2024高考數(shù)學(xué)超全基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)梳理

2024高考高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)大全

一、集合部分

1集合相關(guān)

⑴集合性質(zhì)：確定性、互異性、無(wú)序性

(2)〃個(gè)元素集合有2”個(gè)子集，有2--】個(gè)真子集，有2"-2個(gè)非空真子集

(3)空集是任何一個(gè)集合的子集，是一切非空集合的真子集

(4)交集“n"；并集“LT;補(bǔ)集。J”

交：4ILrw"})^：A\JH<^{x\xeA^SLXGH\補(bǔ)：C"o{xw〃.ILre川

(5)/uAo4n"=/to/fUA="：注意：討論的時(shí)候不要遺忘了/=0的情況

(6)g(/uB)=(g/)n(g“)；g(/in〃)=(g/ou(c*)：

二、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

「國(guó)都的有福拜

⑴設(shè)樸與十［。向,*1VX?那么

/但)-f(x2)<0<=>/(x)在［。㈤上是增函數(shù)；/(X］)-/(々)>0of(x)(\\a%h］上是

減函數(shù)

(2)設(shè)函數(shù)y=/(.V)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，

若/'(幻>0,則/(x)為增函數(shù)；若/'(x)<0,則/(x)為減函數(shù)。

2.函數(shù)的奇偶性

⑴定義：對(duì)于定義域內(nèi)任意的X,若，(-x)=/(x),則/(x)是偶函數(shù)；若

/(-X)=-/(x),則/(X)是奇函數(shù)。

(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

奇函數(shù)”X)在原點(diǎn)有定義，則/(0)=0

3.函數(shù)的周期性：若/(x+7)=/(x),則T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期°(差為定

值想周期)

⑴三角函數(shù)的最小正周期：

y—Asin(rar+0),y=4cos(?ir+tp):T—2ft-;y-tantax:7'=-------

I旬SI

4.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性(和為定值想對(duì)稱)

(1)如果函數(shù)y=/(x)對(duì)于一切xwR,都有/(a+x)=f(a-x),那么函數(shù)y=f(x)

的圖象關(guān)于直線x=“對(duì)稱0)，=/("+“)是偶函數(shù)；

4兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性(和為定值想對(duì)稱)

1

⑴如果函數(shù))，-/(幻對(duì)于一切XG〃，都有/(q+.、)-那么函數(shù))，-/(X)

的圖象關(guān)于直線x=。對(duì)稱oj，=/(》+〃)是偶函數(shù)；

(2)若都有f(a-x)=f(b+x).那么函數(shù)y=/(》)的圖象關(guān)于直線x="對(duì)稱；

5.極值、最值(極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，最值只在極值點(diǎn)處或端點(diǎn)處)

求函數(shù)j，=/(x)的極值的方法是：解方程/'(x)=0.當(dāng)/沁)=0時(shí)：

(1)如果在與附近的左側(cè)/'(x)>0,右惻/''(MvO,那么/(x0)是極大值；

(2)如果在與附近的左側(cè).，(x)vO,右側(cè)/''(x)>0,那么/(%)是極小值

6圖象變換問(wèn)題

(1)平移變換：i)y=/(x)->y=/(x±a),(。>0)----------左“+”右“一”；

ii)?=fMfJ=/(x)±k、(k>0)-----------上，，+，，下“一”；

(2)對(duì)林它榛：

”=Z(x)<。。>>y=-X)；通力=八幻—a仙一?=一仆);

iii)y=Z(-r)闡—>y=/(-x)；iv)y=fix}-S->x=_/(?);

(3)翻折變換：

i)y=/(X)->J=/(|XI)---------(去左翻右)y軸右不動(dòng)，右向左翻(/(X)在卜左側(cè)

圖象去掉)；

ii)y=f(x)-?y=|/(x)|---------(留上翻下)X軸上不動(dòng)，下向上翻(|/(x)I在x下面

無(wú)圖象)；

(4)伸縮變換

i)y=/(x)-?y=/(31),(。>0)---------縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的‘倍；

(O

ii)y=/(x)fy="(x),(力>0)----------坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍；

7函數(shù)零點(diǎn)的求法：

(I)直接法(求/*)=0的根)；(2)圖象法；(3)二分法.

