魯教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(三)利用軸對稱解決最短路徑問題常見的三種類型練方法課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(三)利用軸對稱解決最短路徑問題常見的三種類型類型一“兩點(diǎn)一線”型1.(2023山東煙臺(tái)招遠(yuǎn)期中)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,CE

是△ABC的兩條中線,P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).下列線段的長等

于BP+EP的最小值的是

(

)

A.CE

B.AD

C.AC

D.BCA解析如圖,連接PC,∵AB=AC,AD是△ABC的中線,∴AD⊥

BC,∴PB=PC,∴PB+PE=PC+PE,∵PE+PC≥CE,∴P、C、E

三點(diǎn)共線時(shí),PB+PE的值最小,最小值為CE的長,故選A.

2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,AD是

∠BAC的平分線.若點(diǎn)P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn),求PC+

PQ的最小值.

解析如圖,過點(diǎn)C作AB的垂線,交AB于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)P,過

點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q.因?yàn)锳D是∠BAC的平分線,所以PQ=PM,即PC+PQ=PC+PM=CM.故PC+PQ的最小值為CM的長.由三角形的面積公式可知

BC·AC=

AB·CM,所以CM=

=

=

.故PC+PQ的最小值為

.類型二“一點(diǎn)兩線”型3.如圖,已知點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)一點(diǎn),試分別在OM,ON上確

定點(diǎn)B,點(diǎn)C,使△ABC的周長最小.寫出作圖的主要步驟并標(biāo)

明你所確定的點(diǎn).(要求畫出草圖,保留作圖痕跡)

解析如圖,作點(diǎn)A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A',作點(diǎn)A關(guān)于ON的對稱

點(diǎn)A″,連接A'A″,交OM,ON于點(diǎn)B,點(diǎn)C,則點(diǎn)B,點(diǎn)C即為所求,

連接AB,AC,此時(shí)△ABC的周長最小.

4.某中學(xué)七(2)班舉行文藝晚會(huì),桌子擺成兩直條(圖中的AO,

BO),AO桌面上擺滿了沃柑,OB桌面上擺滿了糖果,站在C處

的學(xué)生小明先拿沃柑再拿糖果,然后回到C處,請你在圖中幫

助他設(shè)計(jì)一條行走路線,使其所走的總路程最短.

解析

如圖,分別作點(diǎn)C關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)M、N,連接MN,交OA于D,交OB于E,則C→D→E→C,即C→O→C為設(shè)計(jì)的行走路線.

類型三“兩點(diǎn)兩線”型5.如圖,在長方形ABCD的邊BC上有線段PQ,當(dāng)PQ在邊BC上

的什么位置時(shí),四邊形APQD的周長最小?請畫出圖形并說明

理由.

解析如圖,把點(diǎn)A沿AD方向平移PQ的長度至點(diǎn)A',延長DC,

使D'C=DC,連接A'D',交BC于點(diǎn)Q',在線段BQ'上截取P'Q'=

PQ,則當(dāng)線段PQ在邊BC上的P'Q'的位置時(shí),四邊形APQD的

周長最小.

理由:連接AP',DQ',易知AP'=A'Q',由作圖知此時(shí)AP'+DQ