高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十一大題型專練（范圍：第一、二、三章）（解析版）

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題二十一大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1集合中元素的個數(shù)問題1．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合A=x(1)當(dāng)a=2時，A中只有一個元素，求b的值；(2)當(dāng)b=2時，A中至多有一個元素，求a的取值范圍.【解題思路】（1）借助根與系數(shù)的關(guān)系計算即可得；（2）分a=0及a≠0進行討論，若a=0，可計算出結(jié)果，若a≠0，則需借助根與系數(shù)的關(guān)系計算.【解答過程】（1）當(dāng)a=2時，A=x由A中只有一個元素，則有Δ1=b（2）當(dāng)b=2時，A=x由A中至多有一個元素，故A中可能沒有元素或1個元素，當(dāng)a=0時，A=x當(dāng)a≠0時，對axΔ2=4?4a≤0，解得綜上所述：a=0或a≥1.2．（23-24高一上·河南濮陽·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)集A由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若x∈A（x≠1且x≠0），則11?x(1)若2∈A，則A中至少還有幾個元素？(2)集合A是否為雙元素集合？請說明理由；(3)若A中元素個數(shù)不超過8，所有元素的和為143，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A【解題思路】（1）利用給定的定義，依次計算即得.（2）由x∈A，求得A中其它元素，再判斷不相等即可.（3）由（2）中信息，可得x∈A,m∈A，再結(jié)合已知列出方程求解即得.【解答過程】（1）由2∈A，得11?2=?1∈A，則1所以A中至少還有兩個元素為?1，12（2）不是雙元素集合．理由如下：由x∈A，得11?x∈A，則而x≠1且x≠0，x2?x+1=(x?12于是x≠11?x，由x2?2x+1≠?x，得因此集合A中至少有3個元素，所以集合A不是雙元素集合．（3）由（2）知A中有三個元素為x、11?x、x?1x（x≠1且x≠0），且依題意，A中除上述3個元素外，還有其它元素，設(shè)A中有一個元素為m，則11?m∈A，m?1m于是A中的元素為x,11?x,x?1x由A中有一個元素的平方等于所有元素的積，設(shè)(11?x)2=1或(此時2∈A，?1∈A，12∈A，依題意，整理得6m3?19m2+m+6=0，即m?32m+1所以集合A中的元素為123．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合A中的元素全為實數(shù)，且滿足：若a∈A，則1+a1?a(1)若a=?3，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？請你取一個實數(shù)a∈Aa≠?3，再求出A【解題思路】（1）根據(jù)定義直接計算即可得到A中其他所有元素；（2）先假設(shè)0∈A，依定義判斷即可；取a=3，根據(jù)定義直接計算即可得到A中其他所有元素．【解答過程】（1）由題意可知：?3∈A，則1+(?3)1?(?3)=?12∈A，1+(?所以A中其他所有元素為?12，（2）假設(shè)a=0∈A，則1+01?0而當(dāng)1∈A時，1+a1?a所以0不是A的元素，取a=3，則1+31?3=?2∈A，1+(?2)1?(?2)=?1所以當(dāng)3∈A，A中的元素是：3，?2，?13，4．（23-24高三上·山東濰坊·期末）已知集合x|ax(1)若集合A是空集，求a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個元素，求a的取值范圍；(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)空集轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況求解．（2）根據(jù)a分類討論，從而解決問題．（3）根據(jù)至多一個分為一個和沒有一個情況即可解決．【解答過程】（1）當(dāng)a=0時，集合A=x|?3x+2=0因為A是空集，所以a≠0且Δ=所以a>9所以a的取值范圍是a|a>9（2）因為A中只有一個元素，當(dāng)a=0時，集合A=x|?3x+2=0當(dāng)a≠0時，要使A中只有一個元素，所以且Δ=所以a=9綜上所述，a的取值范圍是a=0或9（3）因為A中至多只有一個元素，所以A為空集或A只有一個元素，由（1）、（2）可知a=0或a≥9所以a的取值范圍是：a=0或a≥9題型2題型2根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)5．（24-25高一上·河北廊坊·階段練習(xí)）設(shè)集合A=xx2(1)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若A?B，求實數(shù)a的取值范圍【解題思路】（1）由B?A，對集合B進行分類討論：①若B=?，②若B為{0}，{?4}，③若B=A=?4,0，由此求得a（2）先化簡集合A，B，再由A?B，能求得a的值．【解答過程】（1）集合A={x|x2B?A，①若B=?，則Δ則a<?1；②若B={0}或{?4}，則Δ解得：a=?1，將a=?1代入方程x2+2(a+1)x+a2?1=0得：x③若B=A={?4,0}，則Δ=8a+8>0，即即x2+2(a+1)x+a則有a2?1=0且則a=1綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤?1或a=1}．（2）∵A?B，∴B=A={0,?4}，則Δ=8a+8>0，即即0和?4是方程x2∴0?4=?2(a+1)=?40×(?4)=解得：a=1或a=?1（舍去）故a=1．6．（24-25高一上·山西大同·階段練習(xí)）已知集合A=(1)若a=5，請寫出集合A的所有子集；(2)若集合B=xx2+2x=0，且【解題思路】（1）當(dāng)a=5時，求出集合A，即可寫出集合A的所有子集；（2）對集合A中的元素個數(shù)進行分類討論，結(jié)合A?B可得出關(guān)于實數(shù)a的等式或不等式，綜合可得出實數(shù)a的取值范圍.【解答過程】（1）解：當(dāng)a=5時，A=x所以，集合A的所有子集有：?、?5、1、?5,1.（2）解：因為B=x①當(dāng)A=?時，對于方程x2+4x?a=0，Δ=16+4a<0②當(dāng)集合A只有一個元素時，對于方程x2+4x?a=0，Δ=16+4a=0此時，A=xx2③當(dāng)集合A有兩個元素時，因為A?B，則A=B，即A=?2,0即關(guān)于x的方程x2+4x?a=0的兩根分別為?2、所以，4?8?a=0?a=0綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是aa≤?47．（23-24高一上·吉林四平·階段練習(xí)）已知集合P=x∈(1)若b=4，存在集合M使得P為M的真子集且M為Q的真子集，求這樣的集合M；(2)若集合P是集合Q的一個子集，求b的取值范圍.【解題思路】（1）確定P=?，并求出集合Q，寫出Q的真子集即得；（2）分類討論，P=?時滿足題意，P≠?時，由集合Q中的元素屬于集合P，分別代入求出參數(shù)b，得集合P檢驗即可．【解答過程】（1）當(dāng)b=4時，方程x2?3x+b=0的根的判別式Δ=又Q=x∈Rx+1由已知，得M應(yīng)是一個非空集合，且是Q的一個真子集，用列舉法可得這樣的集合M共有6個，分別為?4,（2）當(dāng)P=?時，P是Q的一個子集，此時對于方程x2有Δ=9?4b<0，所以b>當(dāng)P≠?時，因為Q=?4,?1,1，所以當(dāng)?1∈P?12?3×?1+b=0，即因為4?Q，所以P不是Q的子集；同理當(dāng)?4∈P時，b=?28，P=7,?4，也不是Q當(dāng)1∈P時，b=2，P=1,2，也不是Q綜上，滿足條件的b的取值范圍是bb>8．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|?(1)若A?B,求實數(shù)a的取值范圍.(2)是否存在實數(shù)a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，請說明理由.【解題思路】（1）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A?B求解；（2）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A=B求解；【解答過程】（1）當(dāng)a=0時，A=R，A?B當(dāng)a<0時，A=x|4a≤x<?1a，因為當(dāng)a>0時，A=x|?1a<x≤4a，因為綜上：實數(shù)a的取值范圍是a<?8或a≥2；（2）當(dāng)a=0時，A=R，A=B當(dāng)a<0時，A=x|4a當(dāng)a>0時，A=x|?1a<x≤4a，因為綜上：實數(shù)a的值是2.題型3題型3交、并、補集的混合運算及其含參問題9．（24-25高一上·貴州·期中）已知集合A=x?3≤x≤4，(1)當(dāng)a=2時，求，A∪B，A∩B；(2)若A∩B=B，求a的取值范圍.【解題思路】（1）當(dāng)a=2時，寫出集合B，利用并集和交集的定義可得出集合A∪B、A∩B；（2）由題意可得B?A，分B=?、B≠?兩種情況討論，在B=?時，可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式；在B≠?時，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式組，綜合可得出實數(shù)a的取值范圍.