2024（人教版）數(shù)學(xué)九年級下冊 第27章 相似 知識清單+練習(xí)（學(xué)生版+解析版）

第二十七章相似（知識清單）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.加深了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段，認(rèn)識圖形的相似、位似等概念和性質(zhì)；

2.理解相似圖形的性質(zhì)與判定、位似的性質(zhì)與把一個(gè)圖形放大或縮小，在同一坐標(biāo)系下感受位似變換后點(diǎn)的

坐標(biāo)的變化規(guī)律.

重點(diǎn)：

1.利用相似三角形的知識解決實(shí)際的問題：

2.位似的應(yīng)用及在平面直角坐標(biāo)系中作位似圖形.

難點(diǎn)：

把實(shí)際問題抽象為相似三角形、位似形這一數(shù)學(xué)模型并求解.

二、學(xué)習(xí)過程

章節(jié)介紹

中學(xué)階段重點(diǎn)研究的兩個(gè)平面圖形間的關(guān)系是全等和相似，全等是一種特殊的相似.本章將在前面對全

等形研究的基礎(chǔ)上，借鑒全等三角形研究的基本套路對相似圖形進(jìn)行研究.本章研究的主要問題是相似圖形

的定義、性質(zhì)和判定方法，研究的主要載體是三角形.此外，教科書在前面的章節(jié)中介紹了平移、軸對稱和

旋轉(zhuǎn)三種圖形的全等變換，木章將介紹一種新的圖形變換-位似.

線段的比及成比例線段、、//T平行線分線段成比例

定義

二（'3'對應(yīng)線段的比等于相似比

性質(zhì)與判定,相坤多_____

相似比］1邊設(shè)-相似性質(zhì)--------------------------

-----［面積的比等于相似比的平方

定義/%以_平行線截得三魚形與原三曲形相似

y三角形---------------------------------

佟膨的放大與縮小,圖形的J〔判定三邊成比例

位似變換與坐標(biāo)變化］［位似「

判定定理佃邊成叱例且夾ffi相等

.兩—

知識梳理

I.相似圖形的概念：數(shù)學(xué)上，我們把具有；_____________的圖形稱為相似形.

2.相似多邊形的概念：如果兩個(gè)_________.相同的多邊形____________相等、________________的兩個(gè)多邊

形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的一_________、對應(yīng)邊________________.

4.相似比的概念：相似多邊形叫做相似比.

5.比例線段的概念：對于四條線段a.b,c,d,如果其中相等，如

（即），我們就稱四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

6.相似三角形的概念：在AABC和△A4TC中，如果NA二,ZB=,ZC=,且___=

==k,即三角分別、三邊____________,我們就說^ABC和^ABC相似，為相

似比.

7.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的成比例.簡稱：平行線分線

段成比例.

8.平行線分線段成比例推論：平行十（或）,所得的對應(yīng)線

段成比例.

9.相似三角形判定定理3：三邊_________的兩個(gè)三角形相似.

10.相似三角形判定定理4：兩邊_____________且___________________的兩個(gè)三角形相似.

11.三角形相似判定定理5：兩角分別的兩個(gè)三角形相似.

12.直角三角形相似判定定理1：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一

條直角邊對應(yīng)____________,那么這兩個(gè)直角三角形相似.

13.相似三角形的性質(zhì)：

對應(yīng)角_______、對應(yīng)邊

對應(yīng)—的比等于相似比

對應(yīng)的比等于相似比相似三角形的比等于相似比

相似三角形的性質(zhì)一

對應(yīng)_____的比等于相似比

對應(yīng)的比等于相似比

對應(yīng)面積的比等于

14利用三角形相似解決實(shí)際問題的一般步驟：

（1）根據(jù)題意畫出_________

（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的

（3）利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系，求出

（4）寫出___________

15.位似圖形的概念：

如果兩個(gè)圖形的都經(jīng)過同一點(diǎn)，且這點(diǎn)與對應(yīng)頂點(diǎn)所連線段，那么這兩

個(gè)圖形叫做位似圖形.

16.位似圖形的性質(zhì)：

1）位似圖形是一種特殊的圖形，它具有圖形的所有性質(zhì)，即相

等，相等.

2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于.（位似圖形的相似比也叫做

_____________________）

3）對應(yīng)線段或者.

