遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2025屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2025屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知,,,因此.故選：A.2.命題“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”的否定是“，”．故選：B．3.已知是無窮數(shù)列，，則“對(duì)任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】對(duì)任意的，都有，令，可以得到，因此是公差為的等差數(shù)列；若，則，，，可得，故“對(duì)任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A4.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象故選：A．5.通常用聲強(qiáng)來度量聲音的強(qiáng)弱，假設(shè)講話瞬間發(fā)出聲音的聲強(qiáng)為，則經(jīng)過t秒后這段聲音的聲強(qiáng)變?yōu)椋渲惺且粋€(gè)常數(shù).定義聲音的聲強(qiáng)衰減到原來的所需的時(shí)間為，則約為（）附：，．A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，即，等號(hào)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，即，所以．故選：B．6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，則（）A.48 B.50 C.52 D.54【答案】C【解析】方法一：∵①，∴當(dāng)時(shí)，②，①-②得當(dāng)時(shí)，，∴中奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差均為2．∵，∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．∴．方法二：∵，∴，，∴數(shù)列是以7為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴．故選：C．7.已知函數(shù)，對(duì)任意的都有，且，則下列說法不正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.是上的增函數(shù) D.【答案】C【解析】對(duì)于A，在中，令，得到，因此，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，令，得到，即，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由可化為，，記，則，不妨取函數(shù)，顯然符合條件，則，因，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，得，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，故D正確.故選：C.8.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，即．令，定義域?yàn)?,+∞，，令，易知在0,+∞上單調(diào)遞增，且．令，，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，解得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A得，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以由A得，選項(xiàng)D正確.故選：BD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)，則【答案】AB【解析】由題圖得，，又，所以，選項(xiàng)A正確；即，由，得，，解得，，又，所以，故，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；令，，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則函數(shù)在區(qū)間上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，由，得，若函?shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．11.若定義在R上的函數(shù)，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是周期為4的周期函數(shù)C. D.【答案】ABC【解析】因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以．又，則，即fx+2=-fx，所以，故是周期為4因?yàn)?，所以也是周期?的周期函數(shù)，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，則，則，所以f-x=fx，所以為偶函數(shù)，選項(xiàng)因?yàn)閒x+2=-fx，令，得，即，令，得，即f2+f4故f1+f2由，得，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故ab的最大值為．13.設(shè)集合，．若；則a=________．【答案】2【解析】因?yàn)?，，所以，所以是整?shù)，且，再由集合中元素的互異性知，，．所以a是整數(shù)，且，，，得．當(dāng)時(shí)，，，故，滿足條件．14.已知且時(shí)，不等式恒成立，則正數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【解析】將a視主元，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，恒成立.設(shè)，則，易知單調(diào)遞增，且，①若，即時(shí)，則，所以在單調(diào)遞增，故只需，即，解得；②若，即時(shí)，，即時(shí)，恒成立.綜上，m的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）（1）當(dāng)時(shí)，，，由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），時(shí)，或.①若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，函數(shù)取極小值；②若，當(dāng)或時(shí)，，因此不是函數(shù)的極值點(diǎn)；③若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，函數(shù)取極大值.綜上，a的取值范圍是.16.已知函數(shù)．（1）求曲線的對(duì)稱軸；（2）已知，，求的值．解：（1），，，由，得曲線的對(duì)稱軸為；（2）由題意可得，即，又，則，即，所以，故.17.如圖，已知斜三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让?，?cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，連接，，則，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面ABC，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面ABC．（2）解：側(cè)面是矩形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，因此．在菱形中，，因此是等邊三角形，又是的中點(diǎn)，所以，從而得．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，因此，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為m=x由，得，由，得，令，得，設(shè)平面的法向量為n=x由，得，由，得，令，得，．所以二面角的余弦值為．18.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，且對(duì)于任意，滿足．（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）設(shè)，證明：．（1）解：因?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，，計(jì)算得，由，可得，兩相減可知，整理可得，所以為定值，定值為，所以所以為等差數(shù)列，故．（2）證明:由（1）得，所以，，故因?yàn)?，所以，所以，即?）證明：，因?yàn)椋裕斫猓海?9.對(duì)于數(shù)列，定義：如果函數(shù)使得數(shù)列的前項(xiàng)和小于，則稱數(shù)列是“控制數(shù)列”.（1）設(shè)，證明：存在，使得等差數(shù)列是“控制數(shù)列”；（2）設(shè)，判斷數(shù)列是否為“控制數(shù)列”，并說明理由；（3）仿照上述定義，我們還可以定義：如果存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列的前項(xiàng)積小于，則稱數(shù)列是“特控?cái)?shù)列”.設(shè)，其中，證明：數(shù)列是“特控?cái)?shù)列”.（1）解：不妨設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，前n項(xiàng)和為，則，取，，，則，有，即，即存在，使得等差數(shù)列是“控制數(shù)列”；（2）解：數(shù)列是“控制數(shù)列”，理由如下：令，，當(dāng)時(shí)，，