【解答過程】（1）當(dāng)a=2時，B=x3<x≤5，且則A∪B=x?3≤x≤5，（2）因為A∩B=B，所以B?A.當(dāng)B=?時，2a?1≥a+3，解得a≥4；當(dāng)B≠?時，則2a?1<a+32a?1≥?3a+3≤4，解得綜上，a的取值范圍是a?1≤a≤1或a≥410．（24-25高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知全集U=R，集合A=x2<x<9(1)求B∪?(2)已知集合M=xa<x<2a?2，若M??【解題思路】（1）化簡集合B，根據(jù)集合的交并補運算求解；（2）要分M等于空集和不等于空集兩種情況討論．再根據(jù)已知求出a的取值范圍．【解答過程】（1）B=x集合A=x2<x<9，故?U則B∪?（2）?UB=x當(dāng)M=?時，a≥2a?2，∴a≤2，合題意；當(dāng)M≠?時，a>22a?2≤?2或a>2所以a≥5，綜上可得，a的取值范圍為?∞11．（24-25高一上·江西南昌·期中）設(shè)全集為U=R，集合A=xx(1)當(dāng)a=6時，求A∪B和A∩(2)在①B∩?RA=?；②A∩B=B；③A∪B=A【解題思路】（1）首先解二次不等式求得集合A，然后將a代入確定集合B，最后根據(jù)集合的交、并、補運算法則進行求解即可；（2）首先根據(jù)集合間運算的結(jié)果可得B?A，然后分B=?和B≠?兩種情況分類討論求解參數(shù)取值范圍即可【解答過程】（1）由不等式x2?7x?8>0，解得：x<?1或x>8，因此可得：A=x|x<?1將a=6代入集合B中可得：B=x|7<x<9因此A∪B=x|x<?1或x>7又?RB=x|x≤7或x≥9，得：A∩（2）選①由B∩?RA=?當(dāng)B=?時，a+1≥2a?3，解得：a≤4；當(dāng)B≠?時，可得：a+1<2a?32a?3≤?1，無解，或a+1<2a?3a+1≥8，解得：綜上所述a∈?選②由A∩B=B，可知B?A，當(dāng)B=?時，a+1≥2a?3，解得：a≤4；當(dāng)B≠?時，可得：a+1<2a?32a?3≤?1，無解，或a+1<2a?3a+1≥8，解得：綜上所述a∈?選③由A∪B=A，可知B?A，當(dāng)B=?時，a+1≥2a?3，解得：a≤4；當(dāng)B≠?時，可得：a+1<2a?32a?3≤?1，無解，或a+1<2a?3a+1≥8，解得：綜上所述a∈?12．（24-25高一上·江西南昌·階段練習(xí)）設(shè)集合A=xx2(1)若A∩B=2，求實數(shù)a(2)若A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若全集U=R，A∩?UB【解題思路】（1）由A∩B=2，得2∈B，由此可得關(guān)于a（2）由A∪B=A得B?A，按集合B中元素的個數(shù)分類討論即可求；（3）由A∩?UB=A得A∩B=?，轉(zhuǎn)化為【解答過程】（1）A=xx2∵A∩B=2，∴2∈B，則2即a2+4a?5=0，解得a=1或驗證：當(dāng)a=1時，B=x則A∩B=2當(dāng)a=?5時，B=x則A∩B=2,6綜上可知，若A∩B=2，則a=1（2）若A∪B=A，則B?A，又A=2,6①當(dāng)B=?時，則關(guān)于x的方程x2則Δ=4(a+1)2故當(dāng)a<?7時，B=??A滿足題意；②當(dāng)B≠?，即a≥?7時，若集合B中只有一個元素，則Δ=8(a+7)=0即當(dāng)a=?7時，B=xx2若集合B中有兩個元素，則Δ=8(a+7)>0即當(dāng)a>?7時，要使B?A，則B=A=2,6所以2和6是方程x2則由韋達定理得2+6=?2(a+1)2×6=a2?13，解得綜上所述，a≤?7或a=?5.所以，若A∪B=A，則實數(shù)a的取值范圍為?∞（3）若全集U=R，A∩?UB=A，則A=xx2故2?B，且6?B，則22+4a+1解得a≠1且a≠?5且a≠?7.若A∩?UB=A，則實數(shù)題型4題型4集合的新定義問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示13．（24-25高一上·浙江紹興·期中）定義兩種新運算“⊕”與“?”，滿足如下運算法則：對任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a?b=ab+1.設(shè)全集U=xx=a⊕b+a?b,0<a≤b<3且a∈Z,(1)求集合U；(2)求集合A；(3)集合A,B是否能滿足?UA∩B=?【解題思路】（1）根據(jù)新定義運算可得U=xx=ab+ab+1,0<a≤b<3,a,b∈Z，分（2）根據(jù)新定義運算可得4a⊕b+a?b（3）易知?UA=3,4，假設(shè)集合A,B能滿足?UA∩B=?，則【解答過程】（1）因為對任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a?b=a全集U=xx=a⊕b+a?b,0<a≤b<3所以U=因為0<a≤b<3,a,b∈Z，所以a=1,b=1，或a=1,b=2，或a=2,b=2.當(dāng)a=1,b=1時，ab+a當(dāng)a=1,b=2時，ab+a當(dāng)a=2,b=2時，ab+a所以U=3,4,9（2）4a⊕b因為0<a<b<3且a∈Z,b∈Z，所以a=1,b=2，所以4所以A=9（3）因為U=3,4,9，A=9，所以假設(shè)集合A,B能滿足?U則B=?，或3?B且4?B.又B=x當(dāng)B=?時，Δ=?32當(dāng)3∈B時，32?3×3+m=0，解得當(dāng)4∈B時，42?3×4+m=0，解得所以若3?B且4?B，則m≠0且m≠?4.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為mm>所以集合A,B能滿足?UA∩B=?，實數(shù)m14．（24-25高一上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）設(shè)正整數(shù)n≥4，若由實數(shù)組成的集合A=a1,a2,???,an滿足：對A中任意四個不同的元素a，b，c，(1)判斷集合A1=0,12(2)若集合A=0,x,y,z為H4集合，求【解題思路】（1）由H4（2）由題意可得x,y,z=xy,yz,xz，不妨設(shè)x<y<z，分類討論x<y<z<0，x<y<0<z，x<0<y<z和【解答過程】（1）集合A1={0,1當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,12},{1,2}}當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,1},{12,2}}當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,2},{12,1}}集合A2={1取{{a,b},{c,d}}={{13,1},{2,3}}（2）當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,z},{x,y}}時，ab+cd=xy∈A，當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,x},{y,z}}時，ab+cd=yz∈A當(dāng){{a,b},{c,d}}={{0,y},{z,x}}時，ab+cd=xz∈A，因此{x,y,z}={xy,yz,xz}，不妨設(shè)x<y<z，①當(dāng)x<y<z<0時，顯然yz>0，則yz?A，與yz∈A矛盾；②當(dāng)x<y<0<z時，則xz<yz<xy，此時xz=x,yz=y,xy=z，則z=1,xy=1，經(jīng)驗證，此時A={x,1x,0,1}是H③當(dāng)x<0<y<z時，則xz<xy<0，與x,y,z=④當(dāng)0<x<y<z時，則xy<xz<yz，xy=x,xz=y,yz=z，于是y=1,z=1經(jīng)驗證，此時A={0,x,1,1x}是H所以A中大于1的元素的可能個數(shù)為0或1.15．（24-25高一上·浙江·期中）對于數(shù)集M，定義M的特征函數(shù)：fM(x)=1,x?M?1,x∈M，對于兩個數(shù)集(1)已知集合A={1,3,7,9},B={2,3,7,8}，（i）求fA(1)的值，并用列舉法表示（ii）若用card(M)表示有限集合M所包含的元素個數(shù)，已知集合X是正整數(shù)集的子集，求card(2)證明：fA?B【解題思路】（1）分析可知當(dāng)元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系相同時，x?M?N，不同時x∈M?N.①結(jié)合題意直接運算即可；②根據(jù)給定的定義分析得出取最小值的條件，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論分析證明即可.【解答過程】（1）對于兩個數(shù)集M、N，若x∈M,x∈N，則fM(x)=fNx若x∈M,x?N，則fM(x)=?1,fNx若x?M,x∈N，則fM(x)=1,fNx若x?M,x?N，則fM(x)=fNx綜上所述：當(dāng)元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系相同時，x?M?N，不同時x∈M?N.①因為集合A={1,3,7,9},B={2,3,7,8}，且1∈A，所以fA又因為A∩B={3,7}，所以A?B=1,2,8,9②對任意x∈X，若元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系相同時，x?X?M且x?X?N；若元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系不相同時，x∈X?M或x∈X?N；若card(X?A)+card(X?B)當(dāng)X為1,2,8,9的子集與3,7的并集時，此時card(X?A)+（2）由（1）可知：對于兩個數(shù)集M、N，綜上所述：當(dāng)元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系相同時，則x?M?N，可得fA?B當(dāng)元素x與數(shù)集M、N的關(guān)系不同時，則x∈M?N，可得fA?B綜上所述：fA?B16．（24-25高一上·江蘇泰州·階段練習(xí)）對于給定的非空集合A，定義集合A+=xx=a+b,a∈A,b∈A(1)判斷集合A=0,4(2)設(shè)集合C=xn≤x≤2025,x∈Nn∈N且n≤2025，若(3)設(shè)集合D=x1,x2【解題思路】（1）直接根據(jù)集合的孿生性質(zhì)可判斷結(jié)果；（2）求出C+（3）求出D?中的可能元素，結(jié)合D【解答過程】（1）由題意可得：A+={0,4,8}，A?B+={2,6,7,10,11,12}，B?而A+∩A?={0所以A不具有孿生性質(zhì)，B具有孿生性質(zhì)．（2）由題意可得：C?={0,1,2，…,C+={2n,2n+1,…,n+2025，…，因為C+∩C?=?又因為n∈N，所以n（3）集合D=x則0，x2?x1，x3?x1，x4又因為0<x2?由于0一定是D?中的元素，且為最小元素，結(jié)合D?=D此時D=0,x2,x3,x4，故0，x2，x3由于D?=D，且0<x2<x3<x4，故必然x3又因為0<x4?x3<x4?x2,x3?x2<x因此只能x4?所以x1題型5題型5充分條件與必要條件