17.杷一個(gè)圖形按一定大小比例放大或縮小后，點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比（新圖與原圖的相似比）為k,那么

位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于，則圖象上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

考點(diǎn)解讀

考查題型一判斷相似圖形

I.下列圖形，一定相似的是（）

A.兩個(gè)直角三角形B.兩個(gè)等腰三角形

C.兩個(gè)等邊三角形D.兩個(gè)菱形

2.如圖是世界休閑博覽會(huì)吉祥物"晶晶”.右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”經(jīng)下列哪個(gè)變換得到的（）

A.平移變換B.旋轉(zhuǎn)變換C.軸對稱變換D.相似變換

3.觀察下列圖形，這四組形狀各異的圖形中，是相似圖形的有（）

A.1組B.2組C.3mD.4組

考查題型二由平行判定成比例線段

A

A潟B-IC-ID.§

3.如圖，4。是△ABC的中線，點(diǎn)￡?花4。上，AD=4DE,連接房并延長交力C于點(diǎn)F,則■：”的值是（）

4.如圖，在△A8C中，AB=8C,點(diǎn)。為力B的中點(diǎn)，DE//BC交AC于點(diǎn)E,連接晅，若=13,AC=20,

則跖的長為（）

考查題型四證明兩個(gè)三角形相似

1.如圖，在RtA/WC中，CO是斜邊A8上的高.

2.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別在8C,AB上，且NADE=60。.求證：4ADCsN）EB.

3.已知：如圖，點(diǎn)。在三角形A8c的AN上，。E交AC于點(diǎn)E/4DE=點(diǎn)尸在A。上，且4。2=力尸?..求

iiE：

A

(碟考

(2)hAEF^^ACD.

4.如圖，△ABC是等邊三角形,0、E在8C所在的直線上，^ABAC=BD-CE.求證：△AB0~AES.

5.如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，AB=8,BC=10.

(2)求線段EF的長度.

考查題型五補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似

1.如圖，D是△48C邊48上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件后，仍無法判定△ACD?△4BC的是(

A?乙ACD=LBB.乙ADCFCBC.與嚏D.AC2=ADAB

2.如圖，要使△4C0ABC,需要具備的條件是()

C.AC2=AD-ABD.CD2=AD-BD

3.如圖，如果乙B4D=NC4E,那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定△48C~△力DE的是（）

C.ABBC=ADDED.AB-AE=AD?AC

考查題型六相似三角形與動(dòng)點(diǎn)問題

1.如圖所示，LC=90°,BC=￡cm,cosA=3：5,點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿8C向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)

Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C4向點(diǎn)A以lcm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，過多少秒時(shí)，以C、P、Q為

頂點(diǎn)的三角形恰與△48。相似？

2.如圖，RtA/lBC中，ZC=90c,AC=3,^C=4.點(diǎn)?從點(diǎn)。出發(fā)沿折線。力一43以每秒1個(gè)單位長

的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC-CA-以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,

Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是/秒（t>0）.

發(fā)現(xiàn)：

(DAB=

(2)當(dāng)點(diǎn)P,。相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在哪條邊上？并求出此時(shí)4P的長.

探究：

(3)當(dāng)t=1時(shí)，△PQC的面積為:

(4)點(diǎn)P,Q分別在AC,8C上時(shí)，△PQC的面積能否是△48C面積的一半？若能，求出/的值；若不能，請

說明理由.

拓展:

(5)當(dāng)PQII8c時(shí)，求出此時(shí)/的值.

3.如圖，在七ZMBC中，NACB=90。，AC=8,8c=6,CQ_LA8于點(diǎn)。，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿線段。。

向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

(1)求線段CD的長；

(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與：之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出在變量的取值范圍;

(3)當(dāng)/為何值時(shí)，△CPQ與仆CAD相似？請直接寫出i的值.

考查題型七相似三角形與存在性問題

1.如圖，在矩形A8C7)中，A8=3cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)M以lcm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿A8向點(diǎn)8運(yùn)

動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N以2cm/s的速度從點(diǎn)。出發(fā)，沿。A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(OVtV3).

⑴當(dāng)￡為何值時(shí)，△4MN的面積等于矩形4BC0面積的：？

(2)是否存在某一時(shí)刻3使得以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△4CD相似？若存在，求出t的值；若不存在,

請說明理由.

