山東省棗莊市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省棗莊市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合,，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，得，所以，函數(shù)中，，即，所以，，所以.故選：B2.若是方程的一個(gè)虛數(shù)根，則（）A.0 B.-1 C. D.-1或【答案】A【解析】方程化為：，依題意，或，顯然，又，即，所以.故選：A3.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且所在直線的斜率之積等于，則（）A.當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，并除去兩點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，并除去兩點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，并除去兩點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，并除去兩點(diǎn)【答案】C【解析】由題意不妨設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，并除去兩點(diǎn)，故AB錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，并除去兩點(diǎn)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由題意圓是以為圓心1為半徑的圓；即是以為圓心3為半徑的圓；圓心距滿足，所以兩圓相離，所以兩圓的公切線條數(shù)為4.故選：D.5.已知，則的零點(diǎn)之和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，所以，即，所以或，解得：或，因?yàn)?，所以，或，所以的零點(diǎn)之和為，故選：C.6.翼云機(jī)場(chǎng)將于2025年通航，初期將開通向北至沈陽?哈爾濱；向南至昆明?深圳；向西至蘭州?銀川的六條航線.甲?乙?丙?丁?戊?已6人各選擇一條不同航線體驗(yàn).已知甲不去沈陽?哈爾濱，乙和丙乘坐同一方向的航班.則不同的體驗(yàn)方案有（）A.56種 B.72種 C.96種 D.144種【答案】C【解析】由題意，共6個(gè)城市，3個(gè)方向，甲不去沈陽?哈爾濱，有種方案，乙和丙乘坐同一方向的航班，有種方案，剩余3人有種方案，故不同的體驗(yàn)方案有：，故選：C.7.已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為1和3，高為2.用一個(gè)平行于底面的截面截棱臺(tái)，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】延長(zhǎng)正四棱臺(tái)的棱交于點(diǎn)，如圖所示，截面平行于底面設(shè)上底面的面積為，下底面的面積為，截面的面積為，正四棱臺(tái)的體積為，平行于底面的截面截棱臺(tái)，截得的上部分幾何體體積為，則，上底面的中心為，下底面的中心為，連結(jié)，則上底面，下底面，正四棱臺(tái)高為，設(shè)截面與上底面的距離為，正方形的邊長(zhǎng)為，，，由得，，由得，，又，所以，同理可得，得，所以，①又因?yàn)?，②由①②得，，，所以截面與上底面的距離為.故選：D.8.斜率為的直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，且與橢圓，在第一象限交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為E，由，，兩式相減可得，即，又由，，則，設(shè)直線的方程為，（），可得，，又，所以線段AB的中點(diǎn)為E也就是線段MN的中點(diǎn)，得，所以，所以，即，得，故選：A二?多選題9.一組數(shù)據(jù)滿足，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù).則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（）A.極差變小 B.平均數(shù)變大 C.方差變小 D.第25百分位數(shù)變小【答案】AC【解析】由于，故，，……，，，A選項(xiàng)，原來的極差為，去掉后，極差為，極差變小，A正確；B選項(xiàng)，原來的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，C正確；D選項(xiàng)，，從小到大排列，選第3個(gè)數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，，故從小到大排列，選擇第3個(gè)數(shù)作為第25百分位數(shù)，即，由于，第25百分位數(shù)變大，D錯(cuò)誤.故選：AC10.設(shè)，，則（）A.B.C.若，則D.在上的投影向量為【答案】BCD【解析】因?yàn)椋海?，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，故B正確；因?yàn)?，故C正確；因?yàn)椋海?，故D正確.故選：BCD11.如圖，在正三棱柱中，是棱上任一點(diǎn)，則（）A.正三棱柱的表面積為B.三棱錐的體積為C.周長(zhǎng)的最小值為D.三棱錐外接球的表面積最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A,正三棱柱中，，所以正三棱柱的表面積為，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)作,交于,則為中點(diǎn)，依題可知平面平面,且平面平面,又平面，則平面，則為點(diǎn)到平面的距離，正三角形中，可求得,又因?yàn)槭抢馍先我稽c(diǎn),且平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，則，故B正確；對(duì)于C，由側(cè)面展開圖所示，周長(zhǎng),所以其最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,依題知，三棱錐外接球與四棱錐重合，半徑設(shè)為,球心設(shè)為,為的中點(diǎn)，則,且平面,所以當(dāng)與球外切時(shí)，球的半徑最小，此時(shí)，點(diǎn)位于的中點(diǎn)，如圖所示:,則,解得，表面積為,故D正確，故選:ABD.12.