《數(shù)字信號處理》課件-第8章

8.1引言

8.2信號流圖

8.3IIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

8.4FIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

8.5利用Matlab依據(jù)算法結(jié)構(gòu)實現(xiàn)數(shù)字濾波器8.6數(shù)字信號處理的誤差分析

習(xí)題與上機題

由于離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是單位脈沖響應(yīng)的Z變換，而輸入和輸出滿足的線性常系數(shù)差分方程又可以由系統(tǒng)函數(shù)直接得到，因此差分方程、單位脈沖響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)都是

線性時不變系統(tǒng)輸入、輸出的等效表征。如果系統(tǒng)的輸入是x(n)，輸出是y(n)，則二者滿足的差分方程為

(8.1.1)8.1引言其中，N≥M；對于LTI系統(tǒng)，bi、ak為常數(shù)。

對上述差分方程的兩邊同時作Z變換，那么系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為

(8.1.2)若階數(shù)N和M以及系數(shù)bi、ak確定，則可依據(jù)以上兩式計算出輸入x(n)經(jīng)過系統(tǒng)后的輸出y(n)。可見，不論是依據(jù)差分方程還是依據(jù)系統(tǒng)函數(shù)表達式，都是遵循某種算法進行

相應(yīng)的運算，求得最終的結(jié)果。

濾波器的實現(xiàn)主要是依據(jù)式(8.1.1)或式(8.1.2)，從理論上講，求解該式有多種方法，不同的計算方法，得到的結(jié)果是相同的。但是，不同算法的運算速度、運算誤差以及復(fù)雜

程度和成本都不相同，因此研究濾波器的實現(xiàn)方式是信號處理中一個很重要的問題。數(shù)字濾波器的工程實現(xiàn)中，需要考慮如下問題:

(1)減少計算的復(fù)雜性。

公式中最復(fù)雜的運算為乘法運算，乘法器的多少直接影響到算法的運算時效，而延時器的多少則影響到算法對存儲的需求。因此，在工程實現(xiàn)中首先選取盡量少的乘法器(如

FIR線性相位結(jié)構(gòu)可減少近一半的乘法器);其次選取盡量少的延時器(如IIR直接型Ⅱ比直接型Ⅰ可節(jié)省一半延時器)是減少計算復(fù)雜性的方法。

(2)減少有限寄存器長度和有限精度運算的影響。

數(shù)字濾波器是用有限精度算法實現(xiàn)的離散LTI系統(tǒng)，字長越長，運算的精度越高，但是大多數(shù)系統(tǒng)都不可能做到無限精度，有限字長效應(yīng)總是存在的，比如A/D變換的量化效

應(yīng)和濾波器系數(shù)的量化效應(yīng)、運算中舍入、截斷誤差、飽和及溢出等。因此，需要選擇對字長不敏感的結(jié)構(gòu)以減少有限字長效應(yīng)(如通過用IIR低階直接型Ⅱ結(jié)構(gòu)級聯(lián)來實現(xiàn)高階

IIR濾波器)。

實現(xiàn)濾波功能的離散LTI系統(tǒng)需要用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來表示它的運算過程，因此本章將主要討論數(shù)字濾波器的算法結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上對數(shù)字濾波器的量化誤差、運算誤差等進行分析。觀察式(8.1.1)給出的差分方程可知，有三種基本運算是數(shù)字信號處理不可或缺的，即單位延時、乘法和加法。這三種基本運算可以用信號流圖來表示，如圖8.2.1所示。8.2信號流圖圖8.2.1三種基本運算的信號流圖表示(a)加法;(b)乘法;(c)延時圖中左邊是框圖表示，右邊是流圖表示。信號流圖由節(jié)點和有向支路組成，每個節(jié)點表示一個信號，該信號稱為節(jié)點變量；帶有箭頭的支路表示信號的流動方向，是有向支路，和每個節(jié)點連接的有輸入支路和輸出支路。節(jié)點變量等于所有支路的末端信號之和。寫在支路箭頭旁邊的系數(shù)a稱為支路增益，z-1代表單位延時。如果箭頭旁邊沒有標明增益符號，則認為支路增益是1。沒有輸入支路的節(jié)點稱為輸入節(jié)點，沒有輸出支路或輸出支路箭頭不指向其他節(jié)點的節(jié)點稱為輸出節(jié)點。兩個變量相加，由指向一個節(jié)點的兩條有向支路表示。因此濾波器的整個運算結(jié)構(gòu)完全可用這樣一些基本運算支路組成。

【例8.2.1】某系統(tǒng)的信號流圖如圖8.2.2所示，求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

解由圖可得

w2(n)=y(n)

w3(n)=w2(n-1)=y(n-1)

w4(n)=w3(n-1)=y(n-2)

w5(n)=a1w3(n)+a2w4(n)

w1(n)=b0x(n)+w5(n)

w1(n)=w2(n)圖8.2.2某系統(tǒng)的信號流圖聯(lián)立以上方程，求解可得

y(n)=b0x(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)

上式即為系統(tǒng)的差分方程。對上式兩邊求Z變換可得系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

【例8.2.2】某一系統(tǒng)的信號流圖如圖8.2.3所示，求該系統(tǒng)的差分方程。

解根據(jù)以上定義可知，該流圖表示的系統(tǒng)為

y(n)=x(n)+ay(n-1)

由1.3.4節(jié)可知該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=anu(n)，是一個一階IIR系統(tǒng)。圖8.2.3某系統(tǒng)的信號流圖圖8.2.4某系統(tǒng)的信號流圖

解同理，該流圖表示的系統(tǒng)為

y(n)=x(n)+ax(n-1)

該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)+aδ(n-1)，是一個一階FIR系統(tǒng)。由第7章可知，IIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是無限長的;系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面(0<|z|<∞)上有極點存在;結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋，也就是結(jié)構(gòu)上是遞歸型的。

本節(jié)將給出最常用的實現(xiàn)一個線性時不變IIR數(shù)字濾波器的幾種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式。8.3IIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)8.3.1IIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為式(8.1.2)，即

其中bi、ak為濾波器系數(shù)。這里a0=1，假設(shè)N≥M，ak≠0，此時IIR濾波器的階數(shù)為N。

IIR數(shù)字濾波器的差分方程為式(8.1.1)，即

根據(jù)該式可以直接畫出系統(tǒng)信號流圖如圖8.3.1所示，稱為IIR數(shù)字濾波器的直接型Ⅰ結(jié)構(gòu)圖。圖8.3.1IIR數(shù)字濾波器的直接型Ⅰ結(jié)構(gòu)圖顯然，直接型Ⅰ需要N+M個延時單元、N+M+1個乘法器和N+M個加法器。

為了減少結(jié)構(gòu)圖中使用的延時單元數(shù)，觀察式(8.1.2)，IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可以看成是系統(tǒng)函數(shù)分別為H1(z)和H2(z)的兩個子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)相乘，即

