直線相關與回歸課件

直線相關與回歸2024/12/24直線相關與回歸兩變量關聯性分析

2024/12/24直線相關與回歸一、線性相關（LinearCorrelation

）（一）概念及其統計描述1、散點圖（scatterplot）為了確定相關變量之間的關系，首先收集一些數據，這些數據應該是成對的。例如，每人的身高和體重。然后在直角坐標系上描述這些點，這一組點集稱為散點圖。兩變量關聯性分析

2024/12/24直線相關與回歸為了研究父親與成年兒子身高之間的關系，卡爾.皮爾遜測量了1078對父子的身高。把1078對數字表示在坐標上，如圖。用水平軸X上的數代表父親身高，垂直軸Y上的數代表兒子的身高，1078個點所形成的圖形是一個散點圖。它的形狀象一塊橄欖狀的云，中間的點密集，邊沿的點稀少，其主要部分是一個橢圓。

2024/12/24直線相關與回歸相關的類型

★正相關★負相關★完全正相關★完全負相關★零相關

2024/12/24直線相關與回歸2、相關系數（correlationcoefficient

）1）定義：說明兩變量之間關聯的密切程度（絕對值大?。┡c關聯的性質（正負號），又稱Pearson積差相關系數。2）符號：總體相關系數——

樣本相關系數——r2024/12/24直線相關與回歸3）計算公式-1≤r≤1?r?≈0——線性相關性差；?r?≈1——線性相關性好。2024/12/24直線相關與回歸4）計算過程：例：一個產科醫(yī)師發(fā)現孕婦尿中雌三醇含量與產兒的體重有關。于是設想，通過測量待產婦尿中雌三醇含量，可以預測產兒體重，以便對低出生體重進行預防。因此收集了31例待產婦24小時的尿，測量其中的雌三醇含量，同時記錄產兒的體重，見下表。問尿中雌三醇含量與產兒體重之間相關系數是多少？是正相關還是負相關？2024/12/24直線相關與回歸編號

（1）尿雌三醇mg/24h（2）產兒體重kg（3）編號

（1）尿雌三醇mg/24h（2）產兒體重kg（3）172.517173.2292.518253.2392.519273.44122.720153.45142.721153.46162.722153.57162.423163.58143.024193.49163.025183.510163.126173.611173.027183.712193.128203.813213.029224.014242.830253.915153.231244.316163.2

2024/12/24直線相關與回歸X（尿雌三醇）Y（產兒體重）X?YX2Y279912…

…2.52.52.52.7…

…XY(X?Y)

X2

Y2XY計算表：2024/12/24直線相關與回歸

∑X=534，∑Y=99.2，

∑X2=9876，∑Y2=324.8，∑XY=1750

從計算結果可以知道，31例待產婦尿中雌三醇含量與產兒體重之間程正相關，相關系數是0.61。2024/12/24直線相關與回歸（二）相關系數的統計推斷1、原因：

=0抽樣誤差的存在

r≠02、前提條件：兩個變量均服從（或近似服從）正態(tài)分布的定量資料。2024/12/24直線相關與回歸3、假設檢驗：

①直接查表②

t檢驗H0=0(兩者之間無線性相關)H1

≠0(兩者之間有線性相關)檢驗統計量rt

=n-2

2024/12/24直線相關與回歸（三）應用線性相關應注意的問題1、r≈0不意味兩變量間一定無相關性，只能說無直線相關，可能有曲線性；2、兩變量應均為隨機樣本才可作相關分析；3、注意異常值；4、相關未必有內在聯系；5、分層資料盲目合并易出假象。2024/12/24直線相關與回歸二、秩相關（RankCorrelation

）（一）概念及統計描述1、應用條件：當兩變量不服從正態(tài)分布，或總體分布未知時，利用兩變量的秩次大小做線性相關分析，屬非參數統計方法。2024/12/24直線相關與回歸2、性質：秩相關又叫等級相關，其中最常用的是Spearman秩相關。3、Spearman秩相關系數、等級相關系數（rs）：說明兩個非正態(tài)分布或分布類型未知的變量間相關的密集程度和相關方向。2024/12/24直線相關與回歸4、rs計算過程：1）將x、y分別從小到大排秩，x秩次為p，y秩次為q，觀察值相同的取平均秩次；2）以p、q分別替換x、y計算相關系數rs，rs=lpq/lpp?lqq2024/12/24直線相關與回歸xpp2yqq2p?qpp2q

q2(p?q)計算表2024/12/24直線相關與回歸（二）假設檢驗H0：s=0，兩者之間無線性相關H1：s≠0，兩者之間有線性相關

=0.05①當n≤50，直接以rs查rs臨界值表，若rs

>rs，

，則P<

；②n>50，做t檢驗，計算t值，查t界值表，得P值，做出推論。2024/12/24直線相關與回歸三、分類變量的關聯性分析（一）交叉分類2X2表的關聯性分析例：一份隨機樣本（82例患兒）同時按兩個屬性（是否腹瀉、喂養(yǎng)方式）分類，結果見下表喂養(yǎng)方式腹瀉有無人工30（a）10（b）母乳17（c）25（d）2024/12/24直線相關與回歸1、目的：檢驗兩個屬性之間有無關聯。2、基本步驟：H0：兩屬性之間互相獨立（無關聯）H1：兩屬性之間有關聯