已知定義在上的連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】A項(xiàng)，在中，，函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，故A正確；B項(xiàng)，令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，B正確；C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則在取得最小值為1，所以不存在，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，令，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，則，所以，，令，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，所以，，所以與的差大于與的差，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，D正確；故選：ABD.三?填空題13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【解析】由題意，在中，，當(dāng)時(shí)，，∴在點(diǎn)處的切線方程為：，即：，故答案為：.14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，即，所?所以.故答案為：.15.已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為為底面直徑，，點(diǎn)為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，__________.【答案】【解析】設(shè)，則的面積要使的面積取得最大值，則，所以，在中由余弦定理可得：，所以,易得,在中，,所以.故答案為：.16.為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過上的動(dòng)點(diǎn)（不為原點(diǎn)）作的切線，作于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意得，設(shè)，，設(shè)切線方程為，聯(lián)立得，，由得，，則直線的斜率為，直線的方程為，直線的方程為，即，聯(lián)立與得，其中當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，則，由于，則，將代入中得，，整理可得，即，故點(diǎn)的軌跡方程為，且，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓（去掉兩個(gè)點(diǎn)），連接，則為的最大值，為的最小值，最大值，最小值為，且由對(duì)稱性可得，兩點(diǎn)與的距離等于到的距離相等，綜上，的取值范圍為.故答案為：四?解答題17.已知數(shù)列中，.（1）求；（2）設(shè)，求證：.（1）解：由題意，得，故為常數(shù)列.，故.（2）證明：故18.如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若底面為矩形，，異面直線與所成角的余弦值為，求到平面的距離.（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）解：由題意（1）及幾何知識(shí)得，在直四棱柱中，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，.設(shè)異面直線與所成角為，則，解得：，故，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，到平面的距離為.所以即取，得.所以，即到平面的距離為.19.現(xiàn)有甲，乙兩個(gè)訓(xùn)練場(chǎng)地可供某滑雪運(yùn)動(dòng)員選擇使用.已知該運(yùn)動(dòng)員選擇甲，乙場(chǎng)地的規(guī)律是：第一次隨機(jī)選擇一個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行訓(xùn)練.若前一次選擇甲場(chǎng)地，那么下次選擇甲場(chǎng)地的概率為；若前一次選擇乙場(chǎng)地，那么下次選擇甲場(chǎng)地的概率為.（1）設(shè)該運(yùn)動(dòng)員前兩次訓(xùn)練選擇甲場(chǎng)地次數(shù)為，求；（2）若該運(yùn)動(dòng)員第二次訓(xùn)練選了甲場(chǎng)地，試分析該運(yùn)動(dòng)員第一次去哪個(gè)場(chǎng)地的可能性更大，并說明理由.解：（1）設(shè)“第次去甲場(chǎng)地訓(xùn)練”，“第次去乙場(chǎng)地訓(xùn)練”，.則與對(duì)立，.依題意，..所以.（2）第一次選擇甲場(chǎng)地的概率更大.理由如下：所以，.因?yàn)?，所以該運(yùn)動(dòng)員第一次選擇甲場(chǎng)地的可能性更大.20.在中，角所對(duì)的邊分別為.若.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋淼?，所以，由正弦定理得：，因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，且，所以，解法，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?解法，因?yàn)?，所以，得，所以，即的取值范圍?21.已知函數(shù).（1）若是增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意.因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，只須，無解.②當(dāng)時(shí)，只須，解得：，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)為，所以在上有兩個(gè)不同的根，此時(shí)方程在上有兩個(gè)不同的根.則，且，解得.若不等式恒成立，則恒成立.因?yàn)樵O(shè).則，因?yàn)?，所以，所以在上遞減，所以，所以，即