重慶市南岸區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試題（解析版）

2022-2023學年度上期九年級期末質量監(jiān)測試題數(shù)學

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

注意事項：

1.試題卷上各題的答案用簽字筆書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；

2.答題前認真閱讀答題卡上的注意事項；

3.作圖（包括作輔助線）請一律用2B鉛筆完成；4

一、選擇題：（本大題12個小題，每小題4分，共48分）在每個小題的下面，都給出了代號

為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所

對應的方框涂黑.

l.sin30。的值為（）

A.1B.走C,—D.B

2223

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可.

【詳解】sin30°=1

故答案為：A.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的問題，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

2.一元二次方程/+%—4=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【答案】A

【解析】

【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

【詳解】解：A=l2-4xlx（^）=17>0,

方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根

故選：A

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程分2+6x+c=0（。*0）的根與A=Z?2-4?C有如下關系：

當A>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當A=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當A<0時,

方程無實數(shù)根；解題關鍵是掌握一元二次方程根的判別式.

3.在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共10個，這些球除顏色外都相同.小明通過多次實驗發(fā)現(xiàn)，摸

出紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則袋子中紅球的個數(shù)最有可能是（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù)，可以計算出紅球的個數(shù).

【詳解】解：由題意可得，

10x0.2=2（個），

即袋子中紅球的個數(shù)最有可能是2個，

故選：B.

【點睛】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關鍵是明確題意，計算出紅球的個數(shù).

4.如圖，在菱形A3CD中，對角線AC,相交于點。，若AC=6,BD=8,則菱形A3CD的周長

為（）

A.12B.16

C.20D.40

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用菱形的性質結合勾股定理得出A5的長，進而得出答案.

【詳解】解：：在菱形A3CD中，對角線AC,相交于點。，AC=6,BD=8,

ZAOB=90°>AO=—AC=3,BO=—BD=4,

22

AB=5,

菱形ABCD的周長是：5x4=20.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理等知識，正確把握菱形的性質是解題關鍵.

5.生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下。與全身b的高度比值接

近0.618,可以增加視覺美感，若圖中Z>=3m,則。約為()

A.1.236mB.1.416m

C.1.584mD.1.854m

【答案】D

【解析】

【分析】由黃金分割的定義得3/0.618,即可得出答案.

b

【詳解】解：由黃金分割的定義得：0.618,

b

a~0.618x3?1.854(m),

故選：D.

【點睛】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關鍵.

6.在平面直角坐標系內，Q鉆的頂點為0(0,0),4(2,2),8(4,2),如圖.若以點。為位似中心，在

第三象限內作與Q43的相似比為g的位似圖形OCD,則點C的坐標為()

A.----B

////

*

N_/

DC

A.(-1,—1)B.(-2,-1)

C.(―1,—2)D.(—2,—2)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)關于以原點為位似中心的對應點的坐標的關系，把A點的橫縱坐標都乘以-工即可求解.

2

【詳解】解：：（MB和OCD以點。為位似中心，位似比為!■，點C在第三象限，4（2,2）,

點對應點C的坐標為故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為

k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于左或—左.

7.如圖，直線直線AC和。歹被4，,2，4所截，若AB=3,BC=4.5,EF=3,則OE

長為（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

【詳解】解：〃73，

.ABDE

?,法一訴’

又AB=3,BC=4.5,EF=3,

.3DE

??一,

4.53

:.DE=2.

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此

題的關鍵.

8.臨近春節(jié)某干果店迎來了銷售旺季，12月的第一周銷售額為2萬元，第三周的銷售額為2.88萬元，設

這兩周銷售額的周平均增長率為x,則根據(jù)題意，可列方程為（）

A.2（l+2x）=2.88B,2（1+%）2=2.88

C.2（1+3%）=2.88D.2(1)2=2.88

【答案】B

【解析】

【分析】設這兩周銷售額的周平均增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解.