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示17．（24-25高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知集合U為實數(shù)集，A=xx≤?5或x≥8，(1)若a=5，求?U(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【解題思路】（1）由題意可得B=x（2）由題意可得集合B是集合A的真子集，再分B=?及B≠?討論并計算即可得.【解答過程】（1）當(dāng)a=5時，B=x4≤x≤11，且故?U（2）∵命題p是命題q的必要不充分條件，∴集合B是集合A的真子集，當(dāng)B=?，即a?1>2a+1，即a<?2時，此時滿足題意；當(dāng)B≠?，即a?1≤2a+1，即a≥?2時，只需2a+1≤?5或a?1≥8，即a≤?3或a≥9，又a≥?2，所以a≥9；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為?∞18．（24-25高一上·四川達州·階段練習(xí)）已知集合A=x|(1)若x∈A是x∈B的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若A∩B≠?，求實數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）由若x∈A是x∈B的必要不充分條件得到BA，再分B是否為空集時討論即可；（2）分B是否為空集時討論得到A∩B=?的范圍，最后取其補集即可；【解答過程】（1）A=x|?3≤x≤4∵若x∈A是x∈B的必要不充分條件，則BA，①當(dāng)B=?時，有m+1≤2m?1，解得②當(dāng)B≠?時，有?3≤2m?1m+1≤42m?1<m+1且等號不同時成立，解得綜上得m≥?1.（2）當(dāng)A∩B=?時①當(dāng)B=?時，有m+1≤2m?1，解得②當(dāng)B≠?時，有2m?1<m+1，解得m<2.有m+1≤?3或2m?1≥4，解得m≤?4或m≥52，即得所以當(dāng)A∩B=?時，m≤?4或m≥2，則A∩B≠?時，?4<m<2.19．（24-25高一上·廣東珠?！るA段練習(xí)）已知p：x>3或x<?12，q：x>a，r：(1)若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍；(2)若?p是r的必要條件，求m的最大值．【解題思路】（1）根據(jù)充分條件與必要條件的定義列不等式，即可得參數(shù)范圍；（2）寫出?p，再結(jié)合必要條件的定義列不等式，即可得參數(shù)最值.【解答過程】（1）設(shè)命題p與q表示的集合分別為A和B，即A=xx<?12或又p是q的必要不充分條件，則A?所以a≥3，即a∈3,+（2）設(shè)命題r表示的集合為C，則C=x又命題?p表示的集合為?R?p是r的必要條件，所以C??則?m≥?1又m>0，所以0<m≤1即m的最大值為1420．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知集合A=xx2(1)若A∩B=?，求實數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，是否存在實數(shù)m，使得命題q是命題p的必要不充分條件？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）分B=?、B≠?討論，根據(jù)交集的運算和空集的定義結(jié)合不等式即可求解；（2）命題q是命題p的必要不充分條件可得集合A是集合B的真子集，再列出相應(yīng)不等式組，即可求解.【解答過程】（1）由題意可得A=x?1≤x≤6，由當(dāng)B=?時，則m+1>2m?1，解得m<2；當(dāng)B≠?時，則m+1≤2m?1m+1>6或m+1≤2m?12m?1<?1，解得綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為?∞,2（2）不存在，理由如下：假設(shè)存在m使得命題q是命題p的必要不充分條件，則命題q是命題p的必要不充分條件，可得集合A是集合B的真子集，則m+1≤2m?12m?1≥6所以假設(shè)不成立，即不存在m.故不存在m使得命題q是命題p的必要不充分條件.題型6題型6全稱量詞與存在量詞中的含參問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示21．（24-25高一上·湖北黃岡·期中）已知命題p:關(guān)于x的方程mx2+2x?1=0有實數(shù)根.命題q:?x∈(1)若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍;(2)若命題p與命題q一真一假，求實數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）p為真命題，則方程mx2+2x?1=0有實數(shù)根，分m=0（2）由一元二次不等式恒成立求得當(dāng)命題q為真命題時m的范圍，利用交集運算求解即可.【解答過程】（1）若命題p為真命題，則關(guān)于x的方程mx當(dāng)m=0時，2x?1=0有實數(shù)根，當(dāng)m≠0時，則Δ=4+4m≥0，解得m≥?1且m≠0綜上，實數(shù)m的取值范圍為?1（2）命題q為真命題，則?x∈1，4當(dāng)x∈1，4則m2?4m≤?3當(dāng)p真q假時，有{m≥?1m>3或m<1，則當(dāng)p假q真時，有m<?11≤m≤3，則解集為：綜上，?1≤m<1或m>3，故實數(shù)m的取值范圍為?122．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈[1,+∞),a?2x(1)寫出兩個命題p,q的否定；(2)若兩個命題都是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）結(jié)合含有量詞的命題的否定即可求解；（2）結(jié)合含有量詞的命題的真假，列出不等式即可求解．【解答過程】（1）因為p:?x∈[1,+∞所以非p:?x∈[1,+∞因為q:?x∈{x∣1≤x≤3},?所以?q:?x∈{x∣1≤x≤3},?（2）因為p:?x∈[1,+∞),a?2x又x≥1，故2x2≥2命題q:?x∈{x∣1≤x≤3},?即?x∈{x∣≤x≤3},?a≥?x，又?3≤?x≤?1，故綜上，當(dāng)兩個命題都是真命題時，a的取值范圍為{a∣?3≤a≤2}．23．（24-25高一上·天津·階段練習(xí)）設(shè)命題p:?x∈R，不等式mx2(1)若p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若命題p、q有且只有一個是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）對m進行分類討論，由此列不等式來求得m的取值范圍.（2）根據(jù)p真q假或p假q真，列不等式來求得m的取值范圍.【解答過程】（1）對于命題p:?x∈R，不等式m當(dāng)m=0時，12當(dāng)m≠0時，則需m>0Δ=m綜上所述，m的取值范圍是0≤m<2.（2）由m+13?m≥1得所以2m?23?m≥03?m≠0若p真q假，則“0<m<2”且“m<1或m≥3”，則0<m<1.若p假q真，則“m≤0或m≥2”且“1≤m<3”，則2≤m<3.綜上所述，m的取值范圍是0<m<1或2≤m<3.24．（24-25高一上·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知集合A=x|1≤x≤7，B=x|?3m+1≤x≤m?1，且(1)若命題p:?x∈A，x∈B是真命題，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若命題q:?x∈B，x?A是假命題，求實數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）由命題p為真命題可得A?B，且B≠?，再根據(jù)子集列不等式求解范圍即可；（2）由q:?x∈B，x?A是假命題，則q:?x∈B，x∈A是真命題，即A∩B≠?，再列不等式求解即可.【解答過程】（1）由命題p為真命題可得A?B，且B≠?則?3m+1≤m?1?3m+1≤1m?1≥7，解得即實數(shù)m的取值范圍為8,+∞（2）∵q:?x∈B，x?A是假命題∴q:?x∈B，x∈A是真命題，即A∩B≠?∴?3m+1≤m?1?3m+1≤7m?1≥1即實數(shù)m的取值范圍為2,+∞題型7題型7利用作差法、作商法比較大小