2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形048C為矩形，點(diǎn)48坐標(biāo)分別為(4°)，(43),動(dòng)點(diǎn)心N分別從°，B同

時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿。4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過動(dòng)點(diǎn)M作MP1

0A,交AC于P,連接NP,設(shè)M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，(0<t<4)

(1)當(dāng)￡=3秒時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(—，一),PC=；

⑵當(dāng)t為何值時(shí)，以0、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△48。相似；

(3)在平面內(nèi)是否存在一個(gè)點(diǎn)E,使以CP、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出t的值，若

不存在，說明理由.

考查題型八利用相似三角形性質(zhì)求解

1.如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為()

A.5B.6C.yD.y

2.如圖，在配48CD中，EF//AB,DE'.EA=2:3,FF=4,則CO的長為（）.

A.yB.8C.10D.16

3.如圖，面積為26的RSOAB的斜邊08在x軸上，NABO=30。，反比例函數(shù)y=§圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)A,

則k的值為()

A.-2石B.2后C.GD.-也

DEI

4.如圖，點(diǎn)E是回4BC0的邊4。上的一點(diǎn)，且AE5,連接班;并延長交c。的延長線于點(diǎn)F,若0E=3,DF=4,

則Z/WC。的周長為（）

A.21B.28C.34D.42

考查題型九利用相似三角形解決實(shí)際問題

1.如圖，利用標(biāo)桿DE測量樓高，點(diǎn)A,D,8在同一直線上，DELAC,BCA.AC,垂足分別為E,C.若

測得AE=lm,DE=1.5m,CE=5m,樓高8c是多少？

2.【學(xué)科融合】如圖I,在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)：反射光線和入射光

線分別位于法線兩側(cè)；入射角，?等于反射角兒這就是光的反射定律.

【問題解決】如圖2,小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻，木板和平面

鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)8處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F,落在墻上

的點(diǎn)七處，點(diǎn)七到地面的高度0E=3.5m,點(diǎn)尸到地面的高度6=l.5m,燈泡到木板的水平距離AC=5.4m,

木板到墻的水平距離為CO=4m.圖中人，B,C,。在同一條直線上.

法線

入射光線;反射光線

0

光的反射定律

圖1圖2

(1)求8c的長；

(2)求燈泡到地面的高度AG.

3.如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡.手電筒

的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)「落在墻上的點(diǎn)E處，

點(diǎn)E到地面的高度。E=3.5m,點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5771,燈泡到木板的水平距離AC=5.4m,墻到木

板的水平距離為CO=4m.已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、。在同一水平面

(1)求8c的長.

(2)求燈泡到地面的高度.

4.在“測量物體的高度”活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組的兩名同學(xué)選擇了測量學(xué)校里的兩棵樹的高度，在同一時(shí)

刻的陽光下，他們分別做了以下工作；

小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米(如圖1).

小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上(如圖2),墻壁上的影長為1.2

米，落在地面上的影長為2.4米.

⑴在橫線上直接填寫甲樹的高度為_____________米；

（2）畫出測量乙樹高度的示意圖，并求出乙樹的高度.

考查題型十位似圖形的識別

1.下列選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形（實(shí)線部分），不呈位似圖形的是（）

A.AJ）C.上二"D.\

></

2.下列各組圖形中不是位似圖形的是（）

◎士K；三：

A.x—JB.7c.Lr_I'D.

考查題型十一利用位似圖形的性質(zhì)求解

1.如圖，AA8C與△DE/"立似，點(diǎn)0是它們的位似中心，其中。E=2O8,則△43。與^DEF的周長之比

是（）

OBE

A.1：2B.I：4C.1：3D.1：9

2.如圖，△ABC與△/?尸位似，點(diǎn)。為位似中心.已知。人：。。=1：2,則△A4C與△。砂的面積比為

D

A.I：2B.1：3C.1：4D.1：5

3.如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形,0是位似中心，位似比為2:3,點(diǎn)48的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)AB'.若

48=6,則力'夕的長為()

考查題型十二在坐標(biāo)系中畫位似圖形

1.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△A8c的位置如圖所示.

B

⑴將△4BC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△48iG，作出

(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在第四象限內(nèi)作出△的位似圖形A2c2，且44282c2與448c的相似比為

2:1.

2.如圖，△力8。三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為力(1,2),8(3,1),。(2,3),以原點(diǎn)。為位似中心，將△/1BC放大為原來

的2倍得△A'B'C.