=0.05χ

2=(ad-bc)2

?n(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=1

確定P值，做出推論。2024/12/24直線相關與回歸3、Pearson列聯系數1）定義：說明兩個分類變量關聯的程度大小，用r表示。2）計算公式：r=χ

2/（χ

2+n

）0<r<13）假設檢驗：可做

=0的t檢驗，t值的計算公式與前相同；與χ

2檢驗等價（即目的相同）。2024/12/24直線相關與回歸4、比較：從以下幾個方面與一般四格表χ

2檢驗相比較：1）設計類型不同；2）目的不同；3）χ

2計算公式相同；4）結果解釋不同。2024/12/24直線相關與回歸（二）2X2配對資料的關聯性分析1、資料形式：一組觀察對象，分別用兩種處理方法進行觀察，觀察結果皆為相同的兩個分類，形成雙向交叉排列的資料形式。甲乙+–+ab–cd2024/12/24直線相關與回歸2、目的：檢驗兩個處理方法的結果之間有無關聯。3、步驟：H0：兩個處理方法的結果之間互相獨立（無關聯）H1：兩個處理方法的結果之間有關聯

=0.05χ

2=(ad-bc)2

?n(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=1

確定P值，做出推論。也可計算列聯系數，公式同前。2024/12/24直線相關與回歸4、比較與2X2配對資料的χ

2檢驗相比較：1）設計類型相同；2）目的不同；3）χ

2計算公式不同；4）結果解釋不同。2024/12/24直線相關與回歸（三）RXC表分類資料的關聯性分析1、資料形式：一組觀察對象按兩種屬性分類，一個屬性分成R類，另一個屬性分成C類，形成交叉排列的結果。如下表。ⅠⅡ1234甲乙丙2024/12/24直線相關與回歸2、目的：檢驗兩屬性之間有無關聯。3、步驟：H0：Ⅰ與Ⅱ無關，H1：Ⅰ與Ⅱ有關，=0.05χ

2

=n?[

（A2/nR?nC）

–1]=（R-1）x（C-1）

χ

2與χ

20.05，

比較，得P值，做出推論。同時也可以計算列聯系數（略）。2024/12/24直線相關與回歸4、比較與完全隨機設計的多組樣本χ2檢驗比較：1）設計類型不同；2）目的不同；3）χ2計算公式相同。2024/12/24直線相關與回歸直線回歸2024/12/24直線相關與回歸一個自變量X（independentvariable）一個應變量Y（dependentvariable）分析X與Y之間的數量依存變化關系，用函數關系式表達。直線回歸2024/12/24直線相關與回歸一、概念及統計描述1、概念：以自變量X為橫軸，以應變量Y為縱軸，做散點圖。2024/12/24直線相關與回歸兩個變量之間有直線相關關系，并且一個變量的變化會引起另一個變量的變化，這時，如果它們之間存在嚴格的函數關系，那么它們的變化可用函數方程來表示。但在實際生活當中，由于其它因素的干擾，許多雙變量之間的關系并不是嚴格的函數關系，不能用函數方程反映，為了區(qū)別于兩變量間的函數方程，我們稱這種關系式為直線回歸方程，這種關系為直線回歸。2024/12/24直線相關與回歸2、統計描述1）直線回歸方程：

?=a+b?xa：截距，即X=0時的y值；

b：樣本的回歸系數。2024/12/24直線相關與回歸b的統計學意義為：X變化1個單位，Y平均改變b個單位。b=0——說明X與Y之間無直線關系；b>0——說明Y隨著X的增加而增大；b<0——說明Y隨著X的增加而減小。2024/12/24直線相關與回歸2）回歸線：以回歸方程作圖，把X的兩個值代入方程，x1→

?1，x2→

?2，兩點決定一條直線。直線通過兩個特殊點：（0，a）、（

X，Y）2024/12/24直線相關與回歸二、回歸模型的前提假設（LINE）1、線性（linear）：x與y之間呈線性關系；2、獨立（independent）：各觀察值之間互相獨立；3、正態(tài)性（normal）：x、y均服從正態(tài)分布；4、方差齊性（equal）：不論x取任何值，y都具有相同的方差。2024/12/24直線相關與回歸2024/12/24直線相關與回歸三、回歸參數的估計1、最小二乘法原則：每個散點到回歸線上的縱向距離平方和最小。2、估計方法（計算過程）——計算a、b。2024/12/24直線相關與回歸四、y的總變異的分解：YXyxyy=y+（y-?

）+（?-y）?=a+b*x2024/12/24直線相關與回歸y=y+（y-?

）+（?-y）y-y=（y-?

）+（?-y）Σ（y-y）2=Σ（y-?

）2+Σ（?-y）2SS總=SS剩余

+SS回歸

ν總=ν剩

+ν回ν總=n-1，ν回=1，ν剩

=n-22024/12/24直線相關與回歸SS回反映的是，在Y的總變異中可以由自變量X來解釋的部分；SS剩反映的是隨機誤差的部分。（y-?

）稱為殘差。2024/12/24直線相關與回歸五、總體回歸系數β的統計推斷1、Sb：描述一組樣本回歸系數b的離散程度，稱為回歸系數的標準誤。2024/12/24直線相關與回歸2、Sy.x

Sy.x=SS剩/（n-2）

SS剩=

（y

-

?）2Sy.x為剩余標準差；ss剩為剩余平方和，反映散點圍繞回歸直線的分散程度。2024/12/24直線相關與回歸3、β的假設檢驗1）原因：

β=0

抽樣誤差的存在

b≠02024/12/24直線相關與回歸2）t檢驗：H0：β=0，兩者之間無直線關系H1：β

≠0，兩者之間有直線關系=0.05t