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示25．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）（1）已知x∈R，比較3x2（2）已知x∈R，比較3x3【解題思路】（1）利用作差法可比較兩數(shù)的大小.（2）利用作差法可得出3x【解答過程】（1）根據(jù)作差法有：3x所以3x（2）根據(jù)作差法有：3x3?(3當(dāng)x>1時，x?1>0，則3x當(dāng)x=1時，x?1=0，則3x當(dāng)x<1時，x?1<0，則3x綜上所述，當(dāng)x>1時，3x當(dāng)x=1時，3x當(dāng)x<1時，3x26．（24-25高一上·廣西來賓·階段練習(xí)）從下列三組式子中選擇一組比較大小：(1)設(shè)x>1，M=x?x?1，N=x+1?(2)設(shè)a，b均為正實數(shù)，M=a3+b3，N=(3)設(shè)a>b>0，M=a2?b2a2【解題思路】（1）化簡可得M=1x+（2）借助作差法作差后因式分解即可得；（3）借助作差法比較即可得.【解答過程】（1）M=xN=x+1由x>1，x+1+故x+1>x?1，即有（2）M?N==a由a，b均為正實數(shù)，故a+ba?b2≥0（3）M?N====2ab由a>b>0，故a?b>0，a+b>0，ab>0，a2即M?N>0，故M>N.27．（24-25高一上·四川成都·階段練習(xí)）如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊含著著名的糖水不等式：yx(1)證明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三邊，求證：1<a【解題思路】（1）由作差法證明；（2）由糖水不等式變形證明．【解答過程】（1）y+mx+m因為x>y>0,m>0，所以x+m>0,x?y>0，所以mx?yxx+m（2）因為a,b,c是三角形的三邊，所以b+c>a>0，由（1）知ab+c同理ba+c所以ab+c又ab+c>所以a所以原不等式成立．28．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）試比較下列組式子的大?。?1)x+1?x與x?(2)M=a1+a+b1+b與N=(3)a2?b2a【解題思路】(1)通過比較1x+1+x與1x+(2)通過作差法來比較M,N的大??；(3)通過作差法或作商法比較a2?b【解答過程】（1）解：x+1?x=因為x+1+所以1x+1即x+1?（2）解：M?N==a?b因為a>0，b>0，所以1+a1+b>0，所以M?N≤0，即M≤N；（3）方法一（作差法）a=a?b因為a>b>0，所以a+b>0，a?b>0，2ab>0，a2所以2aba?b所以a2方法二（作商法）因為a>b>0，所以a2?b2a所以a2所以a2題型8題型8利用不等式的性質(zhì)求取值范圍

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示29．（23-24高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足1≤a+b≤8，3≤a?b≤4．(1)求實數(shù)a，b的取值范圍；(2)求2a?5b的取值范圍．【解題思路】（1）用已知式子a+b,a?b表示a,b，利用不等式的性質(zhì)求解范圍即可；（2）用已知式子a+b,a?b表示2a?5b，利用不等式的性質(zhì)求解范圍即可.【解答過程】（1）由1≤a+b≤8，3≤a?b≤4，所以4≤a+b即4≤2a≤12，所以2≤a≤6，即實數(shù)a的取值范圍為2,6．因為b=1由3≤a?b≤4，所以?4≤b?a≤?3，又1≤a+b≤8，所以?3≤a+b所以?3即?3即實數(shù)b的取值范圍為?3（2）設(shè)2a?5b=ma+b則m+n=2m?n=?5，解得m=?∴2a?5b=?3∵1≤a+b≤8，3≤a?b≤4．∴?12≤?32(a+b)≤?∴?3即2a?5b的取值范圍為?330．（24-25高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知實數(shù)a,b滿足：(1)2<a<3，1<b<6，求a?2b，ba(2)1<a?b<3，1<3a+2b<5，求2a+3b的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范圍；（2）利用待定系數(shù)法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）因為1<b<6所以?12<?2b<?2又因為2<a<3，所以?10<a?2b<1；因為2<a<3所以13<1a<（2）令2a+3b=ma?b則m+3n=2?m+2n=3，解得m=?1又因為1<a?b<3，1<3a+2b<5,所以?3<?a?b所以?2<2a+3b<4.31．（24-25高一上·吉林·階段練習(xí)）已知實數(shù)a,b滿足1≤a+b≤8，3≤a?b≤4.(1)求實數(shù)a,b的取值范圍；(2)求a?4b的取值范圍.【解題思路】用已知式子a+b,a?b表示所求式子，利用不等式的性質(zhì)求解范圍即可．【解答過程】（1）由1≤a+b≤8，3≤a?b≤4，所以4≤a+b由a=1所以2≤12a+b即實數(shù)a的取值范圍為2,6．因為b=1由3≤a?b≤4，所以?4≤b?a≤?3，又1≤a+b≤8，所以?3≤a+b所以?3∴?3即實數(shù)b的取值范圍為?3（2）設(shè)a?4b=ma+b則m+n=1m?n=?4，解得m=?∴a?4b=?3∵1≤a+b≤8，3≤a?b≤4．∴?12≤?32(a+b)≤?∴?9即a?4b的取值范圍為?932．（24-25高一上·山東淄博·階段練習(xí)）已知實數(shù)a,b滿足：(1)1<a<2,2<b<6，求2a+b的取值范圍；(2)1<a<2,2<b<6，求ba(3)1<a+b<3,3<2a+b<5，求2a?b的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)同向不等式的可加性即可求解；（2）根據(jù)同向不等式的可乘性即可求解范圍；（3）利用整體法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）因為1<a<2,所以2<2a<4,又因為2<b<6，所以4<2a+b<10；（2）因為1<a<2,所以12<1a<1（3）令2a?b=m(a+b)+n(2a+b)=(m+2n)a+(m+n)b，則m+2n=2m+n=?1，解得m=?4又因為1<a+b<3,3<2a+b<5，所以?12<(?4)(a+b)<?4,9<3(2a+b)<15，所以?3<2a?b<11.題型9題型9利用基本不等式求最值

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示33．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知x>0,y>0,xy=x+2y+a．(1)當(dāng)a=0時，求xy的最小值；(2)當(dāng)a=6時，求x+2y的最小值．【解題思路】（1）利用基本不等式即可求出最小值；（2）根據(jù)已知化簡求出得x=2+8【解答過程】（1）當(dāng)a=0時，由x>0,y>0,xy=x+2y，則xy=x+2y≥22xy即xy≥22，可得當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=4，y=2時xy取最小值8.（2）當(dāng)a=6時，由x>0,y>0,xy=x+2y+6，由xy=x+2y+6得x=2y+6則x+2y=2+8y?1故可知當(dāng)y=3,x=6時，x+2y取得最小值為12．34．（24-25高一上·山西·期中）已知a>b>1．(1)證明aa?1(2)若a+b=5，求1a?1【解題思路】(1)通過作差法判斷即可；（2）由1a?1【解答過程】（1）證明：a因為a>b>1，所以b?a<0，a?1b?1則b?aa?1b?1<0（2）解：因為a+b=5，所以1a?1=1因為a>b>1，所以4a?1當(dāng)且僅當(dāng)a=83，故1a?1+435．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）若a>0，b>0，且滿足a+b=4，求ab的最大值；（2）求函數(shù)y=1（3）已知x>0，y>0，且x+y=1，求1x【解題思路】（1）利用基本不等式可求得ab的最大值；（2）將函數(shù)解析式變形為y=1（3）將代數(shù)式1x+9y與【解答過程】（1）因為a>0，b>0，且滿足a+b=4，由基本不等式可得ab≤a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=ba+b=4時，即當(dāng)a=b=2故ab的最大值為4；（2）因為x>3，則x?3>0，所以，y=1當(dāng)且僅當(dāng)x?3=1x?3x>3故函數(shù)y=1x?3+x（3）因為x>0，y>0，且x+y=1，則1x當(dāng)且僅當(dāng)9xy=y故1x+936．（24-25高一上·吉林長春·階段練習(xí)）若正數(shù)x，y滿足9x+y=xy，(1)求xy的最小值.(2)求2x+3y的最小值.【解題思路】（1）應(yīng)用均值不等式將9x+y轉(zhuǎn)化為xy，再解關(guān)于xy的不等式即可；（2）將條件轉(zhuǎn)化為9y+1【解答過程】（1）因為正數(shù)x，y滿足9x+y=xy，所以xy=9x+y≥29xy=6xy，當(dāng)且僅當(dāng)9x=y所以xy≥6，即xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)x=2所以當(dāng)x=2y=18時，xy的最小值為36（2）因為正數(shù)x，y滿足9x+y=xy，所以9y所以2x+3y=(2x+3y)(9當(dāng)且僅當(dāng)18xy=3y所以當(dāng)x=362+1y=9+題型10題型10基本不等式的恒成立、有解問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示37．