(1)在圖中第一象限內(nèi)畫出符合要求的△AB'U(不要求寫畫法)

(2)計(jì)算△48'L的面積.

3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△。力B的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。(0,0),4(6,3),8(0,5).

(1)畫出△0A8繞原點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到的^。為當(dāng)；

(2)連接力名,乙。的度數(shù)為。；

(3)以原點(diǎn)0為位似中心，相似比為：，在第一象限內(nèi)將△/IB?？s小得到△慶當(dāng)。，畫出△A2/。，直接寫出

點(diǎn)兒的坐標(biāo).

第二十七章相似（知識清單）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.加深了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段，認(rèn)識圖形的相似、位似等概念和性質(zhì)；

2.理解相似圖形的性質(zhì)與判定、位似的性質(zhì)與把一個(gè)圖形放大或縮小，在同一坐標(biāo)系下感受位似變換后點(diǎn)的

坐標(biāo)的變化規(guī)律.

重點(diǎn)：

1.利用相似三角形的知識解決實(shí)際的問題：

2.位似的應(yīng)用及在平面直角坐標(biāo)系中作位似圖形.

難點(diǎn)：

把實(shí)際問題抽象為相似三角形、位似形這一數(shù)學(xué)模型并求解.

二、學(xué)習(xí)過程

章節(jié)介紹

中學(xué)階段重點(diǎn)研究的兩個(gè)平面圖形間的關(guān)系是全等和相似，全等是一種特殊的相似.本章將在前面對全

等形研究的基礎(chǔ)上，借鑒全等三角形研究的基本套路對相似圖形進(jìn)行研究.本章研究的主要問題是相似圖形

的定義、性質(zhì)和判定方法，研究的主要載體是三角形.此外，教科書在前面的章節(jié)中介紹了平移、軸對稱和

旋轉(zhuǎn)三種圖形的全等變換，木章將介紹一種新的圖形變換-位似.

線段的比及成比例線段

平行線分線段成比例

定義

性質(zhì)上萬后

相似多對應(yīng)線段的比等丁卻似比

邊形相似性質(zhì)

相似比面積的比等于相似比的平方

定義相似_平行線世得三角形與原三用形相似

1%形的放大與薪I」圖出的三角形一

判定三邊成比例

位似變換與坐標(biāo)變化位似

判定定理兩邊成比例II夾ffl福等

.兩角相等

知識梳理

1.相似圖形的概念：數(shù)學(xué)上，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形.

2.相似多邊形的概念：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形對應(yīng)角相等、燈應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.

4.相似比的概念：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

5.比例線段的概念：對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的二匕（即它們長度的比）與另兩條線段的比相

等,如a:b=c:d（即ad=bc）,我們就稱四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

6.相似三角形的概念：在△ABC和△ABC中,如果NASA，，ZB=ZBSZC=ZCS且第=器=備=k,

即三角分別相等、三邊成比例，我們就說△ABC和△ABC，相似，k為相似比.

7.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.簡稱：平行線分線段成

比例.

8.平行線分線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成

比例.

9.相似三角形判定定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

10.相似三角形判定定理4：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.

11.三角形相似判定定理5：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

12.直角三角形相似判定定理1：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一

條直角邊對?應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.

13.相似三角形的性質(zhì)：

一|對應(yīng)一相等、對應(yīng)邊成比例

對應(yīng)高的比等于相似比

對應(yīng)中線的比等于相似比相似三角形對應(yīng)線段的比等r?相似比

對應(yīng)周長的比等于相似比

對應(yīng)面枳的比等丁相似比的平方

14.利用三角形相似解決實(shí)際問題的一般步驟：

（1）根據(jù)題意畫出示意圖

（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的已知線段、已知角

（3）利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系，求出未知量

（4）寫出答案

15.位似圖形的概念:

如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，且這點(diǎn)與對應(yīng)頂點(diǎn)所連線段成比例，那么這兩個(gè)圖形

叫做位似圖形.

16.位似圖形的性質(zhì)：

1）位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.（位似圖形的相似比也叫做位似比）

3）對應(yīng)線段平行或者在一條直線上.

17.把一個(gè)圖形按一定大小比例放大或縮小后，點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比（新圖與原圖的相似比）為匕那么

位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k,則圖象上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（kx,ky）或（-kx,-ky）.