H(z)=H1(z)H2(z)

(8.3.1)其中

(8.3.2)

(8.3.3)

觀察圖8.3.1，圖中左半部分系統(tǒng)函數(shù)是H1(z)，右半部分系統(tǒng)函數(shù)是H2(z)，整個IIR數(shù)字濾波器的直接型Ⅰ是兩個子系統(tǒng)的級聯(lián)，根據(jù)乘法交換率

H(z)=H2(z)H1(z)

可得到系統(tǒng)信號流圖如圖8.3.2所示(設(shè)N=M)。圖8.3.2交換運算次序后IIR數(shù)字濾波器的直接型Ⅰ結(jié)構(gòu)圖觀察圖8.3.2，節(jié)點變量w1和w2相等，因此，可以將前后兩部分的延時支路合并，以節(jié)省延時單元，形成如圖8.3.3所示的濾波器結(jié)構(gòu)圖。該圖也是直接由系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或差分方程得到的，因此稱為IIR數(shù)字濾波器的直接型Ⅱ結(jié)構(gòu)圖。

可見，當N=M時，直接型Ⅱ可比直接型Ⅰ節(jié)省一半的延時單元。圖8.3.3IIR數(shù)字濾波器的直接型Ⅱ結(jié)構(gòu)圖

【例8.3.1】設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

畫出該濾波器的直接型Ⅱ結(jié)構(gòu)圖。

解參照圖8.3.3，根據(jù)系統(tǒng)的H(z)，可以直接畫出該系統(tǒng)的直接型Ⅱ結(jié)構(gòu)圖如圖8.3.4所示。圖8.3.4例8.3.1濾波器的直接型Ⅱ結(jié)構(gòu)圖

IIR數(shù)字濾波器直接型的優(yōu)點是簡單、直觀，所使用的延時單元少。其缺點是系數(shù)bi、ak對濾波器性能的控制關(guān)系不直接，不易調(diào)整系統(tǒng)的零、極點，即改變某一個系數(shù)ak將會影響系統(tǒng)的所有極點;另外這種結(jié)構(gòu)對極點位置靈敏度大，對字長效應(yīng)敏感，易出現(xiàn)不穩(wěn)定情況(參見本章8.6.4和8.6.5節(jié))。因此，一般通過低階級聯(lián)或并聯(lián)來實現(xiàn)高階IIR數(shù)字濾

波器。8.3.2IIR級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

由于系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子、分母均為多項式，因此可以將分子、分母多項式分別進行因式分解，得

(8.3.4)式中，A是常數(shù)，ci和dk分別表示系統(tǒng)的零點和極點。另外由于多項式的系數(shù)一般是實數(shù)，因此ci和dk是實數(shù)或者是共軛成對的復(fù)數(shù)。我們將共軛成對的零點放在一起，共軛成

對的極點放在一起，形成具有實系數(shù)的二階因式。這樣系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子、分母均形成一階和二階因式的連乘形式，系數(shù)均為實數(shù)。此時H(z)可以表示成

(8.3.5)(8.3.6)其中，M=M1+2M2，N=N1+2N2。式(8.3.5)中的ci和dk分別表示實零、極點，gi和gi*表示復(fù)數(shù)共軛零點，ek和ek*表示復(fù)數(shù)共軛極點。根據(jù)式(8.3.5)，在系統(tǒng)級聯(lián)的子系統(tǒng)選擇上有很大的自由度，但在實際應(yīng)用中，為了利用最少的存儲和級聯(lián)數(shù)量實現(xiàn)系統(tǒng)，將分子的一個一階因式與分母的一個一階因式組成一個一階子系統(tǒng)，將分子的一個二階因式與分母的一個二階因式組成一個二階子系統(tǒng)，如式(8.3.6)所示。如果將一階因式看成二階因式的特例，即b2i和a2k等于零的二階因式，則系統(tǒng)函數(shù)H(z)可寫成如下形式:

(8.3.7)

式中，Hi(z)是濾波器的二階子系統(tǒng)，一般采用直接型II結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。因此整個數(shù)字濾波器由L個二階子系統(tǒng)級聯(lián)構(gòu)成，如圖8.3.5所示。圖8.3.5IIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)圖

IIR數(shù)字濾波器級聯(lián)型的優(yōu)點是可以單獨調(diào)整系統(tǒng)的零、極點，如一階子系統(tǒng)只決定一個零、極點之值，二階子系統(tǒng)只決定一對共軛零、極點之值。此外，級聯(lián)結(jié)構(gòu)便于改變各

個子系統(tǒng)的運算次序，可以使濾波器性能得到優(yōu)化，減小運算誤差。但在級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，一般需要調(diào)整級聯(lián)各級之間電平的放大或縮小，以使變量不能太大或太小。在定點運算中，變量太大容易產(chǎn)生溢出現(xiàn)象，變量太小又使信號與噪聲的比值太小。

【例8.3.2】設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

試畫出該濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解將系統(tǒng)函數(shù)因式分解，得到為節(jié)省延時單元，將系統(tǒng)函數(shù)寫成

H1(z)是一階子系統(tǒng)，H2(z)是二階子系統(tǒng)。H1(z)和H2(z)均用直接型Ⅱ來實現(xiàn)，則濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖8.3.6所示。

圖8.3.6例8.3.2濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)圖如果將系統(tǒng)函數(shù)寫成

請讀者畫出其級聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖，并與圖8.3.6進行比較，可以發(fā)現(xiàn)它比圖8.3.6多用了一個延時單元。8.3.3IIR并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

如果將濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)展成部分分式形式，設(shè)M=N，且一階子系統(tǒng)仍看成是二階子系統(tǒng)的特例，則H(z)可以表示成

(8.3.8)式中，Hi(z)是二階子系統(tǒng)，L是的整數(shù)部分。當N為奇數(shù)時，Hi(z)的極點中一定有一個是實數(shù)極點。根據(jù)式(8.3.8)，整個數(shù)字濾波器可以由常數(shù)增益支路與L個二階子系統(tǒng)并聯(lián)構(gòu)成，每個二階子系統(tǒng)均采用直接型Ⅱ結(jié)構(gòu)，如圖8.3.7所示。圖8.3.7IIR數(shù)字濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點是可以單獨調(diào)整數(shù)字濾波器的極點，運算速度快(可并行進行)，各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低，但不能直接調(diào)整零點。因多個二

階子系統(tǒng)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當需要準確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。

【例8.3.3】設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

試畫出該濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。

解將系統(tǒng)函數(shù)H(z)展成部分分式形式，得到

根據(jù)上式，該系統(tǒng)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖8.3.8所示。圖8.3.8例8.3.3濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖由第6章可知，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)的長度是有限的;系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，在|z|>0處只有零點，全部極點都在z=0處(因果系統(tǒng));實現(xiàn)結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但在頻率采樣濾波器結(jié)構(gòu)中，也包含有反饋的遞歸部分。