(4)零點(diǎn)定理：若y=/(x)在［“向上滿足/(“)?/(/>)<0,則y=/(x)在(。力)內(nèi)至

少有一個(gè)零點(diǎn)。

2

8.基本運(yùn)算

(1)指數(shù)運(yùn)算："+"=""??；m"y=<T"；anhn=(ahy

⑵對(duì)數(shù)運(yùn)算：log.A/+log。N=log”(MV)；嘀"-1'”=啦不;

log.A/"=/>logaM；

1O8J=°；1?！?/=第；噫"4族"

(3)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算：①C=0(('為常如②(『)’=nr"T.特別地，心噎，“上

xr

③(e，)=e*?(lnx)=—@(sinx)=cos.r；(cos.r)=-sinx

(4)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(〃±vr=,/±此(〃4=心+〃/；(5=也M；

VV

(5)導(dǎo)數(shù)定義：Rx)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)記作z=)=/(>+Ax)-/(x。)

Jr(x9,Al…imAx

(6)函數(shù)y=/。)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)致的幾何意義:函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)致是曲

線y=f(x)在/"。，/(/))處的切線的斜率k=,相應(yīng)的切線方程是

I，-%=「(EJ(X-X,)

原函數(shù)圖象只看升降判增減；導(dǎo)函數(shù)圖象只看上下定正負(fù)

9.二次函數(shù)：(I)解析式：①一般式：f(x)=ax:+bx+c;

②頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-〃)？+A,(力,A)為頂點(diǎn)；③零點(diǎn)式：/(x)=a(x-xt-x2)

(2)二次函數(shù)y=a/+6x+c的圖象的對(duì)稱軸方程是x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

b4ac-b

(3)二次函數(shù)問(wèn)題解決需考慮的因素：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱軸；③判別式；④與

坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤端點(diǎn)值

io指數(shù)函數(shù)圖象

M

指數(shù)函數(shù)"A1■y=a0<a<1,y=ag

圖象弋

t?■一j

K?t

(1)定義域:R

性質(zhì)

(2)值域：(O,y)

3

定義域RRR

[-U][-U]

值域{x|X*1+€2}

*-2kx4-y.jlcZfft.-1x=2k/r,keZHf.j=1

最值x=2A/r+;r,AwZB寸，--1

x■2k!r-^,k€ZHt.--1無(wú)

周期性T=2汽7=2%T=7T

奇偶性奇偶奇

在,R上單調(diào)

\2k/r~—.2kxfy]

在華《人吟）上單調(diào)

單調(diào)性在|2&了-凡2〃川上單調(diào)遞增

遞增；在“—盯上

I2A?+-.2i?+—]

/A

keZ在［2M,24K+川上單調(diào)遞減遞增

I單調(diào)遞減

對(duì)稱軸方程：

對(duì)稱軸方程：x=kn無(wú)對(duì)稱軸

對(duì)稱性7T

x=kn+一

kwZ2對(duì)稱中心（〃"+工.0）對(duì)稱中心（g.0）

2

對(duì)稱中心（〃蟲(chóng)0）

三、三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1.角度制與弧度制的互化：角度+180。x/r弧度+力180°角度

(1)”=180,1°=—,1弧度=(他).%57.3°=57。18

180TC

(2)圓心角弧度：同=4；扇形面積公式：S=L/?〃

R2

2.三角函數(shù)定義：角a終邊上任一點(diǎn)（非原點(diǎn)）P（xj）.設(shè)|OP|=r

則：sintz=-,cosa=-,tana=上三角函數(shù)符號(hào)由才字（如右圖）

rrxf

3.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號(hào)看象限

4.特殊角的三角函數(shù)值

5

it7TKn3.7

a0In

6432

1V2

sioa0在10-10

222

1

cow10-101

TJ

皂

tana0i7300

5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sinx+cos'x=I;S'nX-=tanx

CM1

6.兩角和與差的正余弦，正切公式:

cos(a+p)=cosacos/7-sinas\nPsiiXa+0=sinaoos/7+oos6Zsin￡

cos(a-/7)=cosacosQ+sinasinQsin(a-0=snaoc6/7-oostzsinp

c、tana+lanB

ian(a+?)=-----------三

I-lanatanp

tana-lan/?