【詳解】解：設這兩周銷售額的周平均增長率為%則根據(jù)題意，可列方程為2（1+X）2=2.88,

故選：B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵.

9.如圖，是一個由鐵鑄灌成的幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標數(shù)據(jù)，鑄灌這個幾何體需要的鐵的體積為

（）

B.181

C.24〃D.78不

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用三視圖得出幾何體的形狀，再利用圓柱體積求法得出答案.

【詳解】解：由三視圖可得，幾何體是空心圓柱，其小圓半徑是1,大圓半徑是2,

則大圓面積為：乃義2?=4"，小圓面積為：TIXF=冗，

故這個幾何體的體積為：6x4%—6*%=24兀-67r=18%.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，正確判斷出幾何體的形狀是解題關鍵.

10.任意給定一個正三角形甲，以下說法正確的是（）

A.存在正三角形乙，乙的周長和面積分別是甲的周長和面積的一半

B.存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的五倍

C.存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的3倍

D.存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的4倍

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角形相似比就是周長比，面積比是相似比的平方即可求解

【詳解】：任意兩個正三角形都是相似三角形，

???三角形相似比就是周長比，面積比是相似比的平方，

.??面積比是周長比的平方

A.存在正三角形乙，乙的周長和面積分別是甲的周長和面積的一半，該說法錯誤，不符合題意；

B.存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的行■倍，該說法錯誤，不符合題意；

C.存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的3倍，該說法錯誤，不符合題意；

D.存在正三角形乙，乙的周長是甲周長的2倍，乙的面積是甲面積的4倍，該說法正確，符合題意；

故選：D

【點睛】本題考查了三角形的相似比，熟練掌握面積比是相似比的平方，周長比等于相似比是解題的關鍵

11.在平面直角坐標系內，如圖，矩形A3CD的點A,B在X軸正半軸上，E是的中點，尸是AD邊

上一點，反比例函數(shù)y經(jīng)過點E.若AB=3,BC=8,AF=AE+2,則左的值為（）

A.4B.7

C.12D.28

【答案】D

【解析】

【分析】利用反比例函數(shù)圖像上的坐標特點，得出=進而求出。4的值，即可得出答案.

【詳解】VBC=8,E為的中點，

/.BE=4,

'：AB=3,

,,AE=J??+42=5,

VAF=AE+2=5+2=7,

設OA=a,貝UOB=a+3,

?；￡、尸都在反比例函數(shù)圖像上，

OA*AF-OB>BE，

即左=7a=4（a+3）,

解得：a=4,

則左=7x4=28,

故選：D

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)上的幾何意義，根據(jù)中點坐標公式表示出各點坐標是解題的

關鍵.

12.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E是邊CD的中點，尸是邊AD上一動點，連接,將△ABE

沿正翻折得到.GBP，連接GE.當GE的長最小時，。產(chǎn)的長為（）

DEC

A.2#）-2B.2君-4

C.475-6D.6-275

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正方形的性質和勾股定理可得5G的長，再由翻折知3G=84=4,得點G在以8為圓心,

4為半徑的圓上運動，可知當點G、E、3三點共線時，GE最小.

【詳解】解：：正方形A3CD的邊長為4，

AZC=ZA=90°,BC=CD=4,

???點E是邊CD的中點，

CE=DE=2，

BE=7BC2+CE2=2y/5，

V將AABF沿BF翻折得到GBF,

：.BG=BA=4,

...點G在以B為圓心，4為半徑的圓上運動,

，當點G、E、3三點共線時，GE最小，

連接所，設。尸=尤，

?S梯形ABED=SEDF+SABF+SEBF'

.?.-(2+4)X4=-X2X^+-X4X(4-^)+-(4-X)X2A/5

2222

解得x=6-2#)，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了翻折的性質，正方形的性質，勾股定理以及輔助圓，確定當點G、石、3三點共線

時，GE最小是解題的關鍵，同時注意運用面積法求垂線段的長度.