由于FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是有限長的，因此可以用重疊相加或重疊保留法來計算信號經(jīng)過FIR濾波器系統(tǒng)后的輸出。如果按照差分方程或系統(tǒng)函數(shù)來實現(xiàn)，則應(yīng)考慮節(jié)省計算量的結(jié)構(gòu)。對于頻率采樣型，還應(yīng)考慮穩(wěn)定性問題。8.4FIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

設(shè)FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N，則FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和差分方程分別為

(8.4.2)(8.4.1)令

(8.4.3)

則式(8.4.1)還可以表示成

(8.4.4)

一般稱N為FIR數(shù)字濾波器的長度，N-1為其階數(shù)。本節(jié)給出FIR數(shù)字濾波器的各種常用實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。8.4.1FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

按照式(8.4.1)或式(8.4.2)可以直接畫出FIR數(shù)字濾波器的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖8.4.1所示。圖8.4.1FIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)圖圖8.4.1表明，長度為N的FIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)，有N-1個延時單元，N個乘法器和N-1個加法器。因為式(8.4.2)的差分方程實際上是系統(tǒng)輸入x(n)與單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷積運算，因此直接型結(jié)構(gòu)也稱為卷積型結(jié)構(gòu)或橫截型結(jié)構(gòu)。直接型結(jié)構(gòu)的延時單元是串聯(lián)的并且每個都有抽頭，稱為抽頭延時線。8.4.2FIR級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

將系統(tǒng)函數(shù)H(z)進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數(shù)為實數(shù)的二階形式，這樣將系數(shù)為實數(shù)的一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)級聯(lián)起來，就構(gòu)成了FIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。其中每一個子系統(tǒng)都用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。如果將一階子系統(tǒng)看成是二階子系統(tǒng)的特例，則系統(tǒng)函數(shù)H(z)可寫成

(8.4.5)式中，L是的整數(shù)部分，當N為偶數(shù)時，N-1為奇數(shù)，故系數(shù)b2i中有一個為零。

由于此時系統(tǒng)函數(shù)H(z)有奇數(shù)個零點，故必有奇數(shù)個實零點。根據(jù)式(8.4.5)可畫出FIR數(shù)字濾波器級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，如圖8.4.2所示。

FIR數(shù)字濾波器級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的每一個子系統(tǒng)都有一個(實數(shù))或一對零點(復(fù)數(shù))，它們也是整個系統(tǒng)的零點。因此，級聯(lián)型的最大優(yōu)點是可以獨立調(diào)整系統(tǒng)的零點，當需要精確控制濾波器的零點位置時，一般采用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。圖8.4.2FIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖8.4.3FIR線性相位型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

線性相位型結(jié)構(gòu)是FIR系統(tǒng)特有的一種結(jié)構(gòu)形式，該形式需要的乘法器比直接型要少得多。我們在第6章中已經(jīng)證明FIR數(shù)字濾波器具有線性相位的充要條件是

h(n)=±h(N-1-n)

(8.4.6)

h(n)偶對稱時對應(yīng)著第一類線性相位濾波器，即

θ(ω)=-τω

(8.4.7)

式中τ為常數(shù)。奇對稱對應(yīng)著第二類線性相位濾波器，即

(8.4.8)利用FIR數(shù)字濾波器的對稱特性，可以推導(dǎo)出線性相位型結(jié)構(gòu)。

當N為偶數(shù)時，有

當N為奇數(shù)時，有

根據(jù)以上推導(dǎo)系統(tǒng)函數(shù)的表示式，可以畫出FIR數(shù)字濾波器的第一類線性相位型結(jié)構(gòu)如圖8.4.3所示，第二類線性相位型結(jié)構(gòu)如圖8.4.4所示。圖8.4.3FIR數(shù)字濾波器的第一類線性相位型結(jié)構(gòu)圖(a)N為偶數(shù);(b)N為奇數(shù)圖8.4.4FIR數(shù)字濾波器的第二類線性相位型結(jié)構(gòu)圖(a)N為偶數(shù);(b)N為奇數(shù)由FIR數(shù)字濾波器的線性相位型結(jié)構(gòu)圖可以看出，當N為偶數(shù)時，只需要個乘法器，當N為奇數(shù)時，需要

個乘法器，與直接型結(jié)構(gòu)相比，乘法器減少了近一半，但延時單元沒有減少。8.4.4FIR頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

在6.4節(jié)中，我們討論了FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣設(shè)計方法，描述FIR數(shù)字濾波器的參數(shù)改為所求頻率響應(yīng)的參數(shù)，而不是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)。我們知道，一個有

限長序列h(n)可以由相同長度頻域采樣值唯一確定。

設(shè)h(n)是長度為N的有限序列，因此也可對系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上作N等分采樣，這個采樣值也就是h(n)的離散傅里葉變換值H(k)。

(8.4.9)

根據(jù)式(6.4.3)，系統(tǒng)函數(shù)和采樣值之間服從以下內(nèi)插公式

(8.4.10)

式(8.4.10)提供了一種實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，將H(z)重寫為

(8.4.11)

由式(8.4.11)可以看出H(z)由FIR和IIR兩部分級聯(lián)而成。第一部分(FIR部分)為

Hc(z)=1-z-N

(8.4.12)這是一個由N節(jié)延時器組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有N個等分的零點。

第二部分(IIR部分)是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò)：

(8.4.13)

此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個極點。該網(wǎng)絡(luò)在處的頻響為∞，是一個諧振頻率為的諧振器。這些并聯(lián)諧振器的極點正好各自抵消一個梳狀濾波器的

零點，從而使這個頻率點的響應(yīng)等于H(k)。

兩部分級聯(lián)后，得到FIR數(shù)字濾波器頻率采樣型結(jié)構(gòu)，如圖8.4.5所示。圖8.4.5FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)圖這一結(jié)構(gòu)的最大特點是它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在

處的響應(yīng)，因此，控制濾波器的響應(yīng)很直接。但它也有兩個缺點：首先所有的系數(shù)和H(k)都是復(fù)數(shù)，計

算復(fù)雜;其次系統(tǒng)的穩(wěn)定性差，因為所有諧振器的極點都在單位圓上，考慮到系數(shù)量化誤差的影響，有些極點實際上不能與梳狀濾波器的零點完全相抵消，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。為了克服頻率采樣型結(jié)構(gòu)的缺點，一般作兩點改進：①將極點、零點移到半徑為r(r<1)的圓上，頻率采樣點也修正到半徑為r的圓上，以解決系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題;②將一階子網(wǎng)絡(luò)的復(fù)共軛對合并成實系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò)。

此時系統(tǒng)函數(shù)H(z)可以寫成

(8.4.14)為了使系數(shù)為實數(shù)，將共軛復(fù)根合并，利用共軛復(fù)根的對稱性，有

同樣，因h(n)是實數(shù)，其DFT也是有限長共軛對稱的，即

H(N-k)=H*(k)因此可將第k個及第N-k個諧振器合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)

