2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專(zhuān)題整合復(fù)習(xí)卷12.3 等腰三角形 課課練(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專(zhuān)題整合復(fù)習(xí)卷12.3等腰三角形課課練(含答案)-12.3等腰三角形第1課時(shí)◆名師導(dǎo)航本課重點(diǎn)內(nèi)容是等腰三角形的兩個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)1，等腰三角形的兩個(gè)底角相等；性質(zhì)2，等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合．實(shí)際上，由于等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中許多相等的線(xiàn)段或角，如兩底角平分線(xiàn)、兩腰的中線(xiàn)、兩腰的高，以及教科書(shū)安排的“討論”欄目中提到的一些線(xiàn)段和角等，這些結(jié)論用全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)可以比較容易的證明．◆典例精析【例1】（2007年重慶市）已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（）（A）200（B）1200（C）200或1200（D）360【思路點(diǎn)撥】結(jié)合等腰三角形底角相等的性質(zhì)，要分類(lèi)討論該三角形三個(gè)內(nèi)角的比可能為1：1：4或1：4：4，于是這個(gè)三角形頂角可為200或1200．【簡(jiǎn)解】C．【規(guī)律總結(jié)】本題是一道經(jīng)典考題，主要考查三角形內(nèi)角和定理及分類(lèi)討論的思想意識(shí)．【例2】如圖所示，Rt△ABC中，是直角，D是AB上的一點(diǎn)，BD=BC，過(guò)D點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)交AC于點(diǎn)．，CD、B．交于點(diǎn)F，求證：．【思路點(diǎn)撥】由已知得△BDC是等腰三角形，要證，只要證BF是頂角的平分線(xiàn)或是底邊CD上的中線(xiàn)，所以只要證，或證DF=FC即可．已知，可從證入手．【證明】【規(guī)律總結(jié)】本題主要考查三角形全等、等腰三角形三線(xiàn)合一等知識(shí)的綜合運(yùn)用．在運(yùn)用三線(xiàn)合一性質(zhì)時(shí)，通常是證明在等腰三角形中，頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)，底邊上的高三條中具有一條性質(zhì)時(shí)，則它必同時(shí)具有另兩條性質(zhì)，而不是證這三條線(xiàn)段重合，在證題時(shí)不能混淆．◆跟蹤訓(xùn)練1．等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是（）A．頂角的平分線(xiàn)B．底邊上的高C．底邊上的中線(xiàn)D．底邊上的高所在的直線(xiàn)2．等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4cm和9cm，則該三角形的周長(zhǎng)是（）A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm3．等腰三角形的頂角是80°，則一腰上的高與底邊的夾角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°4．等腰三角形的一個(gè)外角是80°，則其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°5．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)是（）A．80°B．90°C．100°D．108°6．等腰△ABC的底角是60°，則頂角是________度．7．等腰三角形“三線(xiàn)合一”是指___________．8．等腰三角形的頂角是n°，則兩個(gè)底角的角平分線(xiàn)所夾的鈍角是_________．9．如圖，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，則∠EDF的度數(shù)是_____．10．△ABC中，AB=AC．點(diǎn)D在BC邊上.（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（2）∵AD是中線(xiàn)，∴∠________=∠________；________⊥________；（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．參考答案1．D2．B3．A4．C5．B6．607．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)、頂角的平分線(xiàn)互相重合8．（90+n）°9．70°10．略12.3等腰三角形第2課時(shí)◆名師導(dǎo)航本課的重點(diǎn)是探究了等腰三角形的判定方法：等角對(duì)等邊．這也是證明兩條線(xiàn)段相等的重要方法，它是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，同學(xué)們注意掌握這個(gè)技能，這也是全章重點(diǎn)所在．