遼寧省遼陽市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省遼陽市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由、，故.故選：A.2.若復(fù)數(shù)，則z的虛部是（）A. B.5 C.1 D.【答案】C【解析】，故z的虛部為1.故選：C.3.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)，可得，所以且，所以所求切線方程為，即.故選：B.4.在的展開式中，項的系數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】的展開式的通項為，令解得，所以項的系數(shù)為，故選：A5.古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率.黃金分割率的值也可以用表示，即，設(shè)為正五邊形的一個內(nèi)角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以，故選：A.6.已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個單位得到，因為偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于軸對稱，所以的圖象關(guān)于直線對稱，又在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，又，則有，當(dāng)，即時，需，解得或；當(dāng)，即時，需，無解；綜上，不等式的解集為.故選：D7.在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當(dāng)四面體的體積最大時，點(diǎn)O到平面ABD的距離為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知當(dāng)平面平面時四面體的體積最大時，因為為正三角形，，，所以，則，當(dāng)平面平面時，取線段中點(diǎn)，則點(diǎn)為直角三角形外心，連接，則易知平面，所以四面體外接球球心在上，因為為正三角形，所以四面體外接球球心即為的中心，則，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，點(diǎn)到面的距離為，由得，因邊長為2，所以，，中，，所以，則，所以點(diǎn)到面的距離為.故選：C.8.在中，，D為AB的中點(diǎn)，，P為CD上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為D為AB的中點(diǎn)，則，可得，即，解得，又因為P為CD上一點(diǎn)，設(shè)，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.二、選擇題9.某市組織舉辦了信息安全知識競賽.已知某校現(xiàn)有高一學(xué)生1200人、高二學(xué)生1000人、高三學(xué)生1800人，利用分層抽樣的方式隨機(jī)抽取100人參加校內(nèi)選拔賽，賽后前10名學(xué)生成績（滿分100分）為75，78，80，84，84，85，88，92，92，92，則（）A.選拔賽中高一學(xué)生有30人B.選拔賽前10名學(xué)生成績的第60百分位數(shù)為85C.選拔賽前10名學(xué)生成績的平均數(shù)為85D.選拔賽前10名學(xué)生成績的方差為33.2【答案】ACD【解析】選拔賽中高一學(xué)生有人，所以A正確；因為，所以選拔賽前10名學(xué)生成績的第60百分位數(shù)為，所以B錯誤；因為，所以C正確；因為，所以D正確.故選：ACD10.已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點(diǎn)，分別為它的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上的一個動點(diǎn)，且的最大值為，則下列選項正確的是（）A.當(dāng)不與左、右端點(diǎn)重合時，的周長為定值B.當(dāng)時，C.有且僅有4個點(diǎn)，使得為直角三角形D.當(dāng)直線的斜率為1時，直線的斜率為【答案】ABD【解析】對于A：因為，當(dāng)且僅當(dāng)為右頂點(diǎn)時取等號，又因為的最大值為，所以，因為，所以，所以橢圓的方程為，因為的周長為，故A正確；對于B：當(dāng)時，，所以，所以，所以，因為，所以，故B正確；對于C：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，因為，所以，所以的最大值為，所以存在個點(diǎn)，使得，又因為存在個點(diǎn)使，存在個點(diǎn)使，所以存在個點(diǎn)，使得為直角三角形，故C錯誤；對于D：因為，設(shè)，則，所以，所以，因為，所以，故D正確，故選：ABD.11.已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AD，的中點(diǎn)，則（）A.B.過，B，F(xiàn)的截面面積為C.直線BF與AC所成角的余弦值為D.EF與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】對于A，取的中點(diǎn)為，連接,故,由于相交，所以不可能平行，故A錯誤，對于B，取的中點(diǎn)為，連接,則四邊形即為截面，由于,故四邊形為等腰梯形，過作，則,所以,故B正確，對于C，由于，所以即為直線BF與AC所成角或其補(bǔ)角，,所以,故C正確，對于D，由于平面，所以即為與平面所成角,故,故D正確，故選：BCD.12.已知函數(shù)，且對恒成立，則（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.若方程在上有2個實數(shù)解，則D.的圖象與直線恰有5個交點(diǎn)【答案】BCD【解析】對于A，因為對恒成立，所以圖象關(guān)于直線對稱，則，即，解得，故A錯誤；對于B，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C，當(dāng)時，，因為在上有2個實數(shù)解，所以，解得，故C正確；對于D，直線經(jīng)過點(diǎn)與，而與分別是函數(shù)的零點(diǎn)與其圖象的最高點(diǎn)，如圖所示：結(jié)合圖象可知的圖象與直線恰有5個交點(diǎn)，故D正確.故選：BCD．三、填空題13.