(8.4.15)式中

除了共軛極點外，還有實數(shù)極點，分兩種情況。

當N為偶數(shù)時，有一對實數(shù)極點z=±r,對應(yīng)于兩個一階網(wǎng)絡(luò)

此時

(8.4.16)

當N為奇數(shù)時，只有一個實數(shù)極點z=r，對應(yīng)一個一階網(wǎng)絡(luò)H0(z)。此時

(8.4.17)

式(8.4.16)和式(8.4.17)中的Hk(z)為式(8.4.15)所示的Hk(z)。改進的頻率采樣型結(jié)構(gòu)如圖8.4.6(b)所示，圖中二階子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖8.4.6(a)所示。圖8.4.6FIR數(shù)字濾波器改進的頻率采樣型結(jié)構(gòu)圖

(N為偶數(shù))及其二階子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖(a)二階子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖;(b)改進的頻率采樣型結(jié)構(gòu)圖頻率采樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點是：①頻率選擇性好，適于窄帶濾波，大部分H(k)為零，只有較少的二階子網(wǎng)絡(luò)；②不同的FIR數(shù)字濾波器，若長度相同，可通過改變系數(shù)用同

一個網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)；③由于在頻率采樣點ωk，H(ejωk)=H(k)，這正是乘法器系數(shù)，因此調(diào)整該系數(shù)即可直接調(diào)整系統(tǒng)的頻率特性。

頻率采樣型結(jié)構(gòu)的缺點是結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用的存儲器較多。8.4.5FIR快速卷積方法

FIR數(shù)字濾波器除了可用直接型、級聯(lián)型、線性相位型和頻率采樣型實現(xiàn)結(jié)構(gòu)外，還可以用快速卷積方法實現(xiàn)(詳細內(nèi)容見3.7.1節(jié))。

FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是一個有限長序列，設(shè)其長度為N，如果輸入信號x(n)也是有限長序列，長度為M，則系統(tǒng)輸出y(n)可通過下式求得

y(n)=x(n)*h(n)=IDFT［X(k)H(k)］式中的IDFT用離散傅里葉變換的快速算法FFT計算。如果輸入信號無限長，則需要用3.7.1節(jié)中介紹的重疊保留或重疊相加方法，計算每小段序列的卷積時仍用FFT。

對于IIR數(shù)字濾波器，由于單位脈沖響應(yīng)h(n)為無限長，因此無法使用快速卷積方法。

Matlab信號處理工具箱提供了數(shù)字濾波器部分結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的函數(shù)，利用這些函數(shù)可以很方便地獲得數(shù)字濾波器的各種結(jié)構(gòu)。

1.將數(shù)字濾波器的直接型轉(zhuǎn)換為級聯(lián)型

［sos，g］=tf2sos(b，a);8.5利用Matlab依據(jù)算法結(jié)構(gòu)實現(xiàn)數(shù)字濾波器其中，b和a分別為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)分子和分母多項式的系數(shù)向量;返回參數(shù)g和sos是級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的增益和二階子系統(tǒng)的參數(shù)，sos是一個L×6階的矩陣：

(8.5.1)

sos中的每一行元素bik和aik分別是二階子系統(tǒng)分子和分母多項式的系數(shù)，共有L個二階子系統(tǒng)級聯(lián)。系統(tǒng)函數(shù)H(z)為

(8.5.2)

2.根據(jù)系統(tǒng)零極點求數(shù)字濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)

［z，p，k］=tf2zp(b，a);

其中，b和a分別為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)分子和分母多項式的系數(shù)向量；z為系統(tǒng)零點向量;p為系統(tǒng)極點向量;k為系統(tǒng)增益。

sos=zp2sos(z，p，k);

其中，sos含義等同于式(8.5.1)。

3.用級聯(lián)結(jié)構(gòu)求數(shù)字濾波器的輸出響應(yīng)

y=sosfilt(sos，x);

其中，x為數(shù)字濾波器的輸入向量，sos為數(shù)字濾波器的級聯(lián)結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣，如式(8.5.1)所示。

【例8.5.1】某IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為

系統(tǒng)輸入為。用Matlab求該系統(tǒng)級聯(lián)結(jié)構(gòu)，并求系統(tǒng)輸出。

解

Matlab程序為

clear;

x=sin(2*pi*(0：199)*2/20)+cos(2*pi*(0：199)*7/20)； %系統(tǒng)輸入

b=［0.09400.37590.56390.37590.0940］;

a=［100.486000.0177］;

［sos，g］=tf2sos(b，a);

%求系統(tǒng)級聯(lián)結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣

y=sosfilt(sos，x); %求系統(tǒng)輸出運行程序，得到系統(tǒng)級聯(lián)結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣sos為

1.00002.25171.28871.000000.0397

1.00001.74720.77591.000000.4463

系統(tǒng)輸入和輸出如圖8.5.1所示。該系統(tǒng)實際上是一個低通濾波器，截止頻率為ωp=0.5π。圖8.5.1例8.5.1系統(tǒng)輸入和輸出圖(a)輸入;(b)輸出

【例8.5.2】已知某系統(tǒng)的零、極點如下:

零點：1.00021.0000+0.0002i1.0000-0.0002i0.9998

極點：0.2266+0.6442i0.2266-0.6442i0.1645+0.1937i

0.1645-0.1937i

系統(tǒng)增益：0.1672

系統(tǒng)輸入為

用Matlab求該系統(tǒng)級聯(lián)結(jié)構(gòu)，并求系統(tǒng)輸出。

解

Matlab程序為

clear；

x=sin(2*pi*(0：199)*1/20)+cos(2*pi*(0：199)*5/20)；

%系統(tǒng)輸入

z=［1.00021.0000+0.0002i1.0000-0.0002i0.9998］；％系統(tǒng)零點

p=［0.2266+0.6442i0.2266-0.6442i0.1645+0.1937i0.1645-0.1937i］；％系統(tǒng)極點

k=0.1672；％系統(tǒng)增益

sos=zp2sos(z，p，k)；％求系統(tǒng)級聯(lián)結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣

y=sosfilt(sos，x)；％求系統(tǒng)輸出運行程序，得到系統(tǒng)級聯(lián)結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣sos為

0.1672-0.33440.16721.0000-0.32900.06461.0000-2.00001.00001.0000-0.45320.4663系統(tǒng)輸入和輸出如圖8.5.2所示。該系統(tǒng)實際上是一個高通濾波器，截止頻率為ωp=0.4π。

【例8.5.3】某FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為

H(z)=0.8+2z-1+3.2z-2+1.2z-3

求系統(tǒng)級聯(lián)結(jié)構(gòu)。圖8.5.2例8.5.2系統(tǒng)輸入和輸出圖(a)輸入;(b)輸出解利用tf2sos函數(shù)很容易求得級聯(lián)結(jié)構(gòu)，程序為

b=［0.823.21.2］；a=1;

