn)，若48=12,AC=10,則△AOE的周長(zhǎng)為22.

【分析】由/ABC和/ACB的角平分線相交于點(diǎn)M,且過點(diǎn)M的直線DE//BC,易證得與△ECM

是等腰三角形，繼而可得△入￡?￡的周長(zhǎng)等于AB+AC.

【解答】解：'：DE//BC,

：.NDMB=ZMBC,/EMC=ZMCB,

'：ZABC和NACB的角平分線相交于點(diǎn)M,

：.ZDBM=ZMBC,ZECM=ZMCB,

：.ZDBM=ZDMB,/ECM=/EMC,

J.DM^DB,EM=EC,

.,.△ADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=12+10=22.

故答案為：22.

3.（2023秋?印江縣期中）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC

和等邊△COE,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)。，連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論：

①AD=BE；②尸?！ˋE；③OP=OQ；④△CPQ為等邊三角形；⑤/AOB=60°.其中正確的有①②

④⑤.（注：把你認(rèn)為正確的答案序號(hào)都寫上）

【分析】①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出△ACDZZXBCE,即可得出AD=BE,①正確.

④先證明AACP也△8C。，即可判斷出CP=C。，即可得④正確；

②根據(jù)/尸。。=60°,可得△PC。為等邊三角形，證出NPQC=/OCE=60°,得出PQ〃AE,②正確.

③沒有條件證出。尸=。。，得出③錯(cuò)誤；

@ZAOB^ZDAE+ZAEO^ZDAE+ZADC=ZDCE^60°,⑤正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：:△ABC和△CUE都是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE^60°,

ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.NACD=NBCE,

在△ACD和中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,CD=CE,

：.(SAS),

；.AD=BE,結(jié)論①正確.

,?△ACDgABCE,

：.ZCAD=ZCBE,

又；NACB=NDCE=60°,

AZBC￡>=180°-60°-60°=60°,

：.ZACP=ZBCQ=6Q°,

在△ACP和△BCQ中，

ZACP=ZBCQ,ZCAP=ZCBQ,AC=BC,

：./\ACP^/\BCQ(A4S),

：.AP=BQ,CP=CQ,

又?.,/PCQ=60°,

.?.△PC。為等邊三角形，結(jié)論④正確；

：.ZPQC=ZDCE=60°,

J.PQ//AE,結(jié)論②正確.

AACD冬4BCE,

：.ZADC^ZAEO,

：.ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=NDCE=6Q°,

結(jié)論⑤正確.

沒有條件證出0P=。。，③錯(cuò)誤；

綜上，可得正確的結(jié)論有4個(gè)：①②④⑤.

故答案為：①②④⑤.

4.（2023春?綏陽(yáng)縣期中）已知：在銳角△ABC中，AB=AC.。為底邊8C上一點(diǎn)，E為線段AD上一點(diǎn)，

且/BED=NBAC=2NDEC,連接CE.

（1）求證：ZABE^ZDAC；

（2）若NA4C=60。，試判斷出）與C。有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若NBAC=a,那么（2）中的結(jié)論是否還成立.若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）根據(jù)外角的性質(zhì)，推出由/BAC=/BAE+/ZMC,根據(jù)

N8AC進(jìn)行等量代換即可；

（2）在AQ上截取AF=BE,連接CF,作CG〃BE交直線AO于G,NBED=/BAC,結(jié)合（1）所推

出的結(jié)論，求證△ACFgABAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理推出NC/G=180°-ZAFC

=180°-ZBEA=ZBED,由CG〃BE,可得/CGF=NBED,BD-.CD=BE：CG,繼而推出NCFG=

ZCGF,即CG=CR通過等量代換可得BE=AF=2CR把比例式中的BE、CG用2CRCT代換、整

理后即可推出Br>=2Z）C,總上所述8。與C。的數(shù)量關(guān)系與NB4C的度數(shù)無關(guān)；

（3）根據(jù)（2）所推出的結(jié)論即可推出若NBAC=a,那么（2）中的結(jié)論仍然還成立.

【解答】（1）證明：VZBED=ZABE+ZBAE,NBED=/BAC,

：./ABE+NBAE=ZBAC,

,：ZBAC=ZBAE+ZDAC,

：.ZDAC=ZABE；

（2）解：在AZ）上截取連接CF,作CG〃BE交直線A。于G,ZBED=ZBAC,

"：ZFAC=ZEBA,

???在AAC尸和△氏!￡中，

'CA二AB

,NFAC=NEBA，

AF=BE

AAACF^ABAE(SAS),

CF=AE,ZACF=ZBAE,ZAFC=ZAEB.

ZAFC=ZBEA

/.180°-ZAFC=180°-ZBEA

:?/CFG=/BEF,

：.ZCFG=1SO°-ZAFC=1SO°-NBEA=NBED,

???CG//BE,

：?NCGF=/BED,

:?/CFG=/CGF,

：.CG=CF,

?：/BED=2/DEC,

?:/CFG=/DEC+NECF,NCFG=/BED,

：.ZECF=ZDEC,

：.CF=EF,

：?BE=AF=2CF,

■:CG//BE,

：.BD：CD=BE：CG,

：.BD：CD=2CF：CF=2,

:.BD=2DC,

：.BD與CD的數(shù)量關(guān)系與NA4c的度數(shù)無關(guān)；

(3)解：???8。與CO的數(shù)量關(guān)系與NBAC的度數(shù)無關(guān),

???若N8AC=a,那么(2)中的結(jié)論仍然還成立.

