山東省泰安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意直線，可得斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，其中，可得，所以，即直線的傾斜角為.故選：A.2.在等比數(shù)列中，若，則（）A.6 B.9 C. D.【答案】A【解析】因為，所以（負(fù)值舍去），所以.故選：A3.點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過點的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點為，由，解得：，∴,∴點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，即，故選：C.4.已知直線的方向向量為，則向量在直線上的投影向量坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線l的方向向量為和，可得，則向量直線l上的投影向量的坐標(biāo)為.故選：D.5.已知兩個等差數(shù)列的前項和分別為和，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由都是等差數(shù)列，設(shè)公差分別為，則，，則，故不妨令，所以，.故選：B.6.已知圓，直線，若當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時，直線被圓所截得的弦長的最小值為，則實數(shù)的取值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，圓的圓心為原點，半徑為，直線交軸于點，當(dāng)直線與垂直時，此時，，原點到直線的距離取最大值，即，因為直線被圓所截得弦長的最小值為，即，解得.故選：C.7.已知分別為橢圓的左頂點和左焦點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的點，若直線交線段于，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，設(shè)，又，所以，即，解得，即，又由三點共線得.所以，整理得，所以.故選：B.8.已知直線與曲線恰有三個不同交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】曲線可化為，當(dāng)時，，則，故此時曲線為橢圓的上半部分；當(dāng)時，，則，故此時曲線為雙曲線的上半部分，且漸近線方程為；直線，表示一組斜率為的平行直線，如圖，當(dāng)直線過點2,0時，，解得；當(dāng)直線與橢圓上半部分相切時，由，消化簡得，由，解得，又直線與橢圓上半部分相切，則，故，要使直線與曲線恰有三個不同交點，結(jié)合圖形可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若直線與直線平行，則B.直線傾斜角的范圍為C.當(dāng)時，直線與直線垂直D.直線過定點【答案】BC【解析】選項A，存在斜率，直線方程可化為：，直線也存在斜率，方程可化為，由，則兩直線平行的充要條件為，即解得或，故A錯誤；選項B，由直線的斜率，則傾斜角的范圍為，故B正確；選項C，當(dāng)時，直線，斜率為，又直線的斜率為，則兩直線斜率之積為，故兩直線垂直，C正確；選項D，，令，得，故直線過定點，不過，D錯誤.故選：BC.10.已知曲線（為實數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則該曲線為雙曲線B.若該曲線是橢圓，則C.若該曲線離心率為，則D.若該曲線為焦點在軸上的雙曲線，則離心率【答案】AD【解析】A選項，若，則，則曲線為焦點在軸上的雙曲線，故A正確；B選項，曲線是橢圓等價于，解得且，故B錯誤；C選項，若該曲線離心率為，則曲線為橢圓，由B可知且，當(dāng)時，焦點在軸，，，解得,當(dāng)時，焦點在軸，，，解得,故C錯誤；D選項，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，此時，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選：AD.11.如圖，在正四棱柱中，，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.若為的中點，則直線平面C.異面直線與所成角的正弦值的范圍是D.直線與平面所成角的正弦的最大值為【答案】ACD【解析】對于A選項，在正四棱柱中，，且，所以，四邊形平行四邊形，所以，，因平面，平面，所以，平面，因為，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離，所以，為定值，A對；對于B選項，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、，因為為的中點，則，則，，所以，，所以，與不垂直，故當(dāng)為的中點時，直線與平面不垂直，B錯；對于C選項，，設(shè)，則，，所以，，因為，則，所以，，所以，，因此，異面直線與所成角的正弦值的范圍是，C對；對于D選項，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，此時，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故直線與平面所成角的正弦的最大值為，D對.故選：ACD.12.已知數(shù)列滿足（為正整數(shù)），，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則所有可能取值的集合為C.若，則D.若為正整數(shù)，則的前項和為【答案】BCD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，若，則只能（否則，于是奇數(shù)矛盾），從而（否則，于是奇數(shù)矛盾），進(jìn)而由遞推關(guān)系，故B正確；對于C，，所以從開始數(shù)列呈現(xiàn)周期為3，均能被3整除，所以，故C正確；對于D，，則的前項和為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知為等差數(shù)列的前項和，且滿足，則_____________．【答案】【解析】在等差數(shù)列an中，,∴，解得：.故答案為：.14.已知空間向量的模長分別為1，2，3，且兩兩夾角均為，點為的重心，則_____________．【答案】【解析】空間向量的模長分別為1，2，3，且兩兩夾角均為，如圖，由為的重心，得，于是，即，所以.故答案為：15.已知拋物線，過其焦點且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點（在第一象限），若，則拋物線的方程為_____________．【答案】【解析】拋物線，則焦點，準(zhǔn)線.過點作準(zhǔn)線，垂足為，作軸，垂足為，準(zhǔn)線與軸交點為.由拋物線定義可知，又，在中，，則有，得，解得，故所求拋物線的方程為.故答案為：.16.已知圓,過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為_____________．【答案】4【解析】由題可得：，所以表示，兩點到直線距離之和的倍，根據(jù)題意作出圖形如下：如圖，設(shè)，的中點為，且，，在直線的投影分別為，，，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，易得，即，所以點在以為直徑的圓上，其圓心為，半徑為，由圖可得：由于到直線的距離，所以，即的最小值為.故答案：4四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知遞增等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)an的公差為，成等比數(shù)列，，即，，或，單調(diào)遞增，，（2）由（1）可知，，則，則，．18.如圖，在三棱柱中，平面為的中點，．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離．解：（1）連接交于，連接，側(cè)面為平行四邊形，為的中點，又為的中點，,平面平面，所以平面；（2）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即，取，則，，到平面的距離.19.已知動點到直線的距離比到點的距離大，點的軌跡為曲線，曲線是中心在原點，以為焦點的橢圓，且長軸長為．（1）求曲線、的方程；（2）經(jīng)過點的直線與曲線相交于、兩點，與曲線相交于、兩點，若，求直線的方程．解：（1）由題意知，點到直線的距離等于PF，所以，點的軌跡是以F0,1為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為.因為橢圓的長軸長，F(xiàn)0,1為橢圓的一個焦點，則，，所以，，所以，曲線的方程為.（2）若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，所以，直線的斜率必存在，則直線的方程為由，整理得，則，設(shè)Ax1,則，，所以，，則，由，整理得，則，設(shè)、，則，，所以，，因為，即，可得，解得，所以，直線的方程為.20.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，把按照下圖排列規(guī)律的數(shù)1，5，12，22，…，稱為五邊形數(shù)，記五邊形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為an，數(shù)列bn的前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）由題意可知當(dāng)時，累加得當(dāng)時，滿足上式．,.當(dāng)時，，且，兩式相減得，，即數(shù)列bn是首項為1，公比為的等比數(shù)列（2）①②①-②得21.如圖1，在直角梯形中，分別為的中點，沿將平面折起，使二面角的大小為，如圖2所示，設(shè)分別為的中點，為線段上的動點（不包括端點）．（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求．解：（1）分別為的中點，．平面平面，平面，，是二面角的平面角，．，為等邊三角形，．平面，平面，又平面，.（2）設(shè)中點為，由（1）知兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則即，取，則，設(shè)，，設(shè)與平面所成的角為，則，解得或（舍）.22.已知雙曲線的左焦點，一條漸近線方程為，過做直線與雙曲線左支交于兩點，點，延長與雙曲