（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知x,y>0滿足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y【解題思路】（1）變形后，利用基本不等式“1”的代換求出最小值；（2）先求出0<y<6，參變分離得到m≤x2+4y2x+4y，變形得到x2【解答過程】（1）y≥1當(dāng)且僅當(dāng)2yx=x即yx+3（2）由x>0,y>0,x+y=6，得x=6?y>0，即0<y<6，不等式x2+4yx=5當(dāng)且僅當(dāng)y+2=16y+2，即因此當(dāng)x=4,y=2時，x2+4y2x+4y所以m的取值范圍mm≤38．（24-25高一上·四川達州·階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足2x+y?xy=0.(1)求4xx?1(2)若xy+2?42【解題思路】（1）由已知等量關(guān)系化簡代數(shù)值并轉(zhuǎn)化“1”，然后利用基本不等式解得最小值；（2）不等式恒成立等價于求最值問題，先利用等量代換和基本不等式求出左邊最小值，再解不等式即可得出范圍.【解答過程】（1）∵2x+y?xy=0，∴2y+1x=1∴4xx?1當(dāng)且僅當(dāng)18xy=2yx，即所以4xx?1（2）∵y=xy?2x=xy?2，∴x=∴xy+2∵x=yy?2>0且y>0∴xy+2=y?2+8y?2+6≥4∴xy+2∴6>m2+5m恒成立，即m所以實數(shù)m的取值范圍為?6,1.39．（23-24高一上·江蘇連云港·期中）已知正實數(shù)x，y，滿足x+2y?xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若關(guān)于x的方程x(y+1)?42【解題思路】(1)利用基本不等式將x＋2y轉(zhuǎn)化為xy形式，解不等式即可；(2)結(jié)合已知條件對x(y+【解答過程】（1）∵x，y為正實數(shù)，x+2y?xy=0，∴x+2y=xy≥2解得：xy≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x＝4，y＝2時，等號成立，則xy的最小值為8．（2）由x+2y?xy=0得：x+2y=xy，則2x∴x(y+1)?4=2(x+y)?42xy+當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=2+∴m2?m≥6，解得：m≥3或40．（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知x，y都是正數(shù)，且2x(1)求2x+y的最小值；(2)已知不等式λx+2y≤3x+2y【解題思路】（1）應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標式的最小值，并確定取值條件.（2）將問題化為λ≤3x+2y【解答過程】（1）2x+y=2x+y當(dāng)且僅當(dāng)2xy=2yx2（2）解法一：由題意知λ≤3x+2y因為y=xx?2，x?2>0=3當(dāng)且僅當(dāng)9x?2=4x?2，即所以λ≤24．解法二：由2x+1y=1所以λ≤3x+2y2=9x當(dāng)且僅當(dāng)x+2y=xy>0，且9xy=4yx，即x=8題型11題型11由一元二次不等式的解確定參數(shù)

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示41．（24-25高一上·山東·期中）已知a,b,c∈R，關(guān)于x的一元二次不等式?x2+bx+6>0(1)求b，c的值；(2)解關(guān)于x的不等式ax【解題思路】先根據(jù)已知不等式的解集，結(jié)合韋達定理，求出b和c的值，再將其代入后面的不等式，分類討論進行求解.【解答過程】（1）因為不等式?x2+bx+6>0所以?2和c是方程?x根據(jù)韋達定理，可得?2+c=?b?1=b解得c=3，b=1.（2）由（1）知b=1，c=3，則不等式為ax2?(3a+1)x+3a<0當(dāng)a=0時，不等式化為?x+3<0，解得x>3.當(dāng)a<0時，(ax?1)(x?3)<0的解為x<1a或當(dāng)0<a<13時，1a當(dāng)a=13時，不等式化為(1當(dāng)a>13時，1a<3綜上所得，當(dāng)a=0時，解集為{x|x>3}；當(dāng)a<0時，解集為{x|x<1a或當(dāng)0<a<13時，解集為當(dāng)a=1當(dāng)a>13時，解集為42．（24-25高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若關(guān)于x的不等式fx<0的解集為?1,3，求不等式(2)若b=1，求關(guān)于x的不等式fx【解題思路】（1）根據(jù)題意可得a>0，且?1，3是方程ax2?(a+1)x+b=0的兩個實數(shù)根，利用韋達定理得到方程組，求出a，b，進一步可得不等式bx2（2）當(dāng)b=1時，不等式等價于(ax?1)(x?1)>0，從而分類討論即可求出不等式所對應(yīng)的解集．【解答過程】（1）若關(guān)于x的不等式fx<0的解集為則?1和3是方程ax2?由韋達定理得a+1a=2b所以不等式bx解得x<?43或所以不等式bx2?ax+4<0（2）若b=1，則fx1）當(dāng)a=0時，由?x?1>0解得2）當(dāng)a≠0時，方程ax?1x?1=0的兩根為當(dāng)a<0時，1a<1，解不等式ax?1x?1當(dāng)0<a<1時，1a>1，解不等式ax?1x?1>0得當(dāng)a>1時，1a<1，解不等式ax?1x?1>0得當(dāng)a=1時，由(x?1)2>0得綜上，當(dāng)a=0時，不等式解集為?∞當(dāng)a<0時，不等式解集為1a當(dāng)0<a<1時，不等式解集為?∞當(dāng)a>1時，不等式解集為?∞當(dāng)a=1時，不等式解集為?∞43．（24-25高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式kx2?2k+1x+2<0(1)若A=x1<x<2，求(2)求不等式的解集A；(3)是否存在實數(shù)k，使上述不等式的解集A中恰有3個整數(shù)?若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解題思路】（1）分析可知，關(guān)于x的方程kx2?2k+1x+2=0的兩根分別為1（2）對實數(shù)k的取值進行分類討論，結(jié)合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合A；（3）由（2）可知，0<k<12或k>12，然后分情況討論，求出集合A，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)【解答過程】（1）解：當(dāng)A=x1<x<2時，則關(guān)于x的方程kx2?由韋達定理可得1×2=2k1+2=（2）解：原不等式即為kx?1x?2當(dāng)k=0時，原不等式即為x?2>0，解得x>2，此時，A=x當(dāng)k≠0時，方程kx?1x?2=0的解為x1若k<0，解不等式kx?1x?2<0可得x<1k或若1k=2，即k=12，則原不等式即為若0<1k<2，即k>12，解不等式kx?1若1k>2，即0<k<12，解不等式kx?1x?2綜上所述，當(dāng)k<0時，A=x當(dāng)k=0時，A=x當(dāng)0<k<12時，當(dāng)k=12時，當(dāng)k>12時，（3）解：由（2）可知，若集合A恰有三個整數(shù)，則0<k<12或當(dāng)0<k<12時，A=x2<x<1k，則集合A中的三個整數(shù)分別為所以，5<1k≤6當(dāng)k>12時，則0<1k<2綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是k144．（24-25高一上·北京·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2?(1)若3?A，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a<0時，集合A中有且僅有兩個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若集合B=xx<1或x>12，滿足【解題思路】（1）因為3?A，所以將x=3代入不等式不成立；（2）當(dāng)a<0時，二次函數(shù)y=ax2?(a+3)x+3（3）A=B意味著兩個集合中的不等式等價.解集一樣，構(gòu)造方程即可.【解答過程】（1）因為3?A，所以當(dāng)x=3時，ax將x=3代入得9a?3(a+3)+3≤0，即9a?3a?9+3≤0，解得a≤1.（2）由ax2?(a+3)x+3>0因為a<0，所以3a<1，不等式的解為因為集合A中有且僅有兩個整數(shù)，這兩個整數(shù)只能是?1，0.所以?2≤3當(dāng)?2≤3a時，?2a≥3，解得當(dāng)3a<?1時，3>?a，解得所以?3<a≤?3（3）因為B={x|x<1或x>12}，A=B，由ax2?(a+3)x+3>0因為A=B，所以方程ax2?(a+3)x+3=0將x=12代入方程ax144a?12(a+3)+3=0，144a?12a?36+3=0，即132a?33=0，132a=33，解得a=1題型12題型12一元二次不等式恒成立問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示45．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函數(shù)f(x)=ax2+(a?2)x?2(1)若不等式fx≥0的解集為(?∞(2)若不等式f(x)≥ax?3對x∈R恒成立，求實數(shù)a【解題思路】（1）根據(jù)給定的解集，結(jié)合一元二次方程求出a的值.（2）利用一元二次不等式恒成立，列式求解.【解答過程】（1）依題意，?1,2是方程ax2+(a?2)x?2=0則?1+2=?a?2a且?1×2=?2所以實數(shù)a的值是1.