另外還要注意體會(huì)的是“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”是不一樣的兩個(gè)結(jié)論，它們的題設(shè)與結(jié)論正好相反，實(shí)際上是互逆命題，也前面平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)類(lèi)似，具體應(yīng)用時(shí)要注意不能混淆，這也是一個(gè)難點(diǎn)．◆典例精析【例題】如圖，△ABC中，AB=AC，過(guò)BC上一點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，交AC于Q，試判斷△APQ的形狀，并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】判斷三角形的形狀，其探索思路是根據(jù)圖形結(jié)合我們學(xué)習(xí)過(guò)的特殊的三角形（如等腰三角形，等邊三角形，直角三角形等）進(jìn)行探究.【解析】△APQ是等腰三角形.證明：因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C，又PD⊥BC，所以∠BDP=∠PDC，所以∠P=∠DQC，又因?yàn)椤螪QC=∠AQP，所以∠AQP=∠P，所以△APQ為等腰三角形.【規(guī)律總結(jié)】解決和等腰三角形有關(guān)的探索型試題，需要根據(jù)等腰三角形的特征，結(jié)合已知條件進(jìn)行.◆跟蹤訓(xùn)練1．如圖1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，則CD等于（）A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm（1）(2)(3)2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．如圖2，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF=CF．其中正確的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①4．如圖3，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線(xiàn)AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．CH=HDD．AC=AF二、填空題5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，則AB：BC=_________．6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線(xiàn)，要使AD∥BC，則△ABC的邊一定滿(mǎn)足________．7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，AE=2cm，且DE∥BC，則AD=________．8．一燈塔P在小島A的北偏西25°，從小島A沿正北方向前進(jìn)30海里后到達(dá)小島，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏西50°方向，則P與小島B相距________．三、解答題9．如圖，已知AB=AC，E、D分別在AB、AC上，BD與CE交于點(diǎn)F，且∠ABD=∠ACE，求證：BF=CF．10．如圖，△ABC中BA=BC，點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，DF⊥AC于F交BC于E，求證：△DBE是等腰三角形．參考答案1．A2．C3．A4．C5．16．AB=AC7．2cm8．30海里9．連接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC10．證明∠D=∠BED12.3等腰三角形第3課時(shí)◆名師導(dǎo)航本課重點(diǎn)是等邊三角形的性質(zhì)、判定方法及直角三角形的一個(gè)性質(zhì)．等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，它的性質(zhì)實(shí)際上也是等邊對(duì)等角問(wèn)題，由于它三條邊都相等，于是它的三個(gè)角都相等為60度；第一個(gè)判定正三角形的方法也是等角對(duì)等邊的問(wèn)題，只是三個(gè)角都相等，所對(duì)的三個(gè)邊都相等，從而它是等邊三角形，第2個(gè)判定方法告訴我們，在等腰三角形中，只要有一個(gè)角為60度，不論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形，這也給證明三角形中邊相等帶來(lái)方便．◆典例精析【例題】已知△ABC為等邊三角形，在圖①中，點(diǎn)M是線(xiàn)段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N線(xiàn)段CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN，直線(xiàn)BN與AM相交于Q點(diǎn)．（1）請(qǐng)猜一猜：圖①中∠BQM等于多少度？（2）若M、N兩點(diǎn)分別在線(xiàn)段BC、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其它條件不變，如圖②所示，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)加以證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）題通過(guò)猜想、測(cè)量或證明等方法不難發(fā)現(xiàn)∠BQM=60°，而且這一結(jié)論在圖形發(fā)生變化后仍然成立．