［sos，g］=tf2sos(b，a);

運行程序，得到系統(tǒng)級聯(lián)結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣sos為

1.00000.50000.0

1.000000

1.00002.00003.00001.000000

系統(tǒng)增益為0.8。

濾波器級聯(lián)結(jié)構(gòu)為

H(z)=0.8(1+0.5z-1)(1+2z-1+3z-2)到目前為止，我們所討論的數(shù)字信號處理理論及實現(xiàn)均是無限精度的，即考慮的主要是離散時間信號，沒有考慮系統(tǒng)中的參數(shù)字長效應(yīng)。實際中，無論是用專用硬件還是計算

機軟件來實現(xiàn)，信號的樣值、系統(tǒng)中的參數(shù)以及運算過程中的結(jié)果均存儲在有限位數(shù)的存儲器中，因而處理結(jié)果相對于理論設(shè)計有了誤差。在數(shù)字信號處理中有三種因有限字長的影響而引起誤差的因素。8.6數(shù)字信號處理的誤差分析

(1)對輸入模擬信號的量化誤差(受A/D的精度或位數(shù)的影響)；

(2)對系統(tǒng)中各系數(shù)的量化誤差(受計算機中存儲器的字長影響);

(3)運算過程誤差，如溢出、舍入及誤差累積等(受計算機精度的影響)。8.6.1數(shù)的表示方式及量化誤差

1.數(shù)的表示方法

數(shù)字信號處理中的數(shù)據(jù)一般用二進制編碼表示，有定點和浮點表示方法。

1)定點表示

整個運算中，二進制小數(shù)點在數(shù)碼中的位置固定不變，稱為定點制。

一般定點制總是把數(shù)限制在±1之間。最高位為符號位，0為正，1為負;小數(shù)點緊跟在符號位后;數(shù)的本身只有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”。例如，0.375表示成二進制數(shù)為0.011。定點制在整個運算中，所有結(jié)果的絕對值不能超過1。當數(shù)較大時，一般乘一個比例因子，使整個運算過程中結(jié)果的絕對值不超過1，運算結(jié)束后，再除以同一個比例因子，還原成真值。如果運算過程中，數(shù)字超出±1，稱為“溢出”。定點制的加法運算不會增加字長，但有可能出現(xiàn)溢出。定點制做乘法時，由于兩個絕對值小于1的數(shù)相乘后，其絕對值仍小于1，因此定點制乘法運算不會溢出，但字長要增加一倍。為保證字長不變，相乘后，一般要對增加的尾數(shù)作截尾或舍入處理，故帶來誤差。另一種定點數(shù)的表示是把數(shù)看成整數(shù)。

設(shè)有一個b+1位碼定點數(shù)，α0·α1·α2…αb，則定點數(shù)的表示分為三種：

(1)原碼表示。

原碼的尾數(shù)部分代表數(shù)的絕對值，符號位代表數(shù)的正負號。α0=0時代表正數(shù)，α0=1時代表負數(shù)。因此b+1位定點數(shù)的原碼表示為

(8.6.1)例如：二進制1.111的十進制數(shù)為-0.875，二進制0.010的十進制數(shù)為0.25。

(2)補碼表示。

補碼中正數(shù)與原碼正數(shù)表示一樣，負數(shù)則將原碼中的尾數(shù)求反并在最低位加1。因此b+1位定點數(shù)的補碼表示為

(8.6.2)例如：-0.875的原碼表示為1.111，補碼為1.001；0.25的原碼為0.010，由于是正數(shù)，因此其補碼仍為0.010。

(3)反碼表示。

反碼又稱“1的補碼”。和補碼一樣，反碼的正數(shù)與原碼正數(shù)相同。反碼的負數(shù)則將原碼中的尾數(shù)按位求反。因此b+1位定點數(shù)的反碼表示為

(8.6.3)例如：-0.875的原碼表示為1.111，反碼為1.000;0.25的原碼為0.010，由于是正數(shù)，因此其反碼仍為0.010。

原碼的優(yōu)點是直觀，但做加減運算時要判別符號位的異同，增加了運算時間。補碼可以將加法和減法運算統(tǒng)一為加法運算。因此，在實際應(yīng)用中一般使用二進制補碼形式。

2)浮點表示

定點制的缺點是動態(tài)范圍小，有溢出現(xiàn)象。浮點制則可避免這一缺點。浮點制將一個數(shù)表示成尾數(shù)和指數(shù)兩部分，即

x=±2cM

(8.6.4)式中，M是數(shù)x的尾數(shù)部分；2c是x的指數(shù)部分，c是階數(shù)，也稱為階碼。例如x=0.11×2010表示的十進制數(shù)為

x=0.75×22=3

浮點制將尾數(shù)用帶符號位的定點數(shù)來表示，因而尾數(shù)的第一位就表示浮點數(shù)的符號。

一般為了充分利用尾數(shù)的有效位數(shù)，總是使尾數(shù)字長的最高位(符號位除外)為1，稱為規(guī)格化形式，這時尾數(shù)M是小數(shù)，且滿足。例如，x=0.0101×2011改為規(guī)格化形

式為x=0.101×2010。階碼c也是帶符號的定點數(shù)，這是因為要用負的階碼表示數(shù)值小于0.5的數(shù)。

浮點表示數(shù)的小數(shù)點是浮動的，在浮點制中，位數(shù)必須分為兩部分。尾數(shù)為bm+1位，其中1位是符號位;階碼為bc+1位，其中1位也是符號位。浮點數(shù)的尾數(shù)字長決定了浮點制的運算精度，階碼字長決定了浮點制的動態(tài)范圍。

浮點數(shù)相加、相乘時，尾數(shù)相乘，階碼相加。尾數(shù)相乘的過程與定點制相同，要作截尾或舍入處理。浮點數(shù)相加時，首先將階碼對齊，通過移動階碼小的尾數(shù)的小數(shù)點，使得兩數(shù)的階碼相同，再將尾數(shù)相加，最后規(guī)格化結(jié)果。一般來說，浮點數(shù)都用較長的字長，比如目前浮點DSP芯片一般位數(shù)為32位，精度較高，所以我們討論誤差影響主要是針對定點制。

2.定點制的量化及量化誤差

根據(jù)以上討論，定點制中的乘法運算會使字長增加，例如原來是b位字長，運算后增長到b1位，這時就需要對尾數(shù)作量化處理，使字長由b1位降低到b位。量化處理方式有兩種：一種是截尾即保留b位，拋棄余下的尾數(shù);另一種是舍入，即按最接近的值取b位碼。兩種處理方式產(chǎn)生的誤差不同。編碼不同，誤差也不同。下面我們分別討論。

