北京市朝陽區(qū)2024屆高三上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽區(qū)2024屆高三上學期期末數(shù)學試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，又，所以.故選：A.2.設，若復數(shù)在復平面內對應的點位于虛軸上，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，所以在復平面內對應的點為，即在虛軸上，因此可得，即；故選：B.3.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，因為，所以指數(shù)函數(shù)單調遞減，所以，錯誤；對于B，因為，所以冪函數(shù)在上單調遞增，所以，正確；對于C，因為，所以對數(shù)函數(shù)單調遞減，所以，錯誤；對于D，當時，滿足，有，此時不滿足，錯誤.故選：B.4.在中，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，由可得；利用正弦定理可得.故選：D.5.在平面直角坐標系中，已知點，動點滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，易知，由可得，整理得，即動點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，又，可得的最大值為到圓心的距離再加上半徑，即.故選：D.6.如圖，在正方體中，點是平面內一點，且平面，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】正方體中，連接，交于點，再連接和，由于，且，∴四邊形是平行四邊形，所以，又平面，且平面，，所以平面，同理證明平面，因為平面，平面，平面，平面，且，所以平面平面，且平面平面，從而得，若平面，點是平面內一點，且平面，則，即在直線上時，都滿足平面，因為平面，所以，顯然，當最大時，即取最小值時，此時點滿足，連接，可設正方體的棱長為，所以．故選：C．7.設函數(shù)的定義域為，則“”是“在區(qū)間內有且僅有一個零點”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由函數(shù)的定義域為，顯然m為0時，函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個零點，滿足；令，可得，即，設，要使得函數(shù)在區(qū)間上只有一個解，則滿足或，解得或，即函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點時，可得，所以“”是“在區(qū)間內有且僅有一個零點”的充分不必要條件.故選：A.8.設拋物線的焦點為，點是的準線與的對稱軸的交點，點在上.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】拋物線的焦點為，點是的準線與的對稱軸的交點，其坐標為，點在上，設為，若，則，且，則.故選：D.9.根據(jù)經(jīng)濟學理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動投入、資本投入和技術水平的影響，用表示產(chǎn)量，表示勞動投入，表示資本投入，表示技術水平，則它們的關系可以表示為，其中.當不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r，下面結論中正確的是（）A.存在和，使得不變B.存在和，使得變?yōu)樵瓉淼谋禖.若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋禗.若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋丁敬鸢浮緿【解析】設當不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r，，對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若和，則，故B錯誤；對于C，若，則，即若，故C錯誤；對于D，若，由，，可得，故D正確.故選：D.10.在中，，當時，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：在直線上取一點，使得，所以，當時，取得最小值為，即；又，所以可得是以為頂點的等腰直角三角形，建立以為坐標原點的平面直角坐標系，如下圖所示：又可得為的中點，由以及可得在上，可得，所以，可得，則，令，由可得，所以，，由二次函數(shù)上單調遞增可得，.故選：C.第二部分（非選擇題）二、填空題11.在展開式中，的系數(shù)為___________.(用數(shù)值表示)【答案】【解析】令，則，即的系數(shù)為，故答案為：12.已知等差數(shù)列的公差為，為其前項和，且成等比數(shù)列，則________，________.【答案】【解析】因為等差數(shù)列的公差：，且成等比數(shù)列，得，即，解得，所以，所以，，故答案：.13.已知雙曲線的一條漸近線過點，則其離心率為________.【答案】【解析】由題意雙曲線漸近線方程為，它過點，所以，即，所以其離心率為.故答案為：.14.設函數(shù)，當時，的最大值為______；若無最大值，則實數(shù)的一個取值為______.【答案】（答案不唯一）【解析】當時，，當時，，有，從而，即當時，有最大值1；當時，，即當時，有最大值4；綜上，當時，有最大值4；當時，函數(shù)在上單調遞增，則存在最大值為；當時，函數(shù)在先單調遞減，再單調遞增，若函數(shù)無最大值，則，解得，當時，函數(shù)在單調遞減，若函數(shù)無最大值，則，解得，綜上，當無最大值時，，故實數(shù)的一個取值為（答案不唯一）.故答案為：；（答案不唯一）15.中國傳統(tǒng)數(shù)學中開方運算暗含著迭代法，清代數(shù)學家夏鸞翔在其著作《少廣縋鑿》中用迭代法給出一個“開平方捷術”，用符號表示為：已知正實數(shù)，取一正數(shù)作為的第一個近似值，定義，則是的一列近似值.當時，給出下列四個結論：①；②；③，；④，.其中所有正確結論的序號是________.