（2）不等式f(x)≥ax?3?ax依題意，不等式ax2?2x+1≥0當(dāng)a=0時，?2x+1≥0對x∈R因此a>0，且Δ=4?4a≤0，解得a≥1所以實數(shù)a的取值范圍是a≥1.46．（24-25高一上·甘肅金昌·期中）已知函數(shù)f(x)=?x(1)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為(?3,1)，求a，b的值；(2)當(dāng)a=1時，若關(guān)于x的不等式f(x)≤0在R上恒成立，求b的取值范圍.【解題思路】（1）根據(jù)不等式的解集得出一元二次方程的根，從而求得a,b值；（2）由判別式Δ≤0【解答過程】（1）由題意可知，?3，1是方程?x所以?3+1=?a(b?a)，?3×1=b，解得a=?1，b=?3或a=?2，b=?3.故a，b的值分別為?1，?3，或?2，?3.（2）當(dāng)a=1時，f(x)=?x若f(x)<0在R上恒成立，即f(x)的圖象與x軸至多有一個交點，則Δ=即b2?6b+1≤0，解得故b的取值范圍是[3?2247．（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知函數(shù)f(1)若不等式fx≥?mx在R上恒成立，求實數(shù)(2)若fx≥0在0,1上恒成立，求實數(shù)【解題思路】（1）移項后轉(zhuǎn)化為x2?mx+2?m≥0在R上恒成立，利用（2）根據(jù)對稱軸和區(qū)間0,1在數(shù)軸上的位置關(guān)系進行分類討論，轉(zhuǎn)化為最值問題即可解決.【解答過程】（1）fx≥?mx即為x2則Δ=?m2所以m的取值范圍是?2?23（2）fx=x若0≤m≤1，函數(shù)在0,1先減后增，則fxmin=fm若m<0，函數(shù)在0,1單調(diào)遞增，則fxmin=f0=2?m≥0若m>1，函數(shù)在0,1單調(diào)遞減，則fxmin=f綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是?∞48．（24-25高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若不等式fx≥0恒成立，求(2)解不等式fx(3)對任意的x∈?1,1，不等式fx≥【解題思路】（1）由不等式fx≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為（2）由不等式fx≥m?1，得到（1）由不等式fx≥x2在x∈?1,1【解答過程】（1）解：由函數(shù)fx因為不等式fx≥0恒成立，即不等式當(dāng)m=0時，不等式即為x?2≥0，顯然不成立，舍去；當(dāng)m≠0時，要使得fx≥0恒成立，則滿足即m>03m2?6m?1≥0，解得m≥3+2（2）解：由不等式fx≥m?1，可得即mx若m=0時，不等式即為x?1≥0，解得x≥1，不等式的解集為[1,+∞若m≠0時，不等式可化為(x?1)(mx+1)=m(x?1)(x+1①當(dāng)m>0時，不等式等價于(x?1)(x+1m)≥0，解得x≤?不等式的解集為(?∞②當(dāng)m<0時，不等式等價于(x?1)(x+1當(dāng)?1m>1時，即?1<m<0時，解得1≤x≤?當(dāng)?1m=1時，即m=?1時，解得x=1當(dāng)?1m<1時，即m<?1時，解得?綜上可得：當(dāng)m<?1時，不等式的解集為[?1當(dāng)m=?1時，不等式的解集為1；當(dāng)?1<m<0時，不等式的解集為[1,?1當(dāng)m=0時，不等式的解集為[1,+∞當(dāng)m>0時，不等式的解集為(?∞（3）解：由不等式fx≥x即(m?1)x2?(m?1)x+m?2≥0即(m?1)(x2?x+1)≥1因為x2則可轉(zhuǎn)化為不等式(m?1)≥1x2設(shè)gx=x所以1x2?x+1的最大值為43，所以所以實數(shù)m的取值范圍為[7題型13題型13一元二次不等式有解問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示49．（24-25高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m<0時，解關(guān)于x的不等式fx(2)若存在x∈0,2，使得不等式fx≤【解題思路】（1）先把二次不等式化為m+1x（2）參變分離，把能成立問題轉(zhuǎn)化為x+1x【解答過程】（1）由fx得m+1x2?若m+1=0，即m=?1，上式可化為：x?1≤0，解得x≤1；若m+1<0，即m<?1，上式可化為：x?1[x?1m+1若m+1>0，即?1<m<0，上式可化為：x?1[x?因為?1<m<0，所以0<m+1<1，所以1m+1所以：x≤1或x≥1綜上可知：當(dāng)m<?1時，原不等式的解集為[1當(dāng)m=?1時，原不等式的解集為(?∞當(dāng)?1<m<0時，原不等式的解集為(?∞（2）不等式fx≤x所以m(x因為x2?x+1>0恒成立，所以：問題轉(zhuǎn)化為：存在x∈0,2，使得m≤x+1x設(shè)g(x)=x+1x2?x+1，令因為t+3t≥2t×3所以g(x)=x+1x2所以綜上可知：m的取值范圍為(?∞50．（24-25高一上·海南·階段練習(xí)）已知函數(shù)y=mx(1)若m>0，求不等式y(tǒng)>0的解集；(2)若m∈R，關(guān)于的x不等式mx2【解題思路】（1）不等式化為x?2mx?1>0，討論（2）不等式化為mx2?mx?3>0，討論m=0,m>0和m<0【解答過程】（1）不等式y(tǒng)>0即為mx2?(m+2)x+2>0由m>0，得x?2若m=2，則不等式為x?12>0，解得若0<m<2，則2m>1，解不等式得x<1或若m>2，則2m<1，解不等式得x<2綜上，m=2時，不等式的解集為x∣x≠1；0<m<2時，不等式的解集為{x∣x<1或x>2m>2時，不等式的解集為x∣x<2m或（2）不等式mx2?m=0時，不等式為?3>0，不成立；m>0時，不等式mxm<0時，應(yīng)滿足Δ=m2?4m×?3>0，解得綜上，實數(shù)m的取值范圍是?∞51．（24-25高一上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若m>0，解關(guān)于x的不等式fx(2)若不等式fx≤x?4在x∈R【解題思路】（1）對兩根2和1m（2）分m<0，m=0，m>0進行分類討論，再根據(jù)題設(shè)條件即可求出結(jié)果.【解答過程】（1）由fx<0，得mx2?當(dāng)0<m<12，即2<1當(dāng)m=12時，解集為當(dāng)m>12，即2>1綜上，當(dāng)0<m<12時，解集為當(dāng)m=12時，解集為當(dāng)m>12時，解集為（2）fx≤x?4在R上有解，即當(dāng)m<0時，函數(shù)y=mx顯然在R上存在x滿足mx當(dāng)m=0時，上式為?2x+6≤0，符合題意；當(dāng)m>0時，有Δ≥0，即2m+2解得m≤2?3或m≥2+∴0<m≤2?3或m≥2+綜上，實數(shù)m的取值范圍為?∞52．（24-25高一上·山東青島·階段練習(xí)）已知不等式2x?1>mx(1)若?x∈R，使不等式恒成立，求m(2)若?x>1，使不等式能成立，求m的取值范圍；(3)是否存在實數(shù)x，使不等式對?1≤m≤1恒成立．若存在，求出x取值范圍；若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）討論m=0和m≠0兩類情況即可；（2）將不等式化為m<2x?1x2（3）將不等式化為mx【解答過程】（1）當(dāng)m=0時，不等式為2x?1>0，可得x>1將不等式化為：mx2?2x+2m+1<0所以m<0Δ=?8m所以m的取值范圍是m<?1.（2）因為?x>1，使不等式能成立，也即?x>1，使得m<2x?1令2x?1=t>1，則x=t+1則2x?1x2+2當(dāng)t=3時取等號，所以m<（3）2x?1>mx2+2若不等式對?1≤m≤1恒成立，因為x2所以x2+2?2x+1<0也即故不存在.題型14題型14函數(shù)的定義域、值域問題53．（23-24高一上·遼寧大連·期中）求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)=x(2)已知函數(shù)f(x+3)的定義域為(?1,0)，則函數(shù)f(2x+1)的定義域.【解題思路】（1）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)以及分母非零即得不等式組，解出即得；（2）正確理解函數(shù)的定義域的含義以及抽象函數(shù)中的變量范圍的整體替換，即可求得.【解答過程】（1）要使函數(shù)有意義，只需x2?3x?4≥0|x+1|?2≠0,解得:x≤?1或所以函數(shù)定義域為xx≤?1且x≠?3或x≥4（2）由題意知?1<x<0，所以2<x+3<3，即f(x)的定義域為(2,3)，所以2<2x+1<3，解得12故函數(shù)f(2x+1)的定義域是1254．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函數(shù)的值域：(1)y=(2)y=3x?(3)f(x)=3x+1+【解題思路】（1）（3）根據(jù)題意結(jié)合基本不等式求值域；（2）換元令t=x+1【解答過程】（1）因為x>1，則x?1>0，可得y=x當(dāng)且僅當(dāng)x?1=1x?1，即所以函數(shù)的值域為0,+∞（2）令t=x+1≥0，則可得y=3t當(dāng)t=1所以函數(shù)的值域為?37（3）因為x<23，則可得?fx當(dāng)且僅當(dāng)2?3x=92?3x，即即fx≤?3，所以函數(shù)的值域為55．（23-24高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知f((1)若a=4時，求f(2)函數(shù)g(x)=x2+1f【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，采用分離常數(shù)項的方法，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)二次根式的定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【解答過程】（1）由a=4，則f由不等式性質(zhì)，則x2≥0，1+x2≥1，0<故fx∈?2,4，即f（2）由題意，gx由函數(shù)?