1)截尾處理

(1)對于正數(shù)x，其三種碼的表示形式相同，因而量化影響也是相同的。一個b1位正數(shù)x的十進制數(shù)值為

(8.6.5)截尾處理后為b位字長，顯然b<b1。用Q［·］表示量化處理，用QT

［·］表示截尾處理。

則有

(8.6.6)

若用eT表示截尾誤差，則有

(8.6.7)可見，eT≤0，當被棄位αi，b+1≤i≤b1全為1，eT有最大誤差：

(8.6.8)

一般，令q=2-b，則正數(shù)的截尾誤差為

-q<eT≤0

(8.6.9)其中，q稱為量化寬度或量化階，代表b位字長可表示的最小數(shù)。

(2)對于負數(shù)x，其三種碼表示方式不同，所以誤差也不同。

①對于原碼負數(shù)(α0=1)，則有

此時截尾誤差為正數(shù)，滿足。因此定點制原碼負數(shù)的截尾誤差是正數(shù)，并且有

0≤eT<q(8.6.10)

②對于補碼負數(shù)(α0=1)，則有

此時補碼負數(shù)的截尾誤差與正數(shù)截尾誤差一樣滿足-q<eT≤0。

【例8.6.1】某一負數(shù)為-0.375,其二進制補碼為x=1.1010，截尾后QT［x］=1.10,求截尾誤差。

解因為截尾后的十進制數(shù)為-0.5，所以

eT=QT［x］-x=-0.5-(-0.375)=-0.125

③對于反碼負數(shù)(α0=1)，則有

由上式可以看出，當被棄位αi，b+1≤i≤b1全為0時，eT有最大誤差，全為1時，誤差最小，因此

即反碼負數(shù)的截尾誤差與原碼負數(shù)截尾誤差相同，有

0≤eT<q

【例8.6.2】某一負數(shù)為-0.1875,其二進制反碼為x=1.1100，截尾后QT［x］=1.11，求截尾誤差。

解因為截尾后的十進制數(shù)為0，所以

eT=QT［x］-x=0.1875

總的來講，補碼的截尾誤差均是負數(shù)，原碼和反碼的截尾誤差取決于數(shù)的正負，正數(shù)時誤差為負，負數(shù)時誤差為正。用式子表示為

正數(shù)及補碼負數(shù)：-q<eT≤0

原碼負數(shù)及反碼負數(shù)：0≤eT<q

2)舍入處理

舍入處理是按最接近的值取b位碼，通過b+1位上加1后作截尾處理實現(xiàn)，就是通常的四舍五入法。按最接近的數(shù)值取量化，所以不論正數(shù)、負數(shù)，還是原碼、補碼、反碼，

誤差總是在之間，以QR［·］表示對x作舍入處理，eR表示舍入誤差。則有

(8.6.11)

(8.6.12)例如：取b=2，則x=0.1001，QR［x］=0.10，舍去0.0001，誤差eR=-2-4;x=0.1011，QR［x］=0.11，將0.0011上入為0.01，誤差eR=2-4;x=0.1010，QR［x］=0.11，將0.0010上入為0.01,誤差eR=2-3。

舍入處理的誤差比截尾處理的誤差小，所以對信號進行量化時多用舍入處理。8.6.2A/D轉(zhuǎn)換中的量化效應(yīng)

A/D轉(zhuǎn)換器包括抽樣與量化兩個部分。在滿足抽樣定理的前提下，抽樣過程是可逆的，而量化過程是不可逆的，經(jīng)量化得到的數(shù)字信號不可能不失真地恢復(fù)原信號，它必定要引入量化誤差或量化噪聲。量化噪聲的大小決定了A/D轉(zhuǎn)換器的動態(tài)范圍，是衡量A/D轉(zhuǎn)換器性能的一個最重要指標。圖8.6.1A/D轉(zhuǎn)換器框圖一個A/D轉(zhuǎn)換器從功能上講，一般分為采樣與量化兩部分，如圖8.6.1所示。模擬信號xa(t)經(jīng)采樣后，轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散時間信號xa(nT)，在第1章我們討論過，離散時間信號xa(nT)

在時間上是離散的，但在幅度上是連續(xù)的，一般用x(n)表示。量化器即二進制數(shù)字編碼器對x(n)進行截尾或舍入處理，得到b+1位(含1位符號位)有限字長的數(shù)字信號。

1.量化誤差的統(tǒng)計分析

定義量化誤差為

e(n)=Q［x(n)］-x(n)

(8.6.13)

在數(shù)字信號處理中，待處理的信號x(n)一般是隨機信號，因此e(n)也是隨機的。要精確知道誤差的大小很困難。一般我們總是通過分析量化誤差的統(tǒng)計特性來分析量化誤差。

我們對其統(tǒng)計特性作如下假定：

(1)e(n)是平穩(wěn)隨機序列；

(2)e(n)與信號x(n)是互不相關(guān)的；

(3)e(n)在誤差范圍內(nèi)是均勻分布的加性白噪聲序列。由上述假定知，量化誤差e(n)是一個與信號序列完全不相關(guān)的白噪聲序列，稱為量化噪聲。定點補碼表示的量化誤差概率密度函數(shù)為

(8.6.14)

(8.6.15)圖8.6.2量化誤差的概率密度函數(shù)曲線(a)截尾誤差;(b)舍入誤差量化誤差的概率密度函數(shù)曲線分別如圖8.6.2所示。

若定點補碼截尾量化，則誤差eT的統(tǒng)計平均值和方差分別為

(8.6.16a)

(8.6.16b)定點補碼舍入量化誤差eR的統(tǒng)計平均值和方差分別為

(8.6.17a)

(8.6.17b)統(tǒng)計分析結(jié)果表明，量化誤差e(n)是由量化引起的量化噪聲。定點補碼截尾處理量化噪聲的統(tǒng)計平均值，相當于給信號增加了一個直流分量，從而改變了信號的頻

譜特性，而方差(即量化噪聲功率)相當于增加了噪聲強度，降低了信噪比，這就是量化效應(yīng)。定點舍入處理量化噪聲的統(tǒng)計平均值，這一點比定點補碼截尾方法好。另外，因為q=2-b，因此量化噪聲的方差與量化位數(shù)b有關(guān)，b越大，方差越小，即為了減小量化

噪聲，必須增加量化位數(shù)。

2.量化信噪比與所需字長的關(guān)系

對信號的A/D轉(zhuǎn)換而言，量化過程可等效為無限精度信號疊加上量化噪聲，補碼截尾和舍入的量化噪聲除均值不同外，兩者的方差均為。顯然，量化噪聲的方差與A/D變換的字長有關(guān)，字長越長，量化噪聲越小。

定義信號功率與量化噪聲之比為量化信噪比，即

(8.6.18)式中，和分別是信號和量化噪聲的功率。用對數(shù)表示量化信噪比SNR，即

(8.6.19)