ian(a-/7)=

1+tan?tanp

2tana

7.倍角公式:sin2a=2sinacosa；tan2a=

I-tan2a

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

d降幕公式=,sin-|sin2,

8.輔助角公式：asinx+bcosx=\/a:+b'sin(x+(p),其中tan°=—

(bp；/r.>J3n

\-=73=(p=—>—=—nw=-

a3a36

9.正弦定理=r7T=2〃(2〃是A4灰‘外接圓直徑)

sinAsinnsin(

邊化角：a—2/?sinAyh—2/?sinB、c—2/?sinC

角化邊：sinA=,sinli=,sinC*=-^―

2R2R2R

1:AABC中，a'■Z>,+c,-2Z,ccosA=J+/-ZoccosB,c2=a*+A*_2abcos('.

推論…A鼻

,C°SB/+：T,8SC/+I

lac2ah

12.三角形面積公式：=-o/>sin(*=—Z>csinA=—acsinH

3222

四、平面向量

6

1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=（苒.乂）,

①。+6=（占+與,乂+%）；②。1=（3-&，乂一丁2）；③4a=（〃Hy）.

④設(shè)A區(qū),乂），B（小外），則

A/i=O/i-OA=(x2-xlty2-yl),

|研=/（演一演『+（乂一必『

2.向量的三角形法則與平行四邊形法則

（1）〃；+（力=48（尾首接，首尾連）

（2）（M-0/j=/A（同起點(diǎn)，后向前）

3.重要性質(zhì)：設(shè)〃=（不，乂），，=（七，必）

①證明垂直：。_1_6。。力=（）0w?怎+乂方=0

②證明平彳丁：a〃，oa=%bo工通-x2M=。

③求向量的模：a={aF=x：+j；

④求夾角：X-%="J貨，

向.向——?"一+?

⑤o*=x吊+及%；=WWcos6（6為〃與月的夾角）

五、不等式

1.均僮不等式（一正二定三相等）（積定和最小.和定積最大）

（1）若"，bwR,則/+〃之船"當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

若x,ye/r,則x+y之2向（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）

（2）若a,bwR,則川4叵出工必立■（當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時(shí)等號(hào)成立）

42

2.目標(biāo)函數(shù)的類型：（判斷加■+與+「＞0（或＜0）,觀察〃的符號(hào)與不等式開(kāi)口

的符號(hào)，同上異下，或代點(diǎn)計(jì)算WA裁距”型：z=4t+〃y：②“斜率”型：2=上

X

或z="b；

x-a

7

③“距離"型：z=/+/或z=Jx2+y2;z=(x-a)2+(y-b)2或

z=&x-a)2+(y-bf.

六、數(shù)列

L數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

a?='A，'〃1.(數(shù)列｛，0｝的前n項(xiàng)的和為,=q+，,+???+..)

2.等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)

(1)定義：見(jiàn)“-。”二〃(常數(shù))(2)通項(xiàng)公式：an=<?,+(〃-1)(/=4+(〃-?/

(3)前n項(xiàng)和公式：.M+aJ.g「ST。

s"2,2

(4)若〃7+〃=〃+夕，那么4+4=%,+%(5)等差中項(xiàng)：2A=a+b；2a,=aK4l+a?y

⑹L“｝等差數(shù)列廁-S仍成等差

3.等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)

⑴定義：—=g(常數(shù))⑵通項(xiàng)公式：*=〃闖M=〃/"'"

(3)前n項(xiàng)和公式：na,q=]

_a,-a,q

\-ql-q

(4)若〃7+〃=〃+*則(5)等比中項(xiàng)：G2=ab；個(gè)=-

⑹等比數(shù)列｛4｝，則S—%-S-仍成等比數(shù)列.(行一1或〃為奇數(shù))