二、填空題：(本大題4個小題，每小題4分，共16分)請將每小題的答案直接填在答題卡

中對應的橫線上.

13.己知關于x的方程N+3尤+左=0的一個根是一1,則上的值是.

【答案】2

【解析】

【分析】將x=—1代入好+3了+左=0中，即可求出左的值.

【詳解】解：將x=—1代入N+3x+%=0中

可得：(-1)2+3X(-1)+A:=0

解得左=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定義：一元二次方程的根就是一元二次方程的

解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立.

2

14.在平面直角坐標系內，點(2,%),(5,為)在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則%一力(填"“或

X

<”).

【答案】>

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質，2>0,函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小,

進行判斷即可.

【詳解】解：2>0,

，函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小，

2<5,

；?%>為，

故答案為：>.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質，熟練掌握函數(shù)的性質是解決問題的關鍵.

15.數(shù)學實踐活動中，為了測量校園內被花壇隔開的48兩點的距離，同學們在A3外選擇一點C,測得

AC,5C兩邊中點的距離OE為10m（如圖），則A,B兩點的距離是_______________m.

【答案】20

【解析】

【分析】根據(jù)題意得出。石為AABC的中位線，然后利用其性質求解即可.

【詳解】解：：點。、E為AC,BC的中點，

.??OE為AA8C的中位線,

,：DE=10,

：.AB=2.DE='2O,

故答案為：20.

【點睛】題目主要考查三角形中位線的判定和性質，熟練掌握三角形中位線的性質是解題關鍵.

AT）DEAE

16.如圖，在工45。中，ZA=30°,NB=90°,D為AB中點，E在線段AC上一點，一=—，則一=

ABBCEC

D

BC

【答案】1或工

3

【解析】

【分析】分兩種情況，利用平行線截線段成比例解答.

【詳解】解：為A3中點，

.AD_1

??—.

AB2

當時，△ADEsAABC,

ADDEAE1

則nl-------------——，

ABBCAC2

"1,

EC

當。石與不平行時，過。作。尸〃3c交AC于點片如圖,

ADDF

AB~BC

ADDE

AB~BC

DE=DF，

VZA=30°,ZB=90°,

/.ZADF=9Q°,ZAED=60°,

：._/郎是等邊三角形，

ZADE=ZDEF-ZA=30°=ZA,

/.AE=AF

???。為AB中點，

.AD_DF_AF

"AB~BC^AC~2,

.AE1

??----——.

EC3

故答案為：1或一.

3

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長

線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.

三、解答題：（本大題9個小題，17、18題各8分；19-25題每小題10分，共86分）解答

時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形，請將解答過程書寫在答題

卡中對應的位置上.

17.解方程：

（1）X2-2X=0;

（2）x2—3x—1=0.

【答案】（1）玉=0,訪=2

“、3+岳3-V13

（2）%=--------，--------

122

【解析】

【分析】（1）用因式分解法解方程即可.

（2）用公式法解方程即可.

【小問1詳解】

:爐―2%=0，

%（兀-2）=0,

，x=0或％—2=0,

【小問2詳解】

=b=—3c=-lr

：.△=/-4ac=(-3)2-4x1x(-1)=9+4=13,

.-6±7A-(-3)±V133土而

,?x--------------------------------------,

2a22

.3+7133-713

??X----------9X)—---------?

]1222

【點睛】本題考查了解一元二次方程，用恰當?shù)姆椒ń夥匠淌墙鉀Q問題的關鍵.

18.如圖，小林要測量塔CD高度，他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°,再往塔的方向前進30m至B

處仰望塔頂，測得仰角為60°,那么該塔的高度是多少？(小林的身高忽略不計，結果精確到1m.參考

數(shù)據(jù)：血儀1.4,A/3?1.7)

D

【答案】26m

【解析】

【分析】由題意得NA=30°,ZDBC=60。,DC±AC,再證3。=A3=30m,然后解直角三角形即

可求解.