考點(diǎn)解讀

考查題型一判斷相似圖形

1.下列圖形,一定相似的是（）

A.兩個(gè)直角三角形B.兩個(gè)等腰三角形

C.兩個(gè)等邊三角形D.兩個(gè)菱形

【答案】C

【分析［根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項(xiàng)一一分析，利用排除法求解.

【詳解】解：A.兩個(gè)直角三角形，不一定有銳角相等，故不一定相似；

兩個(gè)等腰三角形頂角不一定相等，故不一定相似；

C兩個(gè)等邊三角形，角都是60。，故相似；

。.任意兩個(gè)菱形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，故不一定相似；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是

解題的關(guān)鍵.

2.如圖是世界體闈博覽會(huì)吉祥物,，晶晶”.右邊的“晶晶''是由左邊的“晶晶''經(jīng)下列哪個(gè)變換得到的（）

A.平移變換B.旋轉(zhuǎn)變換C.軸對稱變換D.相似變換

【答案】D

【分析】根據(jù)相似變換的概念判斷即可.

【詳解】解：???右邊的“晶晶”和左邊的“晶晶”只有形狀相同，

.?.兩個(gè)圖形相似，

.??右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”通過相似變換得到的.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何變換的類型，熟記各種變換的概念的解題的關(guān)鍵.

3.觀察下列圖形，這四組形狀各異的圖形中，是相似圖形的有（）

嗓《@@口口0噌

A.1組B.2組C.3組D.4組

【答案】B

【分析】根據(jù)相似圖形的定義,對圖形進(jìn)行一一分析，選出正確答案.

【詳解】解：第一組形狀不同,不符合相似形的定義;

第二組形狀相同，但大小不同,符合相似形的定義;

第三組形狀相同，但大小不同,符合相似形的定義:

第四組形狀不同，不符合相似形的定義,

是相似圖形的有2組.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似形的定義，結(jié)合圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變

換.

考查題型二由平行判定成比例線段

1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在8c邊上，連接AD,點(diǎn)G在線段AD上，GE//BD,且交AB于點(diǎn)E,GF//AC,

且交CO于點(diǎn)F,則下列結(jié)論一定正確的是（）

BDF

人ABAG「FGEGnAECF

A*族=茄B吟4D.—=—

c?就=而BEDF

【答案】D

【分析】根據(jù)EG〃8D,可得△AEGS^ABD,根據(jù)尸G〃4C,可得△OGFS/\D4C,再根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：*：GE//BD,

?.嚏=藍(lán)"EGs”心

.ABAD

**AE-AGf

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

?：GF//AC,

*=奈△DGF^ADAC,

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤:

DF_DG

CF-AG

...一AE=一CF

BEDF

故選項(xiàng)D正確;

■:區(qū)AEGSMABD、△DGF^ADAC,

竺—竺EG__AG_

AC~DA'BD-AD

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理及相似三角形的性質(zhì)及判定，利用平行線分線段成比例，找

出比例式是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，AC||BD,4。與8C交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF||8。，交線段48于點(diǎn)F,則下列各式錯(cuò)誤的是（）

n，n

A———BFBEcAE.BE1D.——AF=——CE

*BF~EDB?好=菽c而+靛=1BFED

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理一一判斷即可.

【詳解】解：對A、B選項(xiàng).'：AC||BD,EF||BD,

：.EF||AC,

9=M案=笄故AB正確，不符合題意;

brcUArcC

八.AEAFDEBF

?e，

C?—AD=—AB—BC—AB

「?暖+霹=喘+喘=陪=穿=1，故C正確，不符合題意;

ADBCABABABAB

D?噎喑，而DEHEB,

???暖工品故D錯(cuò)誤，不符合題意.

HrciJ

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，屬于

中考?？碱}型.

3.如圖，在中，DEIIBC,DFIIAC,則下列比例式中正確的是（）

A

A_=_R匕="c—=—D—=—

ADAC*FCECFCAC'FCAE

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項(xiàng)即可.

【詳解】解：A.由。FIMC,得黑=能故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.由DFIIAC,得整=骼又由DEIIBC,得瞿=登，則整=工,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)E確:

FCDADAEAFCEA

C.*DFIIAC,得黃=能故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，平行于

三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例.