式(8.6.19)說明，字長每增加一位，信號的信噪比提高約6dB；越大，信噪比越高。

但是字長過長也沒有必要，因為輸入信號x(n)本身有一定的信噪比，字長長到A/D轉(zhuǎn)換器的量化噪聲比x(n)的噪聲電平低得多，就沒有意義了。

【例8.6.3】已知A/D轉(zhuǎn)換器輸入信號x(n)在-1至1之間均勻分布，求A/D轉(zhuǎn)換器分別為8、12位時的SNR。

解因x(n)均勻分布，所以有

均值：

方差：當A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為8(b=7)位時，SNR≈48dB;當A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為12(b=11)位時，SNR≈72dB。

【例8.6.4】對xa(t)=sin(2πf1t)進行采樣，f1=0.042kHz，采樣頻率Fs=10kHz。分別用不同的A/D采樣位數(shù)6、16，用Matlab畫出采樣后的時域和頻域圖。

x=sin(2*pi*0.042*(0：500)/10);

x6=intbR(x，6);

%將信號按6位舍入量化，量化后轉(zhuǎn)為浮點數(shù)x16=intbR(x，16);

%將信號按16位舍入量化，量化后轉(zhuǎn)為浮點數(shù)x6f=fft(x6，4096); %計算6位量化后的信號頻譜

x16f=fft(x16，4096); %計算16位量化后的信號頻譜

%br=intbR(d，b)將十進制數(shù)d利用舍入法得到b(不包括符號位)位的二進制數(shù)，然后將該二進制數(shù)再轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)br

functionbr=intbR(d，b)

m=1；dr1=abs(d);

whilefix(dr1)>0

dr1=abs(d)/(2^m);

m=m+1;

end

br=fix(dr1*2^b+.5);

br=sign(d).*br.*2^(m-b-1);運行程序，得到結(jié)果如圖8.6.3所示。圖(a)為6位和16位采樣的時域波形圖，由圖中可以看出，由于采樣位數(shù)少，6位采樣的時域波形有較為明顯的階梯現(xiàn)象，此時帶來量化

噪聲的增加。圖(b)、(c)分別為6位采樣和16位采樣的頻譜圖，由圖可以明顯看出6位量化后噪聲比16位大。圖8.6.3例8.6.4程序運行結(jié)果(a)采樣時域圖;(b)6位采樣頻譜圖;(c)16位采樣頻譜圖

【例8.6.5】對xa(t)=sin(2πf1t)+0.0055*cos(2πf2t)進行采樣，f1=0.042kHz，f2=2.3kHz，采樣頻率Fs=10kHz。

解用不同的采樣位數(shù)，運行上例程序，得到結(jié)果如圖8.6.4所示。圖(a)、(b)分別為6、16位量化后的信號頻譜圖，由圖中可以看出，采樣位數(shù)少，表示信號的動態(tài)范圍就小。對于相差45dB的兩個單載波信號，16位采樣的頻譜圖，可以明顯地觀察到兩個信號，而6位采樣的頻譜圖，弱信號已淹沒在噪聲中。圖8.6.4例8.6.5采樣頻譜圖(a)6位采樣頻譜圖;(b)16位采樣頻譜圖8.6.3量化噪聲通過線性系統(tǒng)的響應(yīng)

當已量化的信號通過離散線性時不變(LTI)系統(tǒng)時，量化噪聲也隨之通過該系統(tǒng)，并以輸出噪聲的形式出現(xiàn)在系統(tǒng)響應(yīng)中。為了單獨分析量化噪聲通過LTI系統(tǒng)后的影響，將

系統(tǒng)近似看做完全理想的(即具有無限精度的線性系統(tǒng))。在輸入端線性相加的噪聲，在系統(tǒng)的輸出端也是線性相加的。量化噪聲通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)如圖8.6.5所示。圖8.6.5量化噪聲通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)設(shè)離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，單位脈沖響應(yīng)為h(n)，當系統(tǒng)輸入信號為

時，系統(tǒng)的輸出為

(8.6.20)系統(tǒng)輸出噪聲為

(8.6.21)

輸出噪聲ef(n)的統(tǒng)計平均值(即直流分量)為

(8.6.22)式中，H(ej0)=H(ejω)|ω=0為系統(tǒng)的直流增益。當e(n)為舍入量化噪聲時，me=0，此時，輸出噪聲的均值mf=0，輸出噪聲的方差為

由于e(n)是方差為的白噪聲序列，各變量之間互不相關(guān)，即

可得

(8.6.23)由Z變換中的帕斯瓦爾(Parseval)定理，有

(8.6.24)

式中，H(z)的全部極點在單位圓內(nèi)(系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的)，∮c表示沿單位圓逆時針方向的圓周積分。根據(jù)傅里葉變換中的帕斯瓦爾定理，得

(8.6.25)

【例8.6.6】一個8位A/D轉(zhuǎn)換器，其輸出作為IIR數(shù)字濾波器的輸入，求濾波器輸出端的量化噪聲功率。已知IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

解由于A/D的量化效應(yīng)，濾波器輸入端的噪聲功率為

濾波器的輸出噪聲功率為

其積分值等于單位圓內(nèi)所有極點留數(shù)的和。單位圓內(nèi)有一個極點z=0.999，所以

也可以直接由時域形式計算，由H(z)知h(n)=0.999nu(n)，所以

由此例可以看出字長b越大，系統(tǒng)輸出噪聲越小。8.6.4數(shù)字系統(tǒng)中的系數(shù)量化效應(yīng)

對輸入信號進行處理時，需要若干參數(shù)或系數(shù)，由于系統(tǒng)所有系數(shù)必須以有限長度的二進制碼存放在存儲器中，因此必須對理想系數(shù)值量化，造成實際系數(shù)存在誤差，使零、

極點位置發(fā)生偏離，影響系統(tǒng)性能。一個設(shè)計正確的數(shù)字濾波器，在實現(xiàn)時，由于系數(shù)量化，可能會導(dǎo)致實際濾波器特性不符合要求，嚴重時甚至使單位圓內(nèi)的極點偏離到單位圓

上或者單位圓外，從而使系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。

系數(shù)量化引起的量化效應(yīng)對濾波器的影響與寄存器的字長有關(guān)，也與濾波器的結(jié)構(gòu)有關(guān)，選擇合適的結(jié)構(gòu)可減小系數(shù)量化的影響。

1.系數(shù)量化對系統(tǒng)頻率特性的影響

N階系統(tǒng)函數(shù)H(z)為

(8.6.26)由于系數(shù)ak和bi量化而產(chǎn)生的量化誤差為Δak和Δbi，量化后的系數(shù)用和表示，則

(8.6.27)

(8.6.28)量化后的系統(tǒng)函數(shù)用表示，即

(8.6.29)

顯然，系數(shù)量化后的系統(tǒng)頻率響應(yīng)不同于原來設(shè)計的頻率響應(yīng)。

2.極點位置靈敏度

由于系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)的量化將引起系統(tǒng)零、極點位置的改變，而極點位置的變化將直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此引入極點位置靈敏度的概念。極點位置靈敏度是指每個極點位置