七、立體幾何

1.三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為2近：1。

2.表(側(cè))面積與體積公式：

⑴柱體：①表面積：S=S儡+2S底；②側(cè)面積：S喳2?、垠w積：V=S庭h

(2)錐體：①表面積：S=SW4-S<;②側(cè)面積：S?=^r/;③體積：V=1sah：

(3)臺(tái)體：①表面積：S=SW+S±<ST<；②側(cè)面積：S僚=乃(r+玲/；

③體積：V=1(S+府+5')h；

(4)球體：①表面積：S=4^7?2；②體積：V=^/?；o

8

3.位置關(guān)系的證明(主要方法)：

(1)直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定

理。

(2)直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行=＞線面平行。

(3)平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平

面平行。

(4)直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理。

(5)平面與平面垂直：①定義-兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。

還可用向量法C

4.求角：(步驟.找或作角；II.求角)

⑴異面直線所成角的求法：

①平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；

②補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。

(2)直線與平面所成的角：

①直接法(利用線面角定義)；②先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h,與斜線段長(zhǎng)度作

比,得sin。。

用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向■的夾角

5.結(jié)論：

(1)長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)地三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,則對(duì)角線長(zhǎng)為

+〃'+c:,全面積為2ab+2bc+2ca；

長(zhǎng)方體體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為a,優(yōu)八則：

cos2a+cos2P+cos2/=!;sin2a-sin?p+sin:y=2

(2)正方體的棱長(zhǎng)為a,則對(duì)角線長(zhǎng)為總，全面積為6標(biāo)，體積為/

(3)長(zhǎng)方體或正方體的外接球直徑2R等于長(zhǎng)方體或正方體的對(duì)角線長(zhǎng)；

(4)正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長(zhǎng)為則正四面體的：

①高：h=存;②對(duì)棱間距離：與a;

②內(nèi)切球半徑：—a；外接球半徑：逅

124

9

八、解析幾何

1.斜率公式：①4=三二互=3d〃工工］(其中兩點(diǎn)￡區(qū),必)、4(々，必))

x2-xxI2)

②曲線在點(diǎn)〃(%,打)處的切線的斜率心/，小).

2.直線的五種方程(一般兩點(diǎn)斜截距)

(1)點(diǎn)斜式丁-必=4(》-凝)(直線/過(guò)點(diǎn)耳即乂),且斜率為〃).

(2)斜截式y(tǒng)=Ax+〃(b為直線/在y軸上的截距).

(3)一般式4r+第，+('=0(其中A、B不同時(shí)為0).

3.兩條直線的平行和垂直

(1)若/］：^=〃/+“，/2:y=k2x^-h2

①4||/?o4=%2,々/4?②)Mok&=-1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

(2)若4：4x+4y+C=0/：42》+82丫+(、2=。,且A1A2BB2都不為零,

①?！?04%=44郎62工僅；;②和，2相交。g*44；

③4和重合u>44=44且402=%(；；@A1/2u>44+4&=o.

注：①與直線/：〃+例+r=o平行的直線可表示為4》+坊+(；=0；

②與直線/：―+為+('=0垂直的直線可表示為疝-川+(；=0;

4.距離公式

2:

(1)平面兩點(diǎn)間的距離公式：d4B=yl(x2-xt)+(y2-yi)(A(x}tyx},Bg,%)).

(2)點(diǎn)到直線的距離：4=坐+佻+。(點(diǎn)P(x°j。),直線/：4x+取+('=0

QA2+B2

(3)平行線Ax+陰，+(；=0和祗+如+如=0的距離公式仁苗YI

77^7

5.圓的方程

(I柝準(zhǔn)方程：(x-af=/,圓心(。向；半徑r

(2)一般方程：?+/+/2r+Aj+/<=0(//+￡2-4/<>0),圓心(2￡);半徑「二”—

-2,-22

10

6.直線與圓的位置關(guān)系：直線,4x+切+C=0與圓（x-4）：+（），-/>）;/

d>ro相離oA<0；d=ro相切oA=0;

d<ro相交oA>0;弦長(zhǎng)=2"-d?,其中（/=岬+81+1

L2+B2

7.兩圓位置關(guān)系：設(shè)兩圓圓心分別為Oi,02,半徑分別為n,r2,\（）,（）2\=d

①d乃+r?o外離o4條公切線，②d=八+G。外切o3條公切線

③卜-』<d<4+Go相交o2條公切線;?J=|r,-r』o內(nèi)切o1條公切線;

⑤0<八%-rjo內(nèi)含o無(wú)公切線.