考查題型三由平行截線求相關(guān)線段的長或比例

1.如圖，直線，直線4c和。尸被，1，G，0所截，48=5,BC=6,EF=4,則DE的長為（）

A.2B.3C.4D.-3

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可.

【詳解】解：:直線h〃12〃13，

.AB_DE

VAB=5,BC=6,EF=4,

.5DE

??一6=4一.

ADE=-.

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理.，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此

題的關(guān)鍵.

2.如圖，在△48。中，點(diǎn)。在邊/IB上，過點(diǎn)。作OEIIBC,交AC于點(diǎn)、E.若=2,BD=3,則"的值

AC

是（）

A.IB.1C.|D.3

【答案】A

【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得嶗=力即可求解.

【詳解】解：:△ABC中,DEIIBC,

.AEAD

??,

ACAB

*：AD=2,BD=3

,AE_AD__2__2

**AC~AD+BD-2+3-5*

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊

（或兩邊的延長線）所得對應(yīng)線段成比例”.

3.如圖，4D是的中線，點(diǎn)￡在4。上，AD=4DE,連接距并延長交4c于點(diǎn)F,則反：/C的值是（）

【答案】A

【分析】過點(diǎn)力作DGIIAC,與M交于點(diǎn)G,于是/C=2QG,AF=3DG,：,AF.FC=3DG:2DG=3:2

【詳解】過點(diǎn)。作。G||AC,與B尸交于點(diǎn)G,如圖：

A

vAD=4DE

:.AE=3DE

???力。是△ABC的中線

?一B一D一,，—_1

,DC~2

AF_AE_3DE_

''~DG=~DE=~DE='

即4尸=3DG

.-.AFiFC=3DG-.2DG=3:2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟悉概念是解題關(guān)鍵.

4.如圖，在△力BC中，AB=8C,點(diǎn)。為力B的中點(diǎn)，DE〃BC交AC于點(diǎn)、E,連接跖，若DE=13,AC=20,

則姓的長為()

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知?！隇?力3c的中位線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE1AC,勾股定理解Rt△8CE即

可求解.

【詳解】???點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，

AD=BD,

???DE//BC,

.=竺=1,

BDEC

???AE=EC

ADE=^BC,

ABC=2DE=26,EC=^AC=ID,

AB=BC,AE=EC,

BE1AC1

在Rt△BCE中，BE=y]BC2-EC2=24,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，三角形中位線的判定與性質(zhì)，三線合一，勾股定理，求得E是47

中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

考查題型四證明兩個(gè)三角形相似

1.如圖，在48C中，CQ是斜邊A8上的高.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明即可.

【詳解】證明：如圖，

.?.^ADC=ZACB=9（r

??YA是公共角

△ACDABC.

【點(diǎn)暗】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準(zhǔn)確運(yùn)用進(jìn)行推理

證明.

2.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)。，E分別在8C,上，且NAZ）E=60。.求證：△AOCs△。研.

【答案】見解析

［分析］根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出N8=ZC=60°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出Z1+ZC=Z1+60。,

根據(jù)/人。石=60。，可得N4D8=/2+60。，可證N1=N2即可.

【詳解】證明：???△4BC是等邊三角形，

???NB=NC=60。，

???ZADB=Z1+ZC=Z1+6O°,

,?ZADE=60°,

:.NAQ3=N2+60。，

???NI=N2,

AADCSADEB.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形相似判定，掌握等邊三角形性質(zhì)，三角形外

角性質(zhì)，三角形相似判定是解題關(guān)鍵.

3.已知：如圖，點(diǎn)D在三角形/WC的人月上，/）E交AC于點(diǎn)石/ADE=F^EADRAD2=AF-AB.

證：

(2)AAEFs△力co.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析］⑴根據(jù)乙4CE=/B,可得OEIIBC,從而得到黑=夕，即可求證;

DBhC

⑵根據(jù)心可得*笫從而得到浮笫耐求證.

【詳解】（1）證明：???4/WE=NB,

：.DEIIBC,

.ADAE

9

??1LB—'EC

,AD_AE

??布一~AC'

(2)證明：*：AD2=AF-AB,

,ADAF

9

??A1B—A'D

..ADAE

?-----，

ABAC

.AEAF

..一=一.

ACAD

又乙4=乙4,

AAEF^^ACD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例，相似

三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，△力BC是等邊三角形，。、E在8c所在的直線上，月弘B/C=BZ)?CE.求證：△48。?