已知函數(shù)，若，則______．【答案】1【解析】因為，所以，即，故答案為：1.14.已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為16，到軸的距離為10，則_______.【答案】12【解析】由題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義可得，所以.故答案為：12.15.已知直線是圓的對稱軸，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則__________.【答案】【解析】由，得，所以圓的圓心為，半徑為3.因為直線是圓的對稱軸，所以經(jīng)過點(diǎn).由，得，所以的坐標(biāo)為.因為圓的半徑為3，所以.故答案為：.16.如圖，將個整數(shù)放入的宮格中，使得任意一行及任意一列的乘積為2或－2，記將個整數(shù)放入的宮格有種放法，則______，______．【答案】32【解析】根據(jù)題意可以得到，所以得到宮格中的放置共有，根據(jù)正負(fù)號和正負(fù)號共有種情況，則通項公式，則;因此，所以.故答案為：；四、解答題17.記正項數(shù)列的前n項和為，，．①；②；③．從以上三個條件中選擇一個解決下面問題．（1）求的通項公式；（2）若求數(shù)列的前項和．解：（1）選①，，（i），（ii）（i）（ii）得，，，，又，所以數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，則，.選②，由，即，，，又，所以數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，則，.選③，由，則，又，所以數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，即，，，又，，.（2）由（1）得，，.18.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且．（1）求角A；（2）求的取值范圍．解：（1）由三角形面積公式可得：，即，則，即，則，則因為，所以.（2），則，由正弦定理得，，又，則，所以19.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAB．（2）若，求平面AEF與平面PBD夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接分別為的中點(diǎn)，，又分別為的中點(diǎn)，，，因為面，面，面，面，面，面，，面，面，面面，又面，平面PAB．（2）解：設(shè)，，，，，又且面，面，面，連接，因為面，所以，因為為等邊三角形，所以，又因為面，所以平面.如圖，以點(diǎn)為原心，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令則，即，則，令則，即，設(shè)平面AEF與平面PBD夾角為，則，平面AEF與平面PBD夾角的余弦值為.20.某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊，其中高一學(xué)生有8名、高二學(xué)生有7名、高三學(xué)生有5名．（1）若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊中隨機(jī)抽取3人參加一項數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一的概率．（2）現(xiàn)學(xué)校欲對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊成員進(jìn)行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題答對每道題計1分，答錯計0分，后2道題答對每道題計2分，答錯計0分，累積計分不低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員．已知張同學(xué)前2道題每道題答對的概率均為，后2道題每道題答對的概率均為，是否正確回答每道題之間互不影響．記張同學(xué)在本次考核中累積計分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號的概率．解：（1）設(shè)事件A為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一”，則.（2）由題意可知的取值可為，前兩道題答錯的概率為，后兩道題答錯的概率也為，，，，，，，，故X的分布列為：X0123456P數(shù)學(xué)期望為，因為累積計分不低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員，所以張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號的概率為.21.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知定點(diǎn)，定直線，動點(diǎn)P到點(diǎn)F和直線l的距離的比值為，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程．（2）以曲線E上一動點(diǎn)M為切點(diǎn)作E的切線，若直線與直線l交于點(diǎn)N，試探究以線段MN為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)．若過定點(diǎn)．求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請說明理由．（1）解：設(shè)點(diǎn)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，因為定點(diǎn)，定直線l：，動點(diǎn)P到點(diǎn)F和直線l的距離的比值為，可得，化簡得，所以曲線的方程為.（2）解：因為直線與相交，所以的斜率存在，可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得，即且，所以，即，所以，則，所以，聯(lián)立方程組，解得，即，假設(shè)以線段為直徑的圓過軸上一定點(diǎn)，設(shè)為，則，所以恒成立，即，可得，即，整理得，即，即恒成立，要使得恒成立，則，所以恒過定點(diǎn)，即以線段為直徑的圓過軸上一定點(diǎn).22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題可知