注：①圓的切線方程：過(guò)圓產(chǎn)+產(chǎn)=/上的4（%,打）點(diǎn)的切線方程為

^x+y^=r；

②圓上的動(dòng)點(diǎn)到圓外的點(diǎn)或直線的最長(zhǎng)距離（d+r）或最短距離（d-r）

8.橢圓的幾何性質(zhì)

定義戰(zhàn)尸J+|A/&=勿（常數(shù)力>|/^^|=勿）

標(biāo)準(zhǔn)方程h>0）b=6時(shí)橢圓小成圓，/+/=優(yōu)］—+=l(a>b>0)

(z2?

3一

M劭y(

圖形

.xJ'

中心（0,0）（0,0）

頂點(diǎn)仕ao1（o,士。）（0.土必仕從0）

焦點(diǎn)(±c.o)(O.±c)

對(duì)稱軸工軸，.v軸；X軸，1軸；

范圍a<x<a-b<y<b-b<x<b-a<y<a

準(zhǔn)線方程…5

c

焦半徑

=a+氣;|A/居|-a-ex9M局=a+%|AZ5|二af.

離心率e=-(0<e<1,M中c'二a'-6’)[a->L橢圓越扁：e->0,4圓)

長(zhǎng)軸短軸以國(guó)做小圓的長(zhǎng)軸.。叫做長(zhǎng)半軸；2b叫做佛圓的短軸.b叫做短半軸；

通徑過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的播圓的弦.通徑長(zhǎng)=空

a

11

9.雙曲線的幾何性質(zhì)

定義西卜|A/巴卜勿信數(shù)勿＜2c=陽(yáng)用）

-匚（。＞。法＞

標(biāo)準(zhǔn)方程4T0）%-'i-)

ab

U?up

圖形

中心（0,0）(0,0)

頂點(diǎn)仕“⑼（0.土。）

焦點(diǎn)仕C.O)(0.±e)

對(duì)稱軸X軸，1?軸X軸，1軸

范9^>a,yeR

X-±-

準(zhǔn)線方程C

焦半徑MS右支上附耳|=飛+a|Af耳卜3-a，M13E上文上?a-a；

MS左支上四用卜-四+a）?M?|--（斗-a）火下文上M用二T明,+DM周=Ya-＜0

b.a

漸近線/-±-X

cy-土r)尸

實(shí)軸虛軸2apM做雙曲雄的實(shí)特長(zhǎng).。叫做實(shí)半軸長(zhǎng)；2bN做雙曲線的虎特長(zhǎng).8N做虐半物長(zhǎng)；

離心率8=￡[>1,其中C'=<22+6))。越大，雙曲餞開(kāi)口越大，。越小開(kāi)口越小.

---------a-----------------------------------------

3.拋物線的幾何性質(zhì)

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F和一條定宜線1的距更相等的點(diǎn)的軌速叫做拋物線.

標(biāo)準(zhǔn)方程y3=2px[p>0)y3=-2px(p>0)x3=lpy(p>0)x3=2py(p>o)

L

MxoJo)

/hL

簡(jiǎn)圖?'4，

J/^x

焦點(diǎn)(f.o)（一例（閶

頂點(diǎn)(0,0)(0.0)(0,0)(0.0)

準(zhǔn)線方程…R

22.…三

通徑端點(diǎn)士得（士尸甘

對(duì)稱軸X軸x軸尸軸y軸

范圍x^Q.yeRx^OtyeR了2O,XWAJ40/W火

焦半徑與物1=//M尸|=乂+]

離心率e=l

注：①直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式：

網(wǎng)=+=)?[但+kJ?-4x吊卜JyVX

+k而

12

②焦點(diǎn)三角形處理方法：定義+勾股定理+正余定理

③過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)M=巧+勺…勺

④若雙曲線方程為,小口漸近線方程：a

⑤若漸近線方程為y=±2x?！馈馈?0n雙曲線可設(shè)為￡_仁=入.

aaha'b'

九、概率統(tǒng)計(jì)

1.看圖注意縱軸標(biāo)識(shí)

頻率頻率

⑴頻率分布直方圖：(I)頻率=X組距⑵標(biāo)是長(zhǎng)方形的高(3)頻率

頻數(shù)