【簡(jiǎn)解】（1）∠BQM=60°；（2）題的證明思路如下：先證△ACM≌△BAN，得到∠M=∠N，所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°．【規(guī)律總結(jié)】隨著幾何學(xué)習(xí)的深入，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)規(guī)律探究題，要求同學(xué)們?cè)谶\(yùn)動(dòng)變化中探求圖形某些不變的性質(zhì)或變化的規(guī)律，培養(yǎng)同學(xué)們運(yùn)動(dòng)變化的觀念，以及發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的能力．◆跟蹤訓(xùn)練1．正△ABC的兩條角平分線(xiàn)BD和CE交于點(diǎn)I，則∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線(xiàn)也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（）A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等邊三角形第3題第5題4．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長(zhǎng)度是（）A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm5．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點(diǎn)，∠1=∠2，BE=CD，則對(duì)△ADE的形狀最準(zhǔn)備的判斷是（）A．等腰三角形B．等邊三角形C．不等邊三角形D．不能確定形狀6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=_______．7．已知AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線(xiàn)，AD與BE交于點(diǎn)F，則∠AFE=______．8．等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有______條對(duì)稱(chēng)軸，分別是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)度是_______．10．已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點(diǎn)，且AE=BD，求BE與CD的夾角是多少度？參考答案1．C2．D3．A4．C5．B6．60°7．60°8．三；三邊的垂直平分線(xiàn)9．1cm10．60°或120°12.3等腰三角形第4課時(shí)◆名師導(dǎo)航本課安排一節(jié)習(xí)題課，綜合應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)、判定與等邊三角形的性質(zhì)與判定，還有直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，靈活地選擇性質(zhì)進(jìn)行求解．◆典例精析【例題】如圖所示，P、Q是△ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】由已知△APQ為等邊三角形，故可求得它的外角的度數(shù)，又由等腰三角形的性質(zhì)求得底角的度數(shù)．【解析】（等邊三角形三個(gè)角都為60°）（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）．【規(guī)律總結(jié)】（1）幾何計(jì)算的目的通常是找量與量的關(guān)系，等腰三角形的兩底角相等，等邊三角形三內(nèi)角均為60°，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)等都是建立量與量的關(guān)系的依據(jù)．（2）幾何計(jì)算通常用列方程（組）來(lái)解決．◆跟蹤訓(xùn)練1．如圖，等腰三角形中，，∠=44°，⊥于，則∠等于（）A．44°B．68°C．46°D．22°ＡＡＢＤＣAADCＢ第1題第3題第4題2．已知∠AOB=30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，則P1，O，P2三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形3．如圖所示，在等腰三角形中，，，那么底邊上的高cm．4．（教材變型題）如圖,是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分,點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn),立柱BC、DE垂直于橫梁AC,BC=4m,∠A=30°,則DE等于()(A)1m(B)2m(C)3m(D)4m5．如圖，中，，，垂直平分，則的度數(shù)為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．第5題第7題一個(gè)等腰三角形的兩邊分別為8cm和6cm，則它的周長(zhǎng)為cm．7．聰明的亮亮用含有的兩個(gè)完全相同的三角板拼成如圖所示的圖案，并發(fā)現(xiàn)圖中有等腰三角形，請(qǐng)你幫他找出兩個(gè)等腰三角形．8．已知等腰三角形中，為邊上一點(diǎn)，連接，若和都是等腰三角形，則的度數(shù)是．AFCDHBAFCDHBMEG10．如圖所示，A，B是4×5網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．