A

E

5.(2023春?七星關(guān)區(qū)期中)如圖，在等邊△ABC中，NABC與NACB的平分線相交于點(diǎn)。，且。

OE//AC.

(1)試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；

(2)若BC=10,求△ODE的周長(zhǎng).

【分析】(1)證明NABC=NACB=60°；證明NODE=/A2C=60°,ZOED=ZACB^6Q°,即可

解決問題.

(2)證明2￡>=。￡>；同理可證CE=OE；即可解決問題.

【解答】解：(1)△ODE是等邊三角形；理由如下：

?..△ABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=6Q°；

,JOD//AB,OE//AC,

：.ZODE=ZABC=60Q,ZOED=ZACB=60°,

.?.△OOE為等邊三角形.

(2)：03平分NABC,OD//AB,

：.ZABO^ZDOB,ZABO=ZDBO,

：.ZDOB=ZDBO,

：.BD=OD-,同理可證CK=OE；

MODE的周長(zhǎng)=BC=10.

BDE

!產(chǎn)型02]垂直平分線（角平分線）的基本作圖

1.（2023春?銅仁市期中）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,分別以邊A、8為圓心，大于」泊8

2

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于RG兩點(diǎn)，連接RG分別交于A3于E、BC于D,連接A。，若CD

A.6B.6A/3C.9D.3我

【分析】利用基本作圖得到。E垂直平分AB,則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。B=D4,所以ND4B

=/2=30°,再計(jì)算出/。。=30°,接著利用含30度角直角三角形三邊的關(guān)系求AD,從而得到BD

的長(zhǎng)，然后計(jì)算BD+C。即可.

【解答】解：由作法得?！甏怪逼椒諥8,

：.DB=DA,

.,./。42=/2=30°,

VZC=90°,ZB=30°,

：.ZBAC=60°,

AZCAD=30°,

在RtZsACD中，AD=2CD=6,

：.BD=6,

：.BC=BD+CD=6+3=9.

故選：C.

2.（2023秋?貴陽(yáng)期中）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,BC=5,CD=3.按下列步驟作圖：①以點(diǎn)

。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交DA,DC于E,尸兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)尸為圓心以大于/EF的

長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸；③連接。尸并延長(zhǎng)交3C于點(diǎn)G.則5G的長(zhǎng)是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及平行四邊形的性質(zhì)，即可得到CG=CD,進(jìn)而得到3G的長(zhǎng).

【解答】解：由題可得，OG是NAOC的平分線.

工NADG=NCDG,

,:AD〃BC,

：.NADG=NCGD,

:?/CDG=/CGD,

：.CG=CD=3,

：.BG=CB-CG=5-3=2.

故選：A.

3.（2023春?六盤水期中）如圖，在已知的AABC中，按以下步驟作圖：

①分別以8,C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；

②作直線交于點(diǎn)。，連接CD若AC=3,AB=9,則△AC。的周長(zhǎng)為（）

B

A.12B.11C.10D.9

【分析】證明。B=OC,推出△AOC的周長(zhǎng)=AC+4B,可得結(jié)論.

【解答】解：由作圖可知垂直平分線段8C,

:.DB=DC,

：.AADC的周長(zhǎng)=AC+CD+AC=AC+￡>B+AD=AC+AB=3+9=12.

故選：A.

4.（2024春?清鎮(zhèn)市期中）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交

AC,AB于點(diǎn)N兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于工的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,射線

2

AP交邊于點(diǎn)。，若CD=3cm,AB=lQcm,則△A3。的面積等于15cm2.

【分析】由作圖過程可知，AD為NBAC的平分線.過點(diǎn)。作OELA8于點(diǎn)E,由角平分線的性質(zhì)可得

CD=DE=3cm,再利用三角形的面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

由作圖過程可知，為NA4C的平分線，

VZC=90°,

:.CD=DE=3cm,

：./\ABD的面積等于Ag.DE=/x10X3=15(。渥).

故答案為：15.

5.(2023秋?綏陽(yáng)縣期中)如圖，在△ABC中，AB^AC,ZA=36°.

(1)尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)￡>,連接2。；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)求/DBC的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)要求作出圖形；

(2)分別求出NABZ)=36°,NABC=72°可得結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖，直線即為所求.

A

KN/\

■M

B

(2)：MN垂直平分線段AB,

：.DA=DB,

：.ZA^ZDBA^36°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=1.(180°-36°)=72°,

2

AZDBC=AABC-ZABD=12°-36°=36°.

6.(2023秋?紅花崗區(qū)期中)如圖，在△ABC中，是8c邊上的高.

(1)求作：NB的平分線交A。于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)E(尺規(guī)作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡)

(2)當(dāng)NA8C=50°時(shí)，求/AEF的度數(shù).

【分析】(1)利用基本作圖作/ABC的平分線即可；

(2)先根據(jù)高的定義和角平分線的定義得到/4。2=90°,NCBF=25°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出

NBED,然后根據(jù)對(duì)頂角相等得到的度數(shù).

【解答】解：(1)如圖，8尸為所作；

(2):AD是BC邊上的高，

ZADB=90°,

"/平分NA8C,

AZCBF=-LzABC=^X50°=25°,

22

：.ZBED=90°-ZDBE