"W

(2)平均數(shù)=各長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)坐標(biāo)x各長(zhǎng)方形的面積的和：

M=+”2+???+"，”

(3)眾數(shù)在直方圖中面積最大的長(zhǎng)方形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

(4)中位數(shù)在直方圖中使左右兩邊面積相等處的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

⑸方無(wú)：5,」［(占-a+(為-4+……+(乙_4］作用：衡量數(shù)據(jù)波動(dòng)程度

￡巧乂一〃x］

2.回歸方程y=a+hx必過(guò)定點(diǎn)(元區(qū))/?=上——其中

一nx

I?I

a-y-hx

-i"_in2X洌聯(lián)表

yj

Xi1b?*b

注：①川得知越大，說(shuō)明殘差平方和越小，則模型擬合

Xjcd

總計(jì)a*cb-da?b*c?d

效果越好;

②*越接近于1,則回歸效果越好。

2n(ad-be)

卡方統(tǒng)計(jì)量：k.其中〃=a+b+c+d

(a+h)(c+dX"+c)(b+d)

13

復(fù)數(shù)

十、充分必要條件、

3.充分與必要條件

①若p=夕，qnp,則/)是q的充分不必要條件；②若p=q,q=p,則〃是q

的必要不充分條件；

③若pnq,qnp,則p是夕的充要條件；④若〃=夕，q=>p,則p是夕的既

不充分也不必要條件；

4.復(fù)數(shù)部分：(1)尸=-1,若z”+4

①〃為實(shí)部，力為虛部，目=加+從,其共聊復(fù)數(shù)-初

②Z=4+/)/且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(,為)

(2甫Z]=a+bi,z2=c+<//,

①4+z?=(4+C)+(/>+4)/;zl-z2=(a-c)+(b-d)i

二_0+忖(仇?山)_ac+bdbe-ad.

@z-z=(ac-M)+(ad+bc)i;?

{22222

z2(c+J/)(c-t//)c+dc+d

新增內(nèi)容

高考數(shù)學(xué)新教材增加的知識(shí)點(diǎn)和探究

?王甯件??玄續(xù)：?化*是.和皂牝也

1.內(nèi)容:

枳化和差公式

(1)sina-cos[s*n(a+/?)+sin(a-/?)]?(2)sin/7cosa=i[sin(a+/?)-sin(a-/?)]：

(3)cosa-cos/?=^[cos(a+^)+cos(a-^)]：(4)sina-sin[cos(ap)-cos(a-y?)].

和差化枳公式

6+tp6-(p,八?zi、?o—(pe+@

(1)sin?+sin>=2sin------cos：(2)sind-sin伊=2sm—廣cos---：

22

0-tp.o-(p

(3)cosJ+cose=2coscos:(4)cos0-cos=-2sin------sm......-

2222

14

L內(nèi)容：計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)的步驟：第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)：

第2步，計(jì)算，=”xp%：

第3步，若，不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為，，則第,百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)：若i是整數(shù)，則第p百分

位數(shù)為第i項(xiàng)與第（，+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

注意：第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)（稱為，第25百分位數(shù)）第二四分位數(shù)（稱為，第50百分位數(shù)，也就是

中位數(shù)），第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)（稱為：第75百分位數(shù)）

0、今4*3的隼衲獻(xiàn)前方豈的公K

1.內(nèi)容：已知總體分為…），通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別

為，（[=1,2,…），，,（i=l,2,…）.=…），記總體的平均數(shù)為:樣本方差為『，則：

°）…;<2）?何-石）'].

ZLZL口J」

1?I

1.內(nèi)容:

（1）點(diǎn)到線的距肉：設(shè)8為直線。上一點(diǎn)，。為直戌。的方向向量，:存在向址。方向上的

投影向量:的模長(zhǎng)為，則點(diǎn)力到直線。的距肉d=MW-

15

《3〉兩異面直線間的距高：設(shè)直線*6的公共法向量:為〃(公

共法向盤(pán)的求法與平面的法向量求法相同)，則界面比線明6之間的距高為

向盤(pán)方在〃方向上投影向昆的模長(zhǎng)，即4=半生，其中

1"1

n±a,nlb,Aea,Bwb.