請(qǐng)?jiān)趫D中清晰標(biāo)出使以A，B，Ｃ為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的所有格點(diǎn)Ｃ的位置．參考答案1．D2．D3．64．B5．Ｄ6．22或207．8．或9．3ABABCCC達(dá)標(biāo)訓(xùn)練一、基礎(chǔ)·鞏固·達(dá)標(biāo)1.等腰△ABC中，頂角∠A＝40°，則一個(gè)底角∠B＝________.2.2010上海模擬等腰三角形底邊上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則底角等于________度.3.已知等腰三角形的一個(gè)角的補(bǔ)角是100°，那么這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為_(kāi)_______.4.等腰三角形的兩邊分別為5cm和8cm，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.5.如圖14-3-12，△ABC是等邊三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，則∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.圖14-3-12圖14-3-13圖14-3-146.如圖14-3-13，已知在△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點(diǎn)，且AD＝CD＝BC，則∠B＝________，∠ACD＝________.若點(diǎn)D到BC的距離為1cm，那么點(diǎn)D到AC的距離為_(kāi)_______.7.如圖14-3-14，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于點(diǎn)D，則∠DBC＝________.8.等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2acm，則三角形的面積為_(kāi)_______.9.如圖14-3-15，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)，且相交于F，則圖中的等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A.6B.7C.8D.9圖14-3-15圖14-3-1610.如圖14-3-16，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，則∠DCB等于（）A.44°B.68°C.46°D.22°二、綜合·應(yīng)用·創(chuàng)新11.如圖14-3-17，已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AO⊥BC,求證:OB＝OC.圖14-3-1712.如圖14-3-18是一座斜拉橋的剖面圖.BC是橋路面，AD是橋墩，設(shè)計(jì)大橋時(shí)工程師要求斜拉的鋼繩AB等于AC.大橋建成后，工程技術(shù)人員要對(duì)大橋質(zhì)量進(jìn)行驗(yàn)收，由于橋墩AD很高，無(wú)法直接測(cè)量鋼繩AB、AC的長(zhǎng)度.請(qǐng)你用兩種不同的方法檢驗(yàn)AB、AC的長(zhǎng)度是否相等？（檢驗(yàn)工具為刻度尺、量角器；檢驗(yàn)時(shí)，人只能站在橋面上）圖14-3-1813.如圖14-3-19，在一個(gè)房間內(nèi)，有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時(shí)梯子的傾斜角為75°.若梯子底端距離地面的垂直距離NB為b米，梯子的傾斜角為45°.則這間房子的寬AB是米.圖14-3-1914.如圖14-3-20，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF也是等邊三角形.（1）除已知相等的邊以外，請(qǐng)你猜想還有哪些相等線(xiàn)段，并證明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線(xiàn)段，可以通過(guò)怎樣的變化相互得到？寫(xiě)出變化過(guò)程.圖14-3-2015.如圖14-3-21，已知在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝BE.求∠A的度數(shù).圖14-3-2116.某校計(jì)劃將一塊形狀為等邊三角形的土地分成四塊形狀為等腰三角形的土地，每一塊地三、回顧·熱身·展望17.浙江金華模擬如圖14-3-22是蹺蹺板的示意圖，支柱OC與地面垂直，點(diǎn)O是橫板AB的中點(diǎn)，AB可以繞著點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)Ａ端落地時(shí)，∠OAC＝20°，橫板上下可轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度（即∠A′OA）是（）圖14-3-22A.80°B.60°C.40°D.20°18.2010安徽阜陽(yáng)模擬模擬下面是兩位學(xué)生的探討過(guò)程：學(xué)習(xí)了等腰三角形內(nèi)容后，李老師布置了一道題：等腰三角形上的高與另一腰的夾角為30°，求頂角的度數(shù).小王說(shuō)：“頂角的度數(shù)應(yīng)為60°”；小張說(shuō)：“應(yīng)該等于120°吧”.這時(shí)許多同學(xué)一起來(lái)議論……（1）假如你也參加了討論，你的意見(jiàn)如何？為什么？（2）通過(guò)上面問(wèn)題的討論，結(jié)合平時(shí)的學(xué)習(xí)，寫(xiě)寫(xiě)自己的想法.（用一句話(huà)表示）參考答案一、基礎(chǔ)·鞏固·達(dá)標(biāo)1.