(x)=g(x)當(dāng)a=0當(dāng)a≠0時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得a其中a?42?2a≥0，a2?8a+16?2綜上，故a∈56．（23-24高三上·天津河西·期中）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時，求fx(2)若fx的定義域為?2,1，求實數(shù)a(3)若fx的定義域為R，求實數(shù)a【解題思路】（1）配方求解值域；（2）得到-2和1是方程1?a（3）考慮a=1，a=?1和1?a2≠0【解答過程】（1）當(dāng)a=0時，fx所以fx的值域為15（2）因為fx的定義域為?2,1所以-2和1是方程1?a故?2+1=3a?11?a2（3）當(dāng)a=1時，fx=6當(dāng)a=?1時，fx=6x+6當(dāng)1?a2≠0時，由題意，1?令1?a2>0綜上所述，實數(shù)a的取值范圍?5題型15題型15函數(shù)的單調(diào)性問題57．（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知二次函數(shù)fx=ax(1)若fx在區(qū)間1,2上是單調(diào)遞減，求a(2)若函數(shù)fx在區(qū)間1,2的最小值為2，求a【解題思路】（1）根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得2≤1（2）分類討論當(dāng)12a≥2、1<12a<2【解答過程】（1）二次函數(shù)f(x)圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=1所以f(x)在(?∞,1又f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，則2≤12a，解得所以實數(shù)a的取值范圍為0<a≤1（2）因a>0，二次函數(shù)f(x)的圖象對稱軸為x=1當(dāng)12a≥2即0<a≤14時，函數(shù)f(x)=ax2?x+2a?1當(dāng)1<12a<2即14<a<12f(x)min=f(當(dāng)0<12a≤1即a≥f(x)min=f(1)=3a?2=2綜上，a=4所以當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為2時，實數(shù)a=458．（24-25高一上·重慶·期中）已知函數(shù)f(x)=(1)求實數(shù)a值；(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．【解題思路】（1）代入f2（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差fx（3）根據(jù)（2）的過程和結(jié)果，再分區(qū)間討論.【解答過程】（1）由條件可知，f2=4+a（2）fx設(shè)1<xfx=x因為1<x1<x2，所以x1?所以x1所以fx1?f所以函數(shù)f(x)在(1,+∞（3）由（2）可知，fx1?f當(dāng)0<x1<x2<1時，x1所以x1+x2?所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x1<x2<0，x1?所以x1+x2?所以函數(shù)f(x)在(?∞綜上可知，函數(shù)的增區(qū)間是1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間是?∞,059．（24-25高一上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù)f(1)求ff(2)若gx=3fx+5【解題思路】（1）先根據(jù)函數(shù)解析式求出f1的值，代入f（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.【解答過程】（1）因為fx=7所以ff（2）由題意可得gx?x1,gx2?g因為0<x1<x2<1，所以所以gx2?g因此函數(shù)gx在0,160．（23-24高一下·陜西安康·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx(1)求fx(2)求fx(3)求fx在區(qū)間1,5【解題思路】（1）根據(jù)定義域的定義和一元二次不等式的解法求解即可（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值即可【解答過程】（1）由?x所以fx的定義域（2）由（1）知fx的定義域?1,6令ux=?x根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，fx的單調(diào)遞增區(qū)間是?1,5（3）由（2）知fx在1,52fx在區(qū)間1,5的最大值為f5所以fx在區(qū)間1,5的最小值為f故fx在區(qū)間1,5的最大值為72，最小值為題型16題型16利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式61．（24-25高一上·重慶·期中）已知函數(shù)fx(1)用定義法證明函數(shù)fx在區(qū)間1,+(2)若fa2<f【解題思路】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)定義域，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式求解.【解答過程】（1）設(shè)1≤x則fx2=x因為1≤x1<x2，所以x2?x1所以x2+x即fx2?fx1所以函數(shù)fx在區(qū)間1,+（2）因為函數(shù)fx在區(qū)間1,+所以fa2<f2a+3?a2所以實數(shù)a的取值范圍是：1,3.62．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定義在R上的函數(shù)fx，f1=3，對?x，y∈R，都有fx+f(1)求f2(2)判斷fx在R(3)若a<0，求關(guān)于x的不等式fa【解題思路】（1）根據(jù)所給關(guān)系式利用賦值法計算可得；（2）構(gòu)造f(x（3）依題意可得fax2+a?2x>f2，結(jié)合（2）的單調(diào)性得到ax【解答過程】（1）因為?x，y∈R，都有fx+fy所以f1+f1f2+f2所以f2（2）fx在R因為?x，y∈R，都有fx+fy在R上任取x1,x2且x1>x又f(x所以函數(shù)fx在R（3）不等式fax2即fa即fa又函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，所以不等式fax即ax?2x+1>0，又a<0，所以不等式ax?2x+1當(dāng)2a=?1，即a=?2時，不等式等價于x+12當(dāng)2a>?1a<0，即a<?2時，解得?1<x<當(dāng)2a<?1a<0，即?2<a<0時，解得2綜上可得，當(dāng)a=?2時，不等式的解集為?；當(dāng)a<?2時，不等式的解集為?1,2當(dāng)?2<a<0時，不等式的解集為2a63．（24-25高一上·廣東清遠·期中）已知函數(shù)f(1)用定義法證明函數(shù)fx在區(qū)間1,+(2)函數(shù)fx的定義域為1,+∞，若fm【解題思路】（1）根據(jù)條件，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件和（1）結(jié)果，得到不等式組m2【解答過程】（1）任取x1<x則fx又x1<x2，x1得到fx1?f(x2)<0，即（2）因為函數(shù)fx的定義域為1,+∞，且在區(qū)間由fm2?m?1<f11?2m，得到m所以實數(shù)m的取值范圍為?4<m≤?1或2≤m<3.64．（24-25高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知定義在區(qū)間?1,1上的函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx在區(qū)間?1,1(3)解關(guān)于t的不等式f2t?1【解題思路】（1）由題意得f0（2）由單調(diào)性定義證明即可.（3）結(jié)合奇函數(shù)的單調(diào)性即可求.【解答過程】（1）因為定義在區(qū)間?1,1上的函數(shù)fx則f0=a=0，所以f?x=?xx2故f（2）fx=x證明如下：設(shè)?1<x則fx其中x1x2?1<0,x故fx=x（3）由f2t?1+ft所以f2t?1又fx=xx2+1在則不等式的解集為0,1題型17題型17抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合65．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fa+b=fa+fb+2(1)求f5(2)證明：gx(3)若關(guān)于x的不等式fax2【解題思路】（1）根據(jù)賦值法可得到結(jié)果；（2）利用奇函數(shù)的定義可得到結(jié)果；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到有關(guān)x的不等式，再根據(jù)題意求解取值范圍即可.【解答過程】（1）在fa+b令a=b=1，得f2令a=b=2，得f4令a=4，b=1，得f4+1=f4（2）證明：令a=b=0，得f0=f0令b=?x，a=x，得fx+f?xg?x所以gx（3）由fax2即fa又fx在R上是增函數(shù)，即a所以ax2?