2023-2024學年新教材高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末復(fù)習課

章末復(fù)習課要點訓(xùn)練一指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)的定義域、值域指數(shù)型函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)的定義域主要通過構(gòu)建不等式(組)來求解,有時解不等式(組)時要借助于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.涉及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域問題有兩個類型,一是形如y=af(x)和y=logaf(x)的函數(shù),一般要先求f(x)的值域,然后利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性求解;二是形如y=f(ax)和y=f(logax)的函數(shù),一般要根據(jù)ax和logax的范圍,利用函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)求解.1.(全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是 ()A.y=x B.y=lgxC.y=2x D.y=1解析:函數(shù)y=10lgx的定義域、值域均為(0,+∞),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除選項A,C;y=lgx的值域為R,排除選項B,故選D.答案:D2.若函數(shù)f(x)=2x-1-2,x≤1,-log2(A.74 B.C.34 D.解析:當a≤1時,f(a)=2a12=3,即2a1=1,不成立,舍去;當a>1時,f(a)=log2(a+1)=3,即log2(a+1)=3,所以a+1=23=8,所以a=7,此時f(6a)=f(1)=222=74故選A.答案:A3.(江蘇高考)函數(shù)f(x)=log2x-1解析:由題意,知log2x1≥0,即log2x≥log22,解得x≥2,即函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≥2}.4.若函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定義域和值域都是[1,0],則a+b=32解析:①當a>1時,f(x)在區(qū)間[1,0]上單調(diào)遞增,則a-1②當0<a<1時,f(x)在區(qū)間[1,0]上單調(diào)遞減,則a-1+b=05.函數(shù)y=(12)

x2-2x+2(0≤解析:令t=x22x+2,則y=(12)t因為t=x22x+2=(x1)2+1(0≤x≤3),所以當x=1時,tmin=1;當x=3時,tmax=5.因此1≤t≤5,所以(12)5≤y≤(12)1,因此所求函數(shù)的值域為[132,要點訓(xùn)練二指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性(區(qū)間)1.奇偶性利用f(x)=f(x)或f(x)=f(x)判斷奇偶性或求參數(shù)的值,判斷奇偶性時注意考慮函數(shù)的定義域.2.單調(diào)性(區(qū)間)形如y=af(x)或y=logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)性要先求定義域,再根據(jù)y=au,y=logau和u=f(x)的單調(diào)性來確定,其單調(diào)性遵循“同增異減”的規(guī)律.1.若函數(shù)f(x)=2x+12x-a是奇函數(shù),則使f(xA.(∞,1) B.(1,0)C.(0,1) D.(1,+∞)解析:由題意,知f(x)=f(x),即2-x+12-x-a=2x+12x-a,即2x+11-a所以1<2x<2,解得0<x<1.故選C.答案:C2.函數(shù)f(x)=log12(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (A.(0,+∞) B.(∞,0)C.(2,+∞) D.(∞,2)解析:由x24>0,得x>2或x<2,即函數(shù)f(x)的定義域為(∞,2)∪(2,+∞).設(shè)u=x24,則u在區(qū)間(∞,2)上是減函數(shù),在區(qū)間(2,+∞)上是增函數(shù).又因為y=log12u在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)=log12(x2答案:D3.若函數(shù)f(x)=ln(x+a+x2)為奇函數(shù),則解析:由題意,知f(x)+f(x)=0,即ln(x+a+x2)+ln(x+a+x2)=ln(a+x2x解得a=1.要點訓(xùn)練三函數(shù)的零點與方程的解(1)方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點?函數(shù)y=f(x)有零點,在解決函數(shù)與方程問題時,要注意三者之間的關(guān)系,在解題中要充分利用這個關(guān)系實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,同時還要注意使用函數(shù)的性質(zhì),如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.(2)確定函數(shù)零點的個數(shù)或函數(shù)零點所在區(qū)間的兩個基本方法:①利用零點存在定理;②數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題.1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點的是 ()A.y=lnx B.y=x2+1C.y=x3x D.y=e|x|e解析:選項A,y=lnx的定義域為(0,+∞),故y=lnx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);選項B,y=x2+1是偶函數(shù),但x2+1=0無實根,即不存在零點;選項C,y=x3x是奇函數(shù);選項D,y=e|x|e是偶函數(shù),由e|x|e=0,得|x|=1,所以x=±1,存在兩個零點.故選D.答案:D2.函數(shù)f(x)=πx+log2x的零點所在區(qū)間為 ()A.(0,18) B.(18,C.(14,12) D.(解析:易知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因為f(18)=π83<0,f(14)=π42<0,f(12)=π21>0,f(1)=π>0,所以f(14)·f(12)<答案:C3.(2023年新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(xa)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是()A.(∞,2] B.[2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)解析:設(shè)t=x(xa)=x2ax,對稱軸為直線x=a2因為f(t)=2t是增函數(shù),所以要使f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則t=x2ax在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,即a2≥1,即a故實數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).