等腰△ABC中，頂角∠A＝40°，則一個(gè)底角∠B＝________.答案：70°2.2010上海模擬等腰三角形底邊上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則底角等于________度.答案：303.已知等腰三角形的一個(gè)角的補(bǔ)角是100°，那么這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為_(kāi)_______.答案：80°，80°，20°或50°，50°，80°4.等腰三角形的兩邊分別為5cm和8cm，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.答案：18cm或21cm5.如圖14-3-12，△ABC是等邊三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，則∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.圖14-3-12圖14-3-13圖14-3-14答案：30°60°2.5cm120°6.如圖14-3-13，已知在△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點(diǎn)，且AD＝CD＝BC，則∠B＝________，∠ACD＝________.若點(diǎn)D到BC的距離為1cm，那么點(diǎn)D到AC的距離為_(kāi)_______.答案：72°36°1cm7.如圖14-3-14，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于點(diǎn)D，則∠DBC＝________.答案：30°.8.等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2acm，則三角形的面積為_(kāi)_______.思路解析：鈍角三角形的高在三角形外，三角形的一個(gè)外角為30°.答案：a2cm29.如圖14-3-15，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別為∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)，且相交于F，則圖中的等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A.6B.7C.8D.9圖14-3-15圖14-3-16答案：C10.如圖14-3-16，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，則∠DCB等于（）A.44°B.68°C.46°D.22°答案：D二、綜合·應(yīng)用·創(chuàng)新11.如圖14-3-17，已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AO⊥BC,求證:OB＝OC.圖14-3-17證明：延長(zhǎng)AO交BC于D，∵AO⊥BC,∴AD為高.∵AB=AC,∴∠BAO=∠CAO.∵AO公共,∴△ABO≌△ACO.∴OB=OC.12.如圖14-3-18是一座斜拉橋的剖面圖.BC是橋路面，AD是橋墩，設(shè)計(jì)大橋時(shí)工程師要求斜拉的鋼繩AB等于AC.大橋建成后，工程技術(shù)人員要對(duì)大橋質(zhì)量進(jìn)行驗(yàn)收，由于橋墩AD很高，無(wú)法直接測(cè)量鋼繩AB、AC的長(zhǎng)度.請(qǐng)你用兩種不同的方法檢驗(yàn)AB、AC的長(zhǎng)度是否相等？（檢驗(yàn)工具為刻度尺、量角器；檢驗(yàn)時(shí)，人只能站在橋面上）圖14-3-18思路解析：判斷△ABC是等腰三角形.答案：（1）測(cè)量∠B=∠C.（2）AD⊥BC,且BD=CD.13.如圖14-3-19，在一個(gè)房間內(nèi)，有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時(shí)梯子的傾斜角為75°.若梯子底端距離地面的垂直距離NB為b米，梯子的傾斜角為45°.則這間房子的寬AB是米.圖14-3-19思路解析：連接MN，如下圖，因?yàn)樘葑拥拈L(zhǎng)度不變，所以△MCN是等邊三角形，過(guò)N作NK⊥MA，垂足為K，可以證明Rt△MAC≌Rt△NKM.答案：a14.如圖14-3-20，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF也是等邊三角形.（1）除已知相等的邊以外，請(qǐng)你猜想還有哪些相等線(xiàn)段，并證圖14-3-20明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線(xiàn)段，可以通過(guò)怎樣的變化相互得到？寫(xiě)出變化過(guò)程.圖14-3-21思路解析：兩個(gè)等邊三角形公共中心，構(gòu)成了新的三個(gè)三角形：△AFE、△BDF、△CED也是全等三角形.答案：（1）AE=BF=CD，AF=BD=CE.理由：如下圖：∵△ABC、△DEF都是等邊三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝∠EFD＝∠FDE＝∠DEF＝60°，EF＝FD＝DE.∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝∠3+∠4＝∠4+∠5＝∠5+∠6＝∠6+∠1＝120°.∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6.∴△AFE≌△BDF≌△CED.∴AE=BF=CD，AF=BD=CE.（2）用旋轉(zhuǎn)與平移相結(jié)合的方法可以相互得到.15.