福建省部分學(xué)校2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分學(xué)校2025屆高三12月聯(lián)考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，所以.故選：B．2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得或，故“”是“”充分不必要條件．故選：A3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題，由得，即，.故選：D．4.已知函數(shù)，則（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】，令，得，得，則，得，故選：C5.若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則與相交【答案】C【解析】對于A，若，，則，或與相交，或與異面，故A錯誤；對于B，若，，則或與相交，或與異面，故B錯誤；對于C，若，，則，故C正確；對于D，若，，則與相交，或與異面，故D錯誤.故選：C.6.如圖，在平行六面體中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，因為六面體是平行六面體，所以，因為，代入計算可得：，故有：，所以，所以，因為，所以.故選：B7.已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)的圖象對稱軸為 B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的最小值為【答案】A【解析】對于A：令，得，故A錯誤；對于B：是偶函數(shù)，故B正確；對于C：，，單調(diào)遞增，故C正確；對于D：的最小值為-2，故D正確.故選：A.8.在正方形中，，為中點，將沿直線翻折至位置，點為線段中點.在翻折的過程中，若為線段的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.三棱錐的體積最大值為B.異面直線、所成角始終為C.翻折過程中存在某個位置，使得大小為D.點在某個圓上運動【答案】D【解析】對于A，當(dāng)二面角為直二面角，過作于，所以平面平面．又平面平面，所以平面．由題意可得，．由勾股定理可得．由，即，解得．因為為線段的中點，所以到平面的距離為．又，所以，即三棱錐的體積最大值為，故A錯誤．對于B、C選項，取的中點，則，且，，所以．因為，所以是異面直線，所成的角．取的中點，連接，，可得，，所以．在中，可得．由余弦定理可得，所以．在中，由余弦定理可得，所以，所以異面直線，所成的角為，故B，C均錯誤．對于D選項，由B，C選項可知，，均為定值，則的軌跡為以，為球心的球面的交線，即點在某個圓上運動，故D正確．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.在的展開式中（）A.所有系數(shù)的絕對值之和為 B.項的系數(shù)為C.系數(shù)最大項為第3項 D.有理項共有5項【答案】BCD【解析】對于A：在的展開式中所有系數(shù)的絕對值之和與的展開式中所有系數(shù)的和相等，故令，可知展開式的系數(shù)之和為，故A錯誤；對于B：因為展開式的通項公式，，令，解得，可得，即項的系數(shù)為，故B正確；對于C：由通項公式可得：第項的系數(shù)為，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；取為偶數(shù)，令，則，整理得，所以，所以系數(shù)最大項為第3項，故C正確；對于D：令，則，所以有理項共有5項，故D正確；故選：BCD.10.已知為數(shù)列的前項和，，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.的最大值是1【答案】BCD【解析】對于選項AB：由，時，有，所以，當(dāng)時，，兩式相減得，且，可得，可知數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，則，故A錯誤，B正確；對于選項C：因為，可得，，所以等比數(shù)列，故C正確；對于選項D：因為，所以，由基本不等式可得，而，，當(dāng)，即時取等號，故的最大值是，故D正確；故選：BCD．11.（多選）泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點，直線，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（）A.點P的軌跡方程是B.直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C.平面上有一點，則的最小值為5D.點P的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點）【答案】ABC【解析】對于A，設(shè)，因為點P到點F的距離是點P到直線l距離的一半，所以，化簡可得，故選項A正確；對于B，聯(lián)立方程組，可得，解得，故存在點，所以直線是“最遠(yuǎn)距離直線”，故選項B正確；對于C，過點P作垂直直線，垂足為B，由題意可得，，則，由圖象可知，的最小值即為點A到直線的距離5，故選項C正確；對于D，由可得，即圓心為，半徑為1，易得點P的軌跡與圓C交于點，故選項D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記樣本數(shù)據(jù)10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，則=______．【答案】【解析】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位數(shù)，由平均數(shù)的計算公式得，所以.故答案為：.13.已知方程所表示的曲線為雙曲線，則的取值范圍為______.【答案】【解析】當(dāng)時，顯然不為雙曲線；當(dāng)時，可化為，若雙曲線的焦點在軸，則滿足解得，若雙曲線的焦點在軸，則滿足解得.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，，且，使得，則的最大值為______.【答案】【解析】根據(jù)題意作出函數(shù)y=fx令，解得或，令，解得或或，由題意可知：與y=fx有三個交點，則，此時，且，所以，令，則恒成立，所以在單增，的最大值為，即的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A的大??；（2）若，求邊a的長度最小時的周長．解:（1）因為，所以由正弦定理可得．因為，所以，從而．由題易知，所以．因為，所．（2）由余弦定理可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以邊a的長度最小時的周長為．16.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．解:（1）由題知，，，所以，所以．如圖，過點作，垂足為，連接，則，又，所以，所以,因為，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以為平面的法向量的一個法向量．設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，令，則，則．設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，則，所以，故平面與平面所成二面角的正弦值為．17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性;（2）若恒成立，求a的取值范圍.解:（1）因為，，①若，則恒成立，在0,+∞上單調(diào)遞增，②若，令，得，當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f'x>0，單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)時，在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)時，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知，，當(dāng)時，f'x>0，所以又趨向于0時，趨向于，故不恒成立；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，由恒成立，可得，因為，所以，解得綜上，a的取值范圍為.18.已知動點M到定點的距離比點M到定直線的距離小1，直線交曲線C于A，B兩點．（點A在第一象限）（1）求點M的軌跡C的方程；（2）若過且與垂直的直線與曲線C交于C，D兩點：（點C在第一象限）（i）求四邊形面積的最小值．（ii）設(shè)，的中點分別為P，Q，求證：直線過定點．解:（1）由題意知，動點M到定點的距離等于點M到定直線的距離，根據(jù)拋物線的定義可知，點M的軌跡是拋物線；因為，所以拋物線的方程為，即點M的軌跡C的方程為.（2）（i）設(shè)點，，，，由（1）知拋物線的準(zhǔn)線為，，根據(jù)拋物線的定義可知，，，，所以，，由題意知直線過且與直線交于點，所以四邊形的面積，由，消去后得，所以，由韋達(dá)定理可知，所以，由題意得直線：，同理，聯(lián)立，消去可得，所以，由韋達(dá)定理可知，所以，所以四邊形的面積，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以四邊形面積最小值為32.（ii）由（i）知，所以點的橫坐標(biāo)為，代入直線可得，所以，同理可得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡得，所以直線過定點.19.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項數(shù)列，由所有項0數(shù)列組成集合.（1）若是12項0數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時，，求數(shù)列的所有項的和；（2）從集合中任意取出兩個不同數(shù)列，記.①若，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；②證明：.解:（1）因為是12項數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以當(dāng)和時，.設(shè)數(shù)列的所有項的和為，則所以數(shù)列的所有項的和為0.（2）①若，則中的數(shù)列有；；；；；；；；，故的取值有1，2，3，從8個數(shù)列中任選2個，共有種情況，其中當(dāng)時，若選擇，可從；；任選1個，共有3種情況，若選擇，可以從；；任選1個，共有3種情況，另外和，兩者之一滿足要求，和，兩者之一滿足要求，和，兩者之一滿足要求，共有種情況，故，當(dāng)時，和滿足要求，和滿足要求，和滿足要求，和