(4)點(diǎn)到平面的距窩：法一：設(shè)”為平面。的法向量：,48是平面a的

一條斜線，8wa,則點(diǎn)彳到平面a的距離等價(jià)于向1ft而在〃方向上投

影向盤(pán)的橫長(zhǎng)，即"="口.

方法二：幾何定義法方法三：等體枳法

(5)直線到平面的距離：直線/到平面。的距離可轉(zhuǎn)化為直線/上一點(diǎn)4到

平面a的距宓，即直線/到平面。的距肉〃=乎#.

1"1

(6)兩平行平面間的距高：與平面a平行的平面力到平面a的距惠等價(jià)于平

面P上一點(diǎn)A到平面a的拒肉,即d=平?

1"1

六,圓錐曲線的第二定義

I.內(nèi)容：

第二

定義

桶覬上點(diǎn)尸滿足色=e,準(zhǔn)找為：x=±-雙曲線上點(diǎn)尸滿足閨=e,準(zhǔn)線為：x=±-

附Ic1阿。

\PF]=a-a-ex^（長(zhǎng)加短減。在前）（長(zhǎng)加短在后）

焦半+ex^,|P/^||Pf；|=ex0+a,\PF21=er0-oMa

徑e為橢圈惠心率，/為點(diǎn)尸橫坐標(biāo)e為雙曲紋慮心率.4為點(diǎn)—橫坐標(biāo)

焦半a-c^\PF\^a-￥c\PF\^c-a

徑范

尸為橢朧上一點(diǎn)，戶為焦點(diǎn)尸為雙曲線上一點(diǎn)，尸為焦點(diǎn)

?■*

16

幀斜”］為a的宜紋過(guò)焦點(diǎn)F與橢陰相交46兩慎斜角為a的口線過(guò)焦點(diǎn)廠與雙曲線相交力,8

焦點(diǎn)

兩點(diǎn)

焦半徑：忸尸|=―-—：|/四|=—-——：

修

a-ccosaa+ccosa/12h2

焦半％|8四|=----------=-----------------?

a-ccosaa+ccosa

焦點(diǎn)弦：①|(zhì)48|=2。土僅玉+/);焦點(diǎn)弦：①|(zhì)48|=|土?玉+±)±2>|;

DI2abz(2)|AB\-________2。￡________

5CDL力。1222?2~1

a2sin2a+Z>2cos2a\bcosa-asina\

七、斐波那契數(shù)列

1.內(nèi)容：1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(約1170—1250)出版了他的《力做全書(shū)九他在書(shū)中提出

了一個(gè)關(guān)于依子繁殖的問(wèn)麴：

如果一對(duì)央子1丸個(gè)月能生出一對(duì)小氣子，而許一對(duì)小先干在它出生后的第三個(gè)月里，又能生出一對(duì)小如

子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由一對(duì)初生的小加子開(kāi)始.50個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)小央子？

在第1個(gè)月里?只有一對(duì)小兔子，過(guò)了1個(gè)月，那對(duì)象于成熟了,在第3個(gè)月便生下I對(duì)小兔廣，這時(shí)

行2對(duì)依干?再過(guò)1個(gè)月,成熟的免子再生］對(duì)小兔了，而另一對(duì)小免干長(zhǎng)大，有3對(duì)小免產(chǎn).如此推燈下

去，從第I個(gè)月開(kāi)始，巡個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)是

1.h2.3.5.8.13,2L34.55,89,144,233.???

這個(gè)數(shù)列稱之為更波那契數(shù)列,因以免f繁殖為例戶而引入，故乂稱為“兔夕數(shù)列這個(gè)數(shù)列從第三

項(xiàng)開(kāi)始?姆一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即

q=l,%=1,當(dāng)〃23時(shí)，勺=4'+。7，

1/+石、?/一石

斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為a^[^(―)-(—)

斐波那契數(shù)列的性質(zhì)

(1)a：+??,+0：=仇a..1；

2

<2>〃之2時(shí)，a2w.|=a2>_2a2,t+lxa2J=?Oj^,-1.

⑶3%=ai+q.2523),

(4)%+4+%+??,+*=/■:/+4+%+~+%.=。2.|-1：

(5)S.