【答案】①④【解析】對于①，，，故①正確；對于②，，故②錯誤；為了說明選項③④，引理：我們先來討論與的關系；由于是偶數(shù)，所以，對于而言，由于為奇數(shù)，所以，所以有，由于數(shù)列每一項均為正，所以利用均值不等式，有，取不到等號，即，同時有，因此數(shù)列從第三項起，奇數(shù)項大于，偶數(shù)項小于；對于③，當時，由于是偶數(shù)，所以，由于數(shù)列從第3項起，奇次項均大于，以及每一項均為正，所以，于是，時，相鄰奇次項之差同號，又由于，所以，即，從而時，恒有，故③錯誤；對于④，當時，根據(jù)上述引理可知，所以有，從而有，利用均值不等式有代入上式得，即，故④正確.故答案為：①④.三、解答題16.已知函數(shù)的圖象過原點.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求正數(shù)的最大值.解：（1）由得.所以.所以的最小正周期為.（2）由（），得（）所以的單調遞增區(qū)間為（）.因為在區(qū)間上單調遞增，且，此時，所以，故的最大值為.17.如圖，在四棱錐中，，側面底面，是的中點.（1）求證：平面；（2）已知，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使四棱錐唯一確定，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：；條件③：直線與平面所成角的正切值為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.（1）證明：取的中點，連接，因為是的中點，所以.又因為，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）解：取的中點，連接，因為，所以，又因為側面底面，且平面平面，平面，所以平面，如圖，在平面中，作，則，以為原點建立空間直角坐標系，選條件①：連接，在中，因為，，所以，在中，因為，，所以，所以，所以，設平面的法向量是，則，即，令，則，于是，因為平面，所以是平面的一條法向量，所以，由題知，二面角為鈍二面角，所以其余弦值為.選條件②：因為平面，所以平面，又平面，所以，而，平面，所以與平行或重合，這與矛盾，所以條件②不行.選條件③：連接，因為平面，所以是直線與平面所成角，所以，在中，因為，所以，在中，因為，所以，下同選條件①.18.某學校開展健步走活動，要求學校教職員工上傳11月4日至11月10日的步數(shù)信息.教師甲、乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示.（1）從11月4日至11月10日中隨機選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；（2）從11月4日至11月10日中隨機選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（3）根據(jù)11月4日至11月10日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校800名教職員工步數(shù)的頻率分布直方圖如圖2所示.已知這一天甲與乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221名，判斷這是哪一天的數(shù)據(jù).（只需寫出結論）解：（1）設“甲比乙的步數(shù)多”為事件，在11月4日至11月10日這七天中，11月5日與11月9日這兩天甲比乙步數(shù)多，所以；（2）由圖可知，7天中乙的步數(shù)不少于20000步的天數(shù)共2天；的所有可能取值為，，所以的分布列為012；（3）由頻率分布直方圖知，步數(shù)在各個區(qū)間的人數(shù)如下，有人，有人，有人，有人，有人，有人，因為甲與乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221名，所以甲走的步數(shù)在區(qū)間內，乙走的步數(shù)在區(qū)間內，符合的只有11月6日這一天，所以這是11月6日的數(shù)據(jù).19.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線為軸，求的值；（2）討論在區(qū)間內極值點的個數(shù)；（3）若在區(qū)間內有零點，求證：.（1）解：由得：，依題意，，得.經(jīng)驗證，在點處的切線為，所以.（2）解：由題得.（i）若，當時，恒成立，所以在區(qū)間上單調遞增，所以無極值點.（ii）若，當時，，故在區(qū)間上單調遞減，當時，，故在區(qū)間上單調遞增.所以為的極小值點，且無極大值點.綜上，當時，在區(qū)間內的極值點個數(shù)為0；當時，在區(qū)間內的極值點個數(shù)為1.（3）證明：由（2）知當時，在區(qū)間上單調遞增，所以，在區(qū)間內無零點.當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.所以.若在區(qū)間內有零點，則.而，設，則.設，則，所以在區(qū)間上單調遞增.所以，即.所以在區(qū)間上單調遞增.所以，即.又，所以20.已知橢圓的左頂點為A，上頂點為，原點到直線的距離為，的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于不同的兩點，過點作軸的垂線分別與直線交于點.判斷點是否為線段的中點，說明理由.解：（1）由題可知.因為的面積為，所以.因為點到直線距離為，所以.所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）點為線段的中點，理由如下：由題知直線的斜率存在，如下圖所示：設過點的直線的方程為，即.聯(lián)立，整理得.由，得.設，，則.直線的方程為，令，得點的縱坐標.直線的方程為，令，得點的縱坐標.要證點為線段的中點，只需證明，即.因為，即，所以點為線段的中點.21.已知是各項均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于，定義集合，設為集合中的元素個數(shù)，若時，規(guī)定.（1）若，寫出及的值；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（3）設集合，求證：且.（1）解：因為，所以，則，所以，，又，所以，，所以；（2）解：由題可知，所以，所以.若，則，，所以，，與是等差數(shù)列矛盾.所以.設，因為是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以.假設存