【詳解】解：ZA=30°,ZCBD=60°,

ZADB=Z.CBD-ZA=60°-30°=30°.

AB-BD—30m.

NDC3=90。,

CD

...sinZCBD=——.

BD

CD=BD-sin60°=30x^?15x1.7?26(m).

答：塔的高度約為26nl.

【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，三角形外角的性質，等角對等邊，證得

是解題的關鍵.

19.共享經(jīng)濟已經(jīng)進入人們的生活.小沈收集了自己感興趣的4個共享經(jīng)濟領域的圖標，共享出行、共享

服務、共享物品、共享知識，制成編號為A、B,C、。的四張卡片(除字母和內容外，其余完全相

同）.現(xiàn)將這四張卡片背面朝上，洗勻放好.

QO

0D

力共享出行|8共享服務C共享物品|。共享知識

（1）小沈從中隨機抽取一張卡片是“共享服務”的概率是—;

（2）小沈從中隨機抽取一張卡片（不放回），再從余下的卡片中隨機抽取一張，請你用列表或畫樹狀圖的

方法求抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的概率.（這四張卡片分別用它們的編號A、

B、C、。表示）

【答案】（1）—;（2）—

46

【解析】

【分析】（1）根據(jù)概率公式直接得出答案；

（2）根據(jù)題意先畫樹狀圖列出所有等可能的結果數(shù)，兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的結

果數(shù)為2,根據(jù)概率公式求解可得.

【詳解】（1）?.?有共享出行、共享服務、共享物品、共享知識，共四張卡片，

...小沈從中隨機抽取一張卡片是“共享服務”的概率是工，

故答案為:

（2）畫樹狀圖如圖:

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結果數(shù)，其中兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的結果數(shù)為2,

21

.?.抽到的兩張卡片恰好是“共享出行”和“共享知識”的概率.

126

【點睛】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合

于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回

實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20.某氣球內充滿一定質量的理想氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓尸（kpa）是氣體體積V（nP）

的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

PkPa

(1)寫出這一函數(shù)的表達式；

(2)當氣體體積為2n?時，氣壓是多少？

(3)當氣球內的氣壓大于150kpa時，氣球將爆炸.為了安全起見，氣體的體積應不小于多少？

【答案】(1)尸=%(V>0)

(2)當氣體的體積為2m3,氣壓是50kpa

2

(3)為了安全起見，氣體的體積應不小于§nP

【解析】

【分析】(I)根據(jù)題意可知P與V的函數(shù)關系式為P=1,利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式;

(2)直接把V=2代入解析式可求得；

(3)利用“氣球內的氣壓小于等于140kPa”作為不等關系解不等式求解即可.

【小問1詳解】

由圖知，尸是V的反比例函數(shù)，故設尸=8,當V=l,P=100.

V

???左=1x100=100.

/.P=—(V>0).

V

【小問2詳解】

當V=2m3時，2=122=50；

2

所以，當氣體的體積為2m3,氣壓是50kpa.

【小問3詳解】

當氣球內的氣壓等于150kpa時，v=^=[m3.

因為尸隨y的增大而減小，所以V22m3.

3

2

答：為了安全起見，氣體的體積應不小于5m3.

【點睛】主要考查了反比例函數(shù)的應用.解題的關鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關系式，從實際意義中找到

對應的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.會用不等式解決實際問題.

21.如圖，已知乙BAM.

B

（1）用尺規(guī)作圖：作線段A3的垂直平分線，垂足為交40于點C,連接BC；作的平分

線CN,在CN上截取CE=AD,連接跖；

（2）求證：（1）中所作的四邊形60CE是矩形.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）依題意作圖即可；

（2）由（1）可知，NBDC=90。，利用角的關系求出NMCE=NA,證明CE〃此，再證明CD5E是

平行四邊形，即可.