如圖14-3-21，已知在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝BE.求∠A的度數(shù).思路解析：根據(jù)三角形的邊角相等把角集中在同一三角形中.由于題目中沒(méi)有給出具體的數(shù)據(jù),所以可以根據(jù)各個(gè)角之間的關(guān)系設(shè)未知數(shù).解：設(shè)∠EBD=x,∵BE=DE,∴∠AED=2x.∵AD=DE,∴∠A=2x.∴∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠C=12（180°-∠A）＝90°-x.∵BD=BC,∴∠BDC=∠C.∴90°-x=3x，解得x=22.5°.∴∠A=45°.16.某校計(jì)劃將一塊形狀為等邊三角形的土地分成四塊形狀為等腰三角形的土地，每一塊地種植一種花草，請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種不同的分割方案，并在圖中標(biāo)明每個(gè)等腰三角形底角的度數(shù).答案：圖形（角度為60°與30°）：三、回顧·熱身·展望17.浙江金華模擬如圖14-3-22是蹺蹺板的示意圖，支柱OC與地面垂直，點(diǎn)O是橫板AB的中點(diǎn)，AB可以繞著點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)Ａ端落地時(shí)，∠OAC＝20°，橫板上下可轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角度（即∠A′OA）是（）圖14-3-22A.80°B.60°C.40°D.20°思路解析：△OAB′是等腰三角形.答案：C18.2010安徽阜陽(yáng)模擬模擬下面是兩位學(xué)生的探討過(guò)程：學(xué)習(xí)了等腰三角形內(nèi)容后，李老師布置了一道題：等腰三角形上的高與另一腰的夾角為30°，求頂角的度數(shù).小王說(shuō)：“頂角的度數(shù)應(yīng)為60°”；小張說(shuō)：“應(yīng)該等于120°吧”.這時(shí)許多同學(xué)一起來(lái)議論……（1）假如你也參加了討論，你的意見(jiàn)如何？為什么？（2）通過(guò)上面問(wèn)題的討論，結(jié)合平時(shí)的學(xué)習(xí)，寫(xiě)寫(xiě)自己的想法.（用一句話(huà)表示）解:（1）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，度數(shù)為60°；當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，度數(shù)為120°.（2）想法中答有：“分類(lèi)討論”、“考慮全面”等能體現(xiàn)分類(lèi)討論思想的即可.12.3等腰三角形自測(cè)題◆夯實(shí)基礎(chǔ)一、耐心選一選，你會(huì)開(kāi)心（每題6分，共30分）1．若等腰三角形底角為，則頂角為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，則它的周長(zhǎng)為（）

A．12或9 B．12 C．9 D．73．從等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)分別作兩腰的平行線(xiàn)，與兩腰所圍成的平行四邊形的周長(zhǎng)等于三角形的（）Ａ．兩腰長(zhǎng)的和 Ｂ．周長(zhǎng)的一半 Ｃ．周長(zhǎng) Ｄ．一腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的和4．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．ABCDE5．如圖，在△ABC中，∠ACB=100°，ABCDE則∠DCE的度數(shù)為（）A．20°B．25°C．30°D．40°二、精心填一填，你會(huì)輕松（每題6分，共30分）6．已知：如右圖,△ABC中,BD平分∠ABC,且D為AC的中ADCB點(diǎn),DE∥BC交AB于點(diǎn)E,若BC=4,則EB長(zhǎng)為_(kāi)ADCBCDCDE第6題第7題第8題7．如圖，在中，，為的平分線(xiàn)，則_________．8．如圖，在中，，，分別是，的中點(diǎn)，，為上的點(diǎn)，連結(jié)，．若，，，則圖中陰影APQCB部分的面積為 ．APQCB9．如圖，是的邊上的兩點(diǎn)，且，則的大小等于（度）．10．在活動(dòng)課上，小紅已有兩根長(zhǎng)為4cm，8cm的小木棒，現(xiàn)打算拼一個(gè)等腰三角形，則小紅應(yīng)取的第三根小木棒長(zhǎng)是cm．三、細(xì)心做一做，你會(huì)成功（共40分）11．一個(gè)直角三角形房梁如圖所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分別是B1、C1，那么BC的長(zhǎng)是多少？AABC12O12．已知：如圖，平分，．求證：是等腰三角形．13．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求證：∠BAC=30°．◆綜合創(chuàng)新ACBED14．如圖所示，把一個(gè)直角三角尺繞著角的頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)重合．ACBED（1）三角尺旋轉(zhuǎn)了多少度？（2）連結(jié)，試判斷△的形狀；（3）求的度數(shù)．15．下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷．閱讀后，請(qǐng)回答下面的問(wèn)題：學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，張老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問(wèn)題：“已知等腰三角形的角等于，請(qǐng)你求出其余兩角”．同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手講：“其余兩角是和”；王華同學(xué)說(shuō)：“其余兩角是和”．還有一些同學(xué)也提出了不同的看法．（1）假如你也在課堂中，你的意見(jiàn)如何？為什么？【答】（2）通過(guò)上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，你有什么感受？（用一句話(huà)表示）【答】◆中考鏈接16．(2007廣州潛江)如圖，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=，則∠CAB的度數(shù)為（）BDAECA.B.C.D.BDAECABABCDF第16題BCEA第17題第18題17．（2007湖北荊門(mén)）如圖，在等邊中，分別是上的點(diǎn)，且，則 度．18．（2007湖北）夷陵長(zhǎng)江大橋?yàn)槿崩瓨颍鐖D，中塔左右兩邊所掛的最長(zhǎng)鋼索，塔柱底端與點(diǎn)間的距離是米，則的長(zhǎng)是 米．19．（2007福建泉州）圖（1）是一個(gè)黑色的正三角形，順次連結(jié)它的三邊的中點(diǎn)，得到如圖（2）所示的第2個(gè)圖形（它的中間為一個(gè)白色的正三角形）；在圖（2）的每個(gè)黑色的正三角形中分別重復(fù)上述的作法，得到如圖（3）所示的第3個(gè)圖形．如此繼續(xù)下去，則在得到的第6個(gè)圖形中，白色的正三角形的個(gè)數(shù)是．…………圖（1）圖（2）圖（3）①②折疊后20．(2007湖南邵陽(yáng))如圖，中，，將沿著一條直線(xiàn)折疊后，使點(diǎn)與點(diǎn)重合（圖②）．①②折疊后（1）在圖①中畫(huà)出折痕所在的直線(xiàn)．設(shè)直線(xiàn)與分別相交于點(diǎn)，連結(jié)．（畫(huà)圖工具不限，不要求寫(xiě)畫(huà)法）（2）請(qǐng)你找出完成問(wèn)題（1）后所得到的圖形中的等腰三角形．（不要求證明）參考答案夯實(shí)基礎(chǔ)1．D2．本題的腰長(zhǎng)只能是5，因?yàn)檠鼮?時(shí)，2+2＜5，不符合三角形三邊關(guān)系，故選B3．Ａ4．D提示：分兩種情況：高在三角形內(nèi)和高在三角形外，分別求得度數(shù)為，故選Ｄ．5．D提示：∵AC=AE，BC=BD∴設(shè)∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°－2x°，∠B=180°－2y°,∵∠ACB＋∠A＋∠B=180°，∴100+（180－2x）+（180－2y）=180，得x+y=140,∴∠DCE=180－（∠AEC＋∠BDC）=180－（x+y）=40°6．27．82.5°8．309．10．8提示：本題易誤解為4或8，實(shí)際上第三根小木棒長(zhǎng)是4時(shí)，不符合三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，故答案是：11．解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．∴BC=AB=5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1=90°．又∵∠A+∠B=90°，∴∠BCB1=∠A=30°．在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm．∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．12．證明：作于，于又，（注：與平分等同，直用）．，ABCABC12OEF5634．．，即．．（注：此步可不寫(xiě)．）是等腰三角形．13．證明：延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連結(jié)AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC，∴△ACB≌△ACD（SAS）．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD為等邊三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．綜合創(chuàng)新14．（1）；（2）等腰三角形；（3）．15．（1）答：上述兩同學(xué)回答的均不全面，應(yīng)該是：其余兩角的大小是和或和．理由如下：（=1\*romani）當(dāng)是頂角時(shí)，設(shè)底角是．，．其余兩角是和．（=2\*romanii）當(dāng)是底角時(shí)，設(shè)頂角是，，．其余兩角分別是和．中考鏈接16．B17．18．45619．20．解：（1）如圖所示：（2），為等腰三角形12.3等腰三角形（第一課時(shí)）◆隨堂檢測(cè)1.等腰三角形ＡＢＣ中，AB=AC，∠Ａ＝70，∠Ｂ=，∠Ｃ=．2．在等腰三角形中，有一個(gè)角為80°，則另外兩個(gè)角的度數(shù)為．3.已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則第三邊的長(zhǎng)為．4.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A＝30o，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數(shù)為（）A．80°B．75°C．65°D．45°◆典例分析例如圖，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一點(diǎn)．