當(dāng)a=0時，不等式的解集為{x∣x>3}，解集中有無數(shù)個正整數(shù)，不滿足題意，當(dāng)a<0時，不等式等價于x?1ax?3當(dāng)a>0時，不等式等價于x?1若1a<3，即a>13，則不等式的解集為x?若1a=3，則不等式的解集為若1a>3，即0<a<13，則不等式的解集為即16綜上所述，a的取值范圍為16≤a<166．（24-25高一上·黑龍江·期中）已知函數(shù)fx滿足fx+y=fx+f(1)證明：函數(shù)gx(2)若當(dāng)x>0時，fx<?1，判斷fx(3)在（2）的條件下，f1=?2對于任意的x1∈?1,2，存在x【解題思路】（1）根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義分析證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；（3）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性分析可得x1【解答過程】（1）因為fx+y令x=y=0，可得f0=f0令y=?x，可得f0=fx因為gx=fx則gx即gx=?g?x（2）因為fx+y令x=x2,y=可得fx1=f令x1>x2，則則fx1?f所以fx在R（3）因為fx+y令x=?1,y=1，則f0即?1=f?1?2+1，可得對于fx又因為fx在R上單調(diào)遞減，則x因為Fx=x可知Fx=x2?2x對于任意的x1∈?1,2可得3<mx2?1原題意等價于存在x2∈?1,2則G2=2m?4>0或G?1=?m?4>0，解得所以m的取值范圍為?∞67．（24-25高一上·廣西·期中）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y+2)=f(x+1)+f(y+1)，當(dāng)x>0時，f(x)>0.(1)若f(1)=2，求f(?4)的值.(2)證明：f(x)是奇函數(shù)且在R上為增函數(shù).(3)解關(guān)于x的不等式f(x【解題思路】（1）由題意可知：f(x+y)=f(x)+f(y)，利用賦值法求函數(shù)值；（2）根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)和單調(diào)性的定義分析證明；（3）根據(jù)題意可得f(x2?3x)<f(ax?3a)【解答過程】（1）由f(x+y+2)=f(x+1)+f(y+1)，可得f(x+y)=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，令x=1，y=?1，得f(0)=f(1)+f(?1)，得f(?1)=?2，令x=y=?1，得f(?2)=?4；令x=y=?2，得f(?4)=?8.（2）由（1）知f(0)=0，令x=?y，得f(0)=f(x)+f(?x)=0，所以f(?x)=?f(x)，則f(x)是奇函數(shù).任取x1，x2，且x1則f(x因為當(dāng)x>0時，f(x)>0，所以f(x2?所以f(x)在R上為增函數(shù).（3）由（2）可知，f(x即f(x2)+f(?3x)<f(ax)+f(?3a)因為f(x)在R上為增函數(shù)，則x2?3x<ax?3a，即因式分解得(x?3)(x?a)<0.當(dāng)a<3時，不等式的解集為(a,3)；當(dāng)a=3時，不等式變?yōu)?x?3)2當(dāng)a>3時，不等式的解集為(3,a).綜上所述：當(dāng)a<3時，不等式的解集為(a,3)；當(dāng)a=3時，不等式的解集為?；當(dāng)a>3時，不等式的解集為(3,a).68．（24-25高一上·北京·期中）定義在(?1,1)上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意x,y∈(?1,1)，都有f(x)+f(y)=fx+y1+xy；②當(dāng)x∈(?1,0)時，都有(1)求證f(x)是奇函數(shù)；(2)求證f(x)在(?1,1)上單調(diào)遞減；(3)若f12=?1且f(x)≤t2【解題思路】（1）利用賦值法及奇函數(shù)的定義證明；（2）由已知條件及函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）由條件得f(x)在?12,12上最大值為1，從而t2?2at≥0對所有a∈?1,1恒成立，令【解答過程】（1）令x=y=0，則有f(0)+f(0)=f0，所以f(0)=0對任意x∈(?1,1)，令y=?x，則f(x)+f(?x)=f0所以f(x)是奇函數(shù).（2）對任意x1,xf(x由于x1,x又因為x2?x因此f(x所以函數(shù)f(x)在(?1,1)上單調(diào)遞減.（3）由于f(x)在(?1,1)上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，所以f(x)在?12,由于f(x)≤t2?2at+1所以t2?2at+1≥1對所有即t2?2at≥0對所有令g(a)=t2?2t?a由題意得g(?1)≥0且g(1)≥0，即t2+2t≥0且解得t∈(?∞即實數(shù)t的范圍是(?∞題型18題型18函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用69．（24-25高一上·浙江·期中）已知f(x)=bx+c4+x2是定義在[?2,2]上的函數(shù)，若滿足(1)求f(x)的解析式；(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論；(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x2?2mx+4(m∈R)，若對?【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義和函數(shù)值求得c=0，b=5，即可得解析式；（2）根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義分析證明；（3）根據(jù)題意分析可知g(x2)min【解答過程】（1）因為f(x)+f(?x)=0，可知f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=c4=0且f(1)=b5=1則f(x)=5x4+x可知f(x)為奇函數(shù)，即c=0，b=5符合題意，所以f(x)=5x（2）函數(shù)fx=5x對任意x1,x則fx因為?2≤x1<x2可得fx2?f所以函數(shù)fx=5x（3）對?x1∈[1,2],?x2由（2）可知f(x)在[1,2]單調(diào)遞增，則f(x)可得gx=x2?2mx+4<1在1,2因為?x=x+3x在且?3=23，可知?x=x+可得2m>23，解得m>3，即實數(shù)m的取值范圍為70．（24-25高一上·山東淄博·期中）已知函數(shù)fx=2x+bx2(1)求函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx(3)設(shè)gx=kx+1?4k，若對任意的x1∈?2,2，存在x【解題思路】（1）利用f(0)=0，f1=25，求得（2）利用定義法判斷出f(x)在區(qū)間?2,2上的單調(diào)性；（3）將問題轉(zhuǎn)化為f(x)max≤g(x)max【解答過程】（1）依題意函數(shù)fx=2x+bx2f1=2所以fx（2）f(x)在?2,2上遞增，證明如下：任取x1，x2，使得則f(x因為?2≤x1<x2≤2，所以即f(x1)?f(所以f(x)在?2,2上遞增；（3）若對任意的x1∈?2,2，存在x2由（2）得f(x)在?2,2上遞增，所以f(x)存在x2∈?2,2，若k>0，則gx在?2,2上為增函數(shù)，∴gx若k=0，則gx=1，此時若k<0，則gx在?2,2上為減函數(shù)，∴gx綜上可知：k≤14．即實數(shù)k的取值范圍是：71．（24-25高一上·山東·期中）已知函數(shù)fx=x+a+b(1)求出fx(2)判斷fx在區(qū)間?1,1(3)解不等式f1【解題思路】（1）由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱和f0（2）利用定義法證明,當(dāng)?1<x1<（3）利用奇函數(shù)和減函數(shù)解抽象函數(shù)不等式，再配合分式不等式的解法求出即可；【解答過程】（1）由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以a=1，又f0=0，所以所以fx（2）f(x)在(?1,1)上為減函數(shù)；證明如下：證明：設(shè)?1<xf又由?1<x1<x2<1，則則有fx1?fx2（3）f1t+f因為f(x)是定義域為?1,1的奇函數(shù)，所以f1又函數(shù)f(x)在(?1,1)上為減函數(shù)，所以?1<1t<1所以不等式的解集為t|1<t<1+372．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知fx=bx+c9+x2是定義在?3,3上的函數(shù)，(1)求b，c的值；(2)判斷fx在?3,3(3)若對任意x∈?3,3，都存在a∈1,2，使得fx【解題思路】（1）根據(jù)題意得到該函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果；（2）由（1）可得解析式，根據(jù)定義法可證明出該函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)單調(diào)性得到最大值，再根據(jù)恒成立問題以及能成立問題求解不等式.【解答過程】（1）因為?x∈?3,3，都有f則fx是定義在?3,3上的奇函數(shù)，得f0=所以fx由f2=?213，可得此時fx=?x所以b=?1，c=0；（2）證明：由（1）知fx=?x則fx因為?3≤x1<x2所以fx1?f故函數(shù)fx=?x（3）由（2）知fx=?x所以fx在?3,3上的最大值為1因為對任意x∈?3,3，使得f所以fxmax≤a因為存在a∈1,2，使得at2又因為t2+1>0，所以y=at所以a