【小問1詳解】

如圖所示；

【小問2詳解】

證明：CDLAB,AD=BD=CE,

:.ZBDC=90°,AC=BC,

ZA=ZCBA,

CN平分線NBCM,

/MCE=|ZMCB=1(ZA+ZCBA)=1(ZA+ZA)=ZA,

:.CE//AB,

：.CE//BD,

BD=CE,

.?.awE是平行四邊形，

NBDC=90。，

四邊形GD5E是矩形.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖、矩形的證明；根據(jù)題意正確作圖，結合題意證明平行四邊形是解題的關

鍵.

22.學習了相似三角形后，數(shù)學課外興趣小組利用相似測量旗桿的高度.他們先選一名觀察者，如圖1,

在觀察者與旗桿之間的地面放一面鏡子，在鏡子上做一個標記，觀察者看著鏡子來回移動，直到看到旗桿

頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合.

(1)利用圖2,為求出旗桿的高度。E,請把還需要畫出的線段補充完整，把需要測量的線段的長度分別

用x,y,z等字母表示；

(2)用含字母x,V,z等表示旗桿的高度。E,并說明理由.

【答案】(1)見解析(2)ED=—,理由見解析

y

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，構造相似三角形；

(2)先證明,ABCjEQ。,得到竺_=空，即可得到ED=三.

BCDCy

【小問1詳解】

解：如圖，測出AB=x,BC=y,CD=z；

E

【小問2詳解】

解：由題意得NACB=NECO,NABC=NE￡)C=90。,

:.ABCsEDC，

.ABED

"茄一5E'

XED

即一=

yz

ELDC=—XZ

y

【點睛】本題考查了相似三角形的應用-測高問題，理解題意得到NACB=NECD,

ZABC=ZEDC=90°,證明一ABC^EDC是解題關鍵.

23.如圖，一個長為acm,寬為"cm的矩形鐵片.

（1）如果a=30,b=2Q,在矩形的中央挖掉一個200cm2的矩形后，成為一個各條邊一樣寬的鐵框，

求這個鐵框的寬度；

（2）如果a=2b,在四個角上分別裁掉四個邊長為4cm的正方形，把它制作成一個體積為4576cm3的

無蓋長方體，求原矩形的面積.

【答案】（1）5cm

（2）1800cm2

【解析】

【分析】（1）設這個鐵框的寬度為xcm,根據(jù)中央矩形的面積為200cm2列出方程，解方程即可;

（2）根據(jù)長方體的體積為4576cm3,列出關于6的方程，解方程即可得出答案.

【小問1詳解】

解：設這個鐵框的寬度為xcm,根據(jù)題意得：

（30-2尤）（20-2x）=200,

解方程，得玉=5,%=20（舍去），

答：這個鐵框的寬度為5cm.

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意，可得：

9-2x4）（2/2-2x4）x4=4576,

解方程，得偽=30,d=一18（舍去）.

.?.26=2x30=60

/.原矩形的面積為60x30=1800（cm2）,

答：原矩形的面積為1800cm?.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)等量關系，列出方程，準確計算.

24.如圖，在平面直角坐標系內，反比例函數(shù)y=人的圖像和一次函數(shù)y=ax+b的圖像交于點

x

A（6,l）,.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

（2）點尸（不與點A,8重合）在線段AB上，過點尸分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為C,D,在

圖中補全圖形.若矩形OCPD的面積為10,求點尸的坐標.

【答案】（1）一次函數(shù)的表達式為y=-x+7,反比例函數(shù)的表達式為y=-

（2）點尸的坐標為（2，5）或（5,2）

【解析】

【分析】（1）先求出反比例函數(shù)解析式，確定優(yōu)的值，然后運用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式即可;

（2）先根據(jù)題意補全圖形，然后根據(jù)圖形和矩形面積列式求得r的值，進而確定點尸的坐標.

【小問1詳解】

解：：丁=人的圖像經(jīng)過點（6,1）,

6

k=6.