對各系數(shù)偏差的敏感程度，它可以反映系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響。不同形式的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，在相同的系數(shù)量化位數(shù)情況下，其量化靈敏度是不同的，這是比較各種結(jié)構(gòu)形式的

重要標準。設(shè)N階數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式A(z)有N個根，即H(z)有N個極點pk(k=1，2，…，N),系數(shù)量化后的極點為(k=1，2，…，N)，則有

(8.6.30)

式中，Δpk表示第k個極點的位置偏差，它與各個系數(shù)的量化誤差有關(guān)，即

(8.6.31)式中，稱為極點pk對系數(shù)ai變化的靈敏度，它表示第i個系數(shù)量化誤差Δai對第k個極點位置偏差Δpk的影響程度。顯然，越大，Δai對Δpk的影響越大，靈敏度越高;反之，Δai對Δpk的影響越小，靈敏度越低。

系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式為

(8.6.32)由于

從而

(8.6.33)由式(8.6.32)可得

(8.6.34)

和

(8.6.35)將式(8.6.34)和式(8.6.35)代入式(8.6.33)，得到第k個極點對系數(shù)ai的極點位置靈敏度為

(8.6.36)

上式只對單階極點有效，多階極點可以進行類似的推導(dǎo)。將式(8.6.36)代入式(8.6.31)，可得各個ai的量化誤差Δai引起的第k個極點的位置偏差為

(8.6.37)分析極點位置靈敏度公式和極點位置偏差公式，可以得出以下結(jié)論:

(1)式(8.6.36)中，分母中的每一個因子(pk-pi)是極點pk指向極點pi的矢量，整個分母是所有極點(不包括極點pk)指向極點pk的矢量之積。矢量越長，極點位置靈敏度越低。即極點彼此間距離越遠，極點位置靈敏度就越低;極點彼此越密集，極點位置靈敏度就越高。

(2)式(8.6.37)表明，極點位置Δpk不僅與極點位置靈敏度

和濾波器系數(shù)量化誤差Δai有關(guān)，還與濾波器階數(shù)N有關(guān)，階數(shù)越高，極點位置偏差越大。高階直接型結(jié)構(gòu)濾波

器的極點數(shù)目多而密集，而低階直接型結(jié)構(gòu)濾波器的極點數(shù)目少而稀疏，因而前者對系數(shù)量化誤差要敏感得多。

(3)并聯(lián)型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的每一對共軛極點是單獨用一個二階子系統(tǒng)實現(xiàn)的，每對極點只受與之有關(guān)的兩個系數(shù)的影響，級聯(lián)或并聯(lián)后，每個子系統(tǒng)的極點密集度就比直接型高階網(wǎng)絡(luò)的要稀疏得多，因而極點位置受系數(shù)量化的影響比直接型結(jié)構(gòu)要小得多。

【例8.6.7】分析橢圓型帶通濾波器結(jié)構(gòu)的量化效應(yīng)，其通帶截止頻率為［0.3π，0.55π］,通帶最大衰減為0.4dB，最小的阻帶衰減為50dB。對濾波器系數(shù)分別進行舍入、截尾處理。

解

Matlab程序如下:

clear；qq=5; %量化位數(shù)qq

［b，a］=ellip(4，0.4，50，［0.30.55］);

%設(shè)計橢圓帶通濾波器［h，w］=freqz(b，a，512)；

h=20*log10(abs(h)/max(abs(h))); %求頻率響應(yīng)，幅度歸一bqr=intbR(b，qq)；aqr=intbR(a，qq);

%濾波器系數(shù)舍入量化為qq位［hr，wr］=freqz(bqr，aqr，512)；

hr=20*log10(abs(hr)/max(abs(hr)));

%求量化后濾波器的頻率響應(yīng)，幅度歸一［sos，g］=tf2sos(b，a);

%求濾波器級聯(lián)子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

b1=sos(1，1：3);a1=sos(1，4：6)；

b2=sos(2，1：3);a2=sos(2，4：6)；

b3=sos(3，1：3);a3=sos(3，4：6)；

b4=sos(4，1：3);a4=sos(4，4：6)；

bqr1=intbR(b1，qq)；aqr1=intbR(a1，qq);

%量化子系統(tǒng)系數(shù)

［h1，w1］=freqz(bqr1，aqr1，512);

%求量化后子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

bqr2=intbR(b2，qq)；

aqr2=intbR(a2，qq);

［h2，w1］=freqz(bqr2，aqr2，512);

bqr3=intbR(b3，qq);aqr3=intbR(a3，qq);

［h3，w1］=freqz(bqr3，aqr3，512);

bqr4=intbR(b4，qq)；

aqr4=intbR(a4，qq);

［h4，w1］=freqz(bqr4，aqr4，512);

hhh=h1.*h2.*h3.*h4；hhh=20*log10(abs(hhh)/max(abs(hhh)));

%級聯(lián)子系統(tǒng)系數(shù)量化后的頻率響應(yīng)

［z，p，k］=tf2zp(b，a); %求直接型系統(tǒng)的零、極點

［zr，pr，kr］=tf2zp(bqr，aqr);

%求直接型系數(shù)量化后的系統(tǒng)零、極點

functionbt=intbT(d，b)

%bt=intbT(d，b)將十進制數(shù)d利用截尾

%法得到b(不包括符號位)位的二進制數(shù)，%然后將該二進制數(shù)再轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)bt

m=1；dt1=abs(d);

whilefix(dt1)>0

dt1=abs(d)/(2^m);

m=m+1;

end

bt=fix(dt1*2^b);

bt=sign(d).*bt.*2^(m-b-1);

舍入量化程序運行結(jié)果如圖8.6.6所示。圖8.6.6例8.6.7舍入量化前后比較圖(a)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng);(b)極點位置;(c)零點位置由于量化位數(shù)少(只有5位)，IIR高階直接型對量化非常敏感，由圖(b)(量化前后極點位置變化圖)和圖(c)(量化前后零點位置變化圖)可以看出，直接型量化前后的零、極點位置均發(fā)生了變化，造成系統(tǒng)特性的改變，如圖(a)所示，通帶內(nèi)的頻率響應(yīng)已發(fā)生了較大的改變(圖中粗線所示)。而在級聯(lián)型的子系統(tǒng)中，直接型階數(shù)較低(2階)，對系數(shù)量化不敏感，因此系統(tǒng)特性量化前后沒有太大改變，如圖(a)中虛線所示。截尾量化程序運行結(jié)果如圖8.6.7所示。由圖中可以明顯看出分子系數(shù)由于截尾量化誤差過大，使得零點位置發(fā)生了較大的變化，如圖8.6.7(c)所示，因此造成直接型結(jié)構(gòu)的頻