【答案】見解析

【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)推出NAEANECA,再由=得到絲二除即可推出

ECCA

△ABDSAECA.

【詳解】解；???△46C是等邊三角形，

NA8GN八CB=60°,

；?18O°-NABC=I8O0-/ACB,

工^ABD=^ECAt

y,9：ABAC=BDCE,

?ABBD

??—=—，

ECCA

???AABD^AECA.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似二角形的判定，等邊二角形的性質(zhì)，熟知相似二角形的判定條件是解題的關(guān)

鍵.

5.如圖，將矩形ABCD沿CE向上折置，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，AB=8,BC=10.

（2）求線段EF的長度.

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=5.

【分析】（1）由四邊形4BCQ是矩形，于是得到乙4=/。=/8=90。，根據(jù)折疊的性質(zhì)得N"T=NB=90。，

推出即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得。尸二8。=0,根據(jù)勾股定理得到DF=7C『-CD?=6,求得然后根據(jù)勾股

定理列方程即川得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）???四邊形是矩形，

AZA=ZD=Z?=90°,C￡）=A8=8,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得NEFC=NB=90。，

^AFE+ZAEF=ZAFE+ZDFC^Q0,

???/AEF=/DFC,

???AAEF^ADFC；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CF=BC=\O,BE二EF,

：.DF=>/CF2-CD2=6,

??"F=4,

,：AE=AB-BE=S-EF,

：,EF2=AE2+AF2,

即EF2=（8-￡F）2+42,

解得：EF=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題.解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)來分析、判斷、解答.

考查題型五補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似

1.如圖，D是AABC邊AB上一點(diǎn),添加一個(gè)條件后，仍無法判定△4CD的是（1

D

BL--------------------

A.LACD=LBB.^ADC=Z-ACBC.黑=段D.AC2=ADAB

ACBC

【答案】c

【分析】根據(jù)公共角再分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.

【詳解】?：&=5

A、當(dāng)乙4CZ）=時(shí)，再由乙4=乙4,可得出△AC。?△A8C,故選項(xiàng)A不合題意；

B、當(dāng)4=時(shí)，再由匕4=匕力，可得出△力CD?△A8C,故選項(xiàng)B不合題意；

C、當(dāng)器=器時(shí)，乙1不是夾角，所以無法得出A/。。-△4OC，故選項(xiàng)C符合題意；

D、當(dāng)AC2二力。^^時(shí)，即竺二竺，再由立力二44故選項(xiàng)D不合題意；

ABAC

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.

2.如圖，要使△ACD?△/8C,需要具備的條件是（）

B?黑啜

C.AC2=AD-ABD.CD2=ADBD

【答案】C

【分析】題目中隱含條件N4=NA,根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出添加的條

件只能是黨=*，根據(jù)比例性質(zhì)即可推出答案.

ABAC

【詳解】解：???在△AC。和△A4c中，NA=NA,

???根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出添加的條件是：黨二號,

/IU/IC

：.AC2=AD-AB.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，注意：有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.

3.如圖，如果NB/W=NC4E,那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定A/IBCsZk/WE的是（）

C.ABBC=AD-DED.AB-AE=AD-AC

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得=然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【詳解】解：???-884=4CAE,

：.￡EAD=LCAB,

A.若添加/8=乙。，可用兩角本應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，證明△48C?△ADE,故本選項(xiàng)不符合題意；

B.若添加”=41E0,可用兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，證明△43。fADE,故本選項(xiàng)不符合題意；

C.若添加48-BC=40-0E,不能證明△48。?△力0E,故本選項(xiàng)符合題意；

D.若添加48AE=AD-AC,可用兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，證明△ABC八ADE,

故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

考查題型六相似三角形與動(dòng)點(diǎn)問題

1.如圖所示，ZC=90°,BC=8cm,cos/1=3：5,點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)

Q從點(diǎn)C出發(fā)沿。4向點(diǎn)A以lcm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，過多少秒時(shí)，以C、P、Q為

頂點(diǎn)的三角形恰與△48c相似？

【答案】過2.4或疊秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△48C相似

【分析】由“=90°,BC=8cm,cosA=3：5,即AC：必=3：5,利用勾股定理即可求得4B與力。的長,

然后設(shè)過t秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△”(?相似，則可得BP=2tcm,0=80-瓦>=(8—2f)(cm),

CQ=tcm,再分別從當(dāng)著=當(dāng)時(shí),△CPQSMB4與當(dāng)著=/時(shí),&CPQs〉CAB,去分析求解即可求得

答案.