求證：∠ABP＝∠ACP．解析：本題如果用三角形全等來(lái)證明兩角相等，則至少需要證明兩次三角形全等，若用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)就會(huì)顯得較為簡(jiǎn)單．證明：連結(jié)BC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵點(diǎn)A、D在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，∴AD就是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)．∴PB＝PC．∴∠PBC＝∠PCB．∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB．即∠ABP＝∠ACP．◆課下作業(yè)●拓展提高1．已知一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5，另一邊長(zhǎng)為7，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為2．已知在等腰三角形中，有一個(gè)角的度數(shù)為120°,則另外兩個(gè)角的度數(shù)為3．等腰三角形底邊為5，一腰上的中線(xiàn)把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3，則腰長(zhǎng)為（）A.8B.2C.8或2D.以上都不對(duì)4.如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是頂角∠BAC的外角的平分線(xiàn)。證明：AD∥BC.5．等腰三角形中，一邊與另一邊之比為３：２，該三角形周長(zhǎng)為５６，求腰長(zhǎng)是多少？6.如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB邊上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且BD＝CE，DE交BC于F。說(shuō)明：DF＝EF。7.已知，如圖，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠AEF＝∠AFE．求證：EF⊥BC．●體驗(yàn)中考1．（2009年浙江湖州）如圖：已知在中，，為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為.求證：；DDCBEAF2.（2009年大興安嶺）在邊長(zhǎng)為4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一條邊是矩形的長(zhǎng)或?qū)?，第三個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上，求所作三角形的面積．參考答案◆隨堂檢測(cè)1.解析：∵∠Ａ＝７０AB=AC，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝．2.解析：此題中只給了一個(gè)角的度數(shù)，這個(gè)角即可以為等腰三角形的頂角，又可以為等腰三角形的底角。當(dāng)此角為等腰三角形的頂角時(shí)，根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等的性質(zhì)可知兩個(gè)底角是（180°-80°）÷2=50°；當(dāng)已知角為底角時(shí)，則另一個(gè)底角也是80°，所以可知這個(gè)等腰三角形的頂角為（180°-80°×2）=180°-160°=20°。通過(guò)以上分析可知此題的答案為50°，50°或80°，20°。3.解析：根據(jù)已知的條件可知此等腰三角形的腰長(zhǎng)可能是4也可能是9，但是由于三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以當(dāng)腰長(zhǎng)是4時(shí)，不符合要求，所以此等腰三角形的腰長(zhǎng)只能是9，所以第三邊的長(zhǎng)為9。4.解析：此題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和等腰三角形有關(guān)知識(shí)。因?yàn)镈E是AC的垂直平分線(xiàn)，所以AD=DC，所以∠DCA=∠A＝30o。因?yàn)锳B=AC，∠A＝30o，所以∠ACB=∠ABC=（180o-30o）=75o。所以∠BCD=∠ACB-∠DCA=75o-30o=45o。故應(yīng)選D．◆課下作業(yè)●拓展提高1.解析：此題用到的知識(shí)點(diǎn)是三角形三邊的關(guān)系與等腰三角形的性質(zhì)。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知腰長(zhǎng)可以是5或7，根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系可知腰長(zhǎng)是5或7都符合要求，因此當(dāng)腰長(zhǎng)為5時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)是17；當(dāng)腰長(zhǎng)為7時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)為19。所以此題的答案為17或19。2.解析：當(dāng)此角是頂角時(shí)，等腰三角形的兩個(gè)底角的度數(shù)分別為30°，但是當(dāng)120°為底角時(shí)，由于三角形的內(nèi)角和為180°，所以120°為底角不行，所以此題答案為：30°，3