...反比例函數(shù)的表達式為y=-.

X

,：B（1,m）在y=g的圖像上，

X

6

m=—=o.

1

???一次函數(shù)y=依+人的圖形經(jīng)過A（6,1）,B（1,6）,

6a+Z7=1,a=-1,

\解得：＜

a+b=6.[b=/.

所以，一次函數(shù)的表達式為y=-x+7.

【小問2詳解】

解：補全圖形，如圖所示.

令尸（■,—t+7）.

則矩形OCPO的面積為：r（-r+7）=10.

解方程，得。=2,=5.

所以，點P的坐標為（2,5）或（5,2）.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合、待定系數(shù)法、矩形的性質等知識點，掌握數(shù)形結

合思想成為解答本題的關鍵.

25.在四邊形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿匹翻折到所處，直線所交四邊形

ABCD的一邊所在的直線于點G.

A

(1)如圖1,四邊形A3CD是正方形，點G在CD邊上，求證：ABFGmLBCG；

(2)如圖2,四邊形A3CD是矩形，AB=6,AD=8,點G在邊上，延長正交CD于點H.若

FH=CH,求AE的長;

(3)如圖3,四邊形ABCD是邊長為3的菱形，點E為AD邊上的三等分點，NA=60，直線所交直

線CD于點G,直接寫出EG的長.

9

【答案】(1)見解析(2)AE=-

2

77

(3)EG=—或EG=—

45

【解析】

【分析】(1)根據(jù)將方沿BE翻折到△BEF處，四邊形A3CD是正方形，得AB=BF,

ZA=ZBFE=90，得AB=BC,ZA=ZC=90，NBFE=NBFG=9。,BF=BC，即可證明

RtBFG之RtBCG；

(2)延長DC,EG相交于點K,由題意可得NAZ3EE=NKFH=90,ZBCH=90，證明

BCHWKFH,得BH=KH,根據(jù)￡H=CH,得CK=FB=6,BC=KF=8,根據(jù)勾股定理

DE-+DK2=EK->得(8-AE)2+12?=(8+AE)2，從而可得AE■的值；

(3)分兩種情況：當AE=：AD=1時，連接砂1與AD交于點。，設EO=x,則

1FOx2—x

DO=2—x,證明△EFOS^BDO，得一=----=,得FO=------,BO=3x,根據(jù)

32-xBO3

2-x77EOEF

■9+50=3得3%+------=3,解得％=—,即石。二一，證明，EO尸S-XGO得一=——，即

388EGED

7

L72

81，得EG=—；當AE=—AD=2時，延長莊、84交于點Q,過。點作連接

---二-43

EG2

BD交EF于點、0,設24=羽。石=丁，根據(jù)勾股定理得。82+族2=。石2,即

2)2=>2①，證明AEDOsABFO,設EO=m,則OF=2—m,

EDEQDO1mDO2—m

,Drt即一二---=-----,得8。=3加,。。=------,根據(jù)30+00=9=3得

~BF~「而一~FO3BO2—m3

2-m721QBQDBO

3m+：3,解得m=-BO=3m=—,證明△QBOS^QEB,得樂=樂=即

3.8f8QFQBBF

y=-x+—聯(lián)立①②解得x=9,y=—,證明△QAES^GDE,得些=蛙,即2=上,

7755DEGE1GE

y7

從而可得GE=2=—.

25

【小問1詳解】

解：與一EEB關于阿軸對稱,

:.ZA=ZBFE,BA=BF.

四邊形A3CD是正方形，

AB=BC,ZA=ZC=90-

NBFE=ZBFG=90,BF=BC

在RtZ\BFG和RtBCG,

BF=BC,

BG=BG.

RtBFG^RtBCG

小問2詳解】

解：延長DC,EG相交于點K.

AEB與.在B關于BE軸對稱，

.-.FB=AB=6,EF=EA.

四邊形A3CD是矩形，

ZA=NBFE=NKFH=9。,