【詳解】解：NC=90°,BC=8cm,cosA=3：5,即AC：9=3：5,

二設(shè)4c=3xcm,=5"m,

叫BC=y]AB2-AC2=4x(cm)

即4x=8,

解得：x=2,

..AC=(x'mtAB=10cm,

/.BC=8(cm)

設(shè)過￡秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△力8c相似，

制BP=2z(cm)CP=BC-BP=(8-2/)(cm)CQ=/(cm)

??,/c是公共角，

???①當(dāng)笑=錚即唾=￡時(shí)，ACPQS^CBA,

CBCA86

解得：￡=2.4,

②里=器，雌了=:時(shí),ACFQS〉CAB,

CACB68

解得：t=手

???過2.4或壬秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△力BC相似.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理.此題難度適中，掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與

方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，RtZkHBC中，LC=90°,47=3,8c=4.點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)沿折線口一人口以每秒i個(gè)單位長

的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC-CA-718以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,

。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)8時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P，。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是/秒(t>0).

發(fā)現(xiàn)：

(1)/W=；

(2)當(dāng)點(diǎn)P,。相遇時(shí)，相遇點(diǎn)在哪條邊上？并求出此時(shí)4P的長.

探究:

(3)當(dāng)t=l時(shí)，ZiPQC的面積為：

(4)點(diǎn)P,。分別在AC,8C上時(shí)，△PQC的面積能否是△ABC面枳的一半？若能，求出，的值；若不能，請

說明理由.

拓展：

(5)當(dāng)PQIIBC時(shí),求出此時(shí)/的值.

【答案】⑴5

(2)相遇點(diǎn)在AB邊上，1

(3)1

(4)不能,見解析

(5"若

【分析1(1)利用勾股定理直接求解即可；

(2)分類討論點(diǎn)的位置對應(yīng)不同的時(shí)間，直接計(jì)算即可；

(3)直接求出邊長來求面積即可；

(4)解方程時(shí)通過求根公式來說明不能取到值；

(5)先畫出圖形，然后利用平行線間的線段比列方程求值.

22

【詳解】(1)在Rt448c中，AB=\/AC+BC=內(nèi)2+42=5

：,AB=5；

(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到8需要：(4+5)+1=9s

點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)需要：(3+4+5)+2=6s

當(dāng)點(diǎn)P,Q相遇時(shí),有2t-t=4.解得t=4.

???相遇點(diǎn)在邊上，

此時(shí)為P=4-3=1.

(3)當(dāng)t=l時(shí)，PC=1,BQ=2,即CQ=2

?,應(yīng)PQC="C?CQ=4x1x2=1

故答案為1；

(4)不能

理由：若△PQC的面積是A/BC面積的一半，

即)(4-2￡)=：x：x3x4,化為產(chǎn)一2t+3=0.

VZi=(-2)2-4xlx3<0,

???方程沒有實(shí)數(shù)根，

即APQC的面積不能是△A8C面積的一半.

(5)由題可知，點(diǎn)P光到達(dá)AB邊，當(dāng)點(diǎn)Q還在AC邊上時(shí)，存在PQII8C,如圖所示.

*：AQ=7—23AP=t-3,

?7-2tt-3

■■-3-=--5-?

解得"9

XD

即當(dāng)PQII8C時(shí),"晟.

【點(diǎn)睛】此題考查動(dòng)點(diǎn)問題以及平行線的線段比，解題關(guān)鍵是將點(diǎn)的路程表示出來找到等量關(guān)系，以及平

行線中線段成比例列方程.

3.如圖，在心△"(?中，NAC8=90。，4C=8,BC=6,CQL18于點(diǎn)。，點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿線段QC

向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

(I)求線段CD的長；

⑵設(shè)的面積為S,求S與；之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)當(dāng)/為何值時(shí)，△CPQ與^CAD相似？請直接寫出t的值.

【答案】⑴4.8

(2)5=SACPQ=-1t2+^t(0<t<4.8)

(3)3或：

【分析】(1)利用勾股定理可求出入B