答案:D4.函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|1的零點個數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.4解析:函數(shù)的定義域為{x|x>0}.易知函數(shù)f(x)=2x·|log0.5x|1(x>0)的零點個數(shù)?方程|log0.5x|=12x=(12)x(x>0)的根的個數(shù)?函數(shù)y1=|log0.5x|(x>0)與y2=(12)x(x>答案:B5.函數(shù)f(x)=x2-2解析:當x≤0時,由x22=0,得x=2;當x>0時,f(x)=2x6+lnx在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù),且f(2)=ln22<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上有且只有一個零點.綜上,可知f(x)的零點個數(shù)為2.要點訓(xùn)練四比較大小的方法1.冪值的大小比較(1)對于底數(shù)相同、指數(shù)不同的兩個冪,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.(2)對于底數(shù)不同、指數(shù)相同的兩個冪,可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.(3)對于底數(shù)不同、指數(shù)也不同的冪,則應(yīng)通過中間值(如0,1,1等)來比較大小.(4)對于三個或三個以上的冪的大小比較,則應(yīng)先根據(jù)值的大小(特別是與0,1比較)進行分組,再在各組中比較數(shù)的大小,最后綜合在一起.2.對數(shù)值的大小比較(1)底數(shù)相同的對數(shù)的大小比較,可利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解.(2)底數(shù)不同、真數(shù)相同的對數(shù)的大小比較,可取倒數(shù),也可以使用圖象比較大小.(3)底數(shù)、真數(shù)都不同的對數(shù)的大小比較,能化為同底的化成同底再比較大小,不能化成同底的則借助中間值比較大小.3.冪值、對數(shù)值混合(三個)的大小比較先區(qū)分各數(shù)值的正、負,再區(qū)分是大于1還是小于1,最后分類比較.1.若a=log27,b=log38,c=0.30.2,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.c<b<a B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b解析:由log27>log24=2,知a>2.由log33<log38<log39,知1<b<2.由0.30.2<0.30=1,知c<1.所以c<b<a.答案:A2.若a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則 ()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a解析:由log20.2<log21=0,知a<0,由20.2>20=1,知b>1.由0<0.20.3<0.20=1,知0<c<1.所以a<c<b.答案:B3.若a=log37,b=21.1,c=0.83.1,則 ()A.b<a<c B.c<a<bC.c<b<a D.a<c<b解析:由log33<log37<log39,知1<log37<2,所以1<a<2.由21.1>21,知b>2,由0.83.1<0.80=1,知c<1.所以c<a<b.答案:B要點訓(xùn)練五建模思想(1)解決函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于理解題意,并準確建立數(shù)學模型.因此,一方面要加強對常見函數(shù)模型的理解,弄清其產(chǎn)生的實際背景,把數(shù)學問題生活化;另一方面,要不斷拓寬自己的知識面,提高生活閱歷,培養(yǎng)實際問題數(shù)學化的意識和能力.常見的解決方法:①關(guān)系分析法:通過尋找實際問題中的關(guān)鍵詞和關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系來建立函數(shù)模型.②列表分析法:通過列表的方法探求函數(shù)模型.③圖象分析法:通過對圖象中的數(shù)量關(guān)系進行分析來建立函數(shù)模型.(2)對于只是給出幾組對應(yīng)值,而變量關(guān)系不確定的應(yīng)用題,求解函數(shù)模型的一般步驟如下:①作散點圖;②選擇函數(shù)模型;③用待定系數(shù)法求函數(shù)模型;④檢驗,若符合實際,則可用此函數(shù)模型解決問題,否則重復(fù)步驟②~④.1.已知某種放射性物質(zhì)經(jīng)過100年剩余質(zhì)量是原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的這種物質(zhì),經(jīng)過x年后剩余質(zhì)量為y,則x,y之間的函數(shù)解析式是 ()A.y=0.9576100x B.y=0.9576C.y=0.9576100xD.y=10.0424解析:設(shè)質(zhì)量為1的這種物質(zhì)1年后剩余質(zhì)量為a,則有a100=0.9576,所以a=0.95761所以y=ax=0.9576x答案:B2.若某工廠的產(chǎn)值月平均增長率為p,則年平均增長率是 ()A.(1+p)11 B.(1+p)12C.(1+p)111 D.(1+p)121解析:設(shè)第一年的第一個月的產(chǎn)值為a,則第一年的產(chǎn)值M=a+a(1+p)+a(1+p)2+…+a(1+p)11,第二年的產(chǎn)值N=a(1+p)12+a(1+p)13+…+a(1+p)23=M(1+p)12.所以年平均增長率為N-MM=(1+p)答案:D3.某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求,此種溶液的雜質(zhì)含量不能超過0.1%.若初始含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)減少13,則至少應(yīng)該過濾8次才能達到市場要求(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)解析:設(shè)應(yīng)該過濾n次,則2%(113)n≤0.1%,則n≥-lg2-1lg2-lg3≈74.為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響,在山上建立了一個觀察站.測量最大積雪深度xcm與當年灌溉面積yhm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料,如下表所示.年序最大積雪深度x/cm灌溉面積y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描點畫出灌溉面積yhm2隨積雪深度xcm變化的圖象;(2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x),并畫出圖象;(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型,若今年最大積雪深度為25cm,請估計可以灌溉的土地面積是多少.答案:(1)描點作圖,如圖甲:(2)從圖甲中可以看到,數(shù)據(jù)點大致落在一條直線附近,由此,我們假設(shè)灌溉面積y和最大積雪深