山東省青島市即墨區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含答案

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試題2024.01本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答第I卷前考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，2.選出每小題答案前，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?所有試題的答案，寫在答題卡上，不能答在本試卷上，否則無效.一?選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C.D.2.已知四面體中，為中點(diǎn)，若，則（）A.3B.2C.D.3.正方體分別的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為（）A.B.C.D.4.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為，若成等比數(shù)列，則（）A.0或-2B.2或-2C.2D.0或25.已知兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓截直線所得弦長為（）A.B.C.4D.26.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線與交于兩點(diǎn)，則的面積與面積的比值為（）A.3B.2C.D.7.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃遂年加大研發(fā)資金投入.若該公司2020年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長，則該公司年投入研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年8.曲線圍成圖形的面積為（）A.B.C.D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與直線，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為B.直線恒過點(diǎn)C.若，則D.若，則10.關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說法正確的是（）A.若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列B.若的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列C.若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，則成等比數(shù)列D.若數(shù)列為等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，則成等差數(shù)列11.下列說法正確的是（）A.已知，則在上的投影向量為B.若是四面體的底面的重心，則C.若，則四點(diǎn)共面D.若向量，（都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為12.已知點(diǎn)為圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則下列說法正確的是（）A.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為B.切線C.直線的方程為D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線在軸?軸上的截距分別是和-3，則直線的一般式直線方程為__________.14.若雙曲線的漸近線與圓相切，則__________.15.如圖，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，已知，則__________.16.如圖所示，已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（10分）在正四棱柱中，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求證：面.18.（12分）是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限.若四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為6.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）如圖所示，斜率為且過的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，射線與曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn).證明：成等比數(shù)列.19.（12分）已知等差數(shù)列中的前項(xiàng)和為，公差為，且成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.20.（12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐中，底面分別在梭上，為的中點(diǎn).（1）若為中點(diǎn)，證明：面；（2）若，是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21.（12分）如圖形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊渾所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.（1）寫出與的遞推關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，在與之間插入個(gè)數(shù)，若這個(gè)數(shù)恰能組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.（12分）已知拋物線，點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)且平行于軸的直線與圓相切，與交與兩點(diǎn)，.（1）求和圓的方程；（2）過上一點(diǎn)做圓的兩條切線分別與交于兩點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.參考答案一?選擇題題號123456789101112答案DDCAABADBDADBCAC二?填空題13.14.15.或16.三?解答題17.解：證明（1）由題知以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：正四棱柱為中點(diǎn)（2）法一：由（1）知又面法二：設(shè)面的法向量則有令，則.面.18.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由于分別與直線垂直，所以，四邊形是矩形，兩點(diǎn)分別在一?四象限，點(diǎn)的軌跡方程為：（2）設(shè)直線的方程為：，中點(diǎn)直線的方程與的方程聯(lián)立得：且將其代入得要證成等比數(shù)列，只要證明三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列即可.直線的斜率直線的方程為方程與方程聯(lián)立得點(diǎn)橫坐標(biāo)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)顯然成等比數(shù)列.19.解：（1）由題意，成等比數(shù)列，，即又解得（2），20.解：（1），所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，又，所以以為原點(diǎn)，分別頭軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的一個(gè)法向量則令解得又面面（2）設(shè)，則設(shè)平面的法向量，則令，得平面的一個(gè)法向量設(shè)與平面所成的角為，則解得或即存在點(diǎn)，且或21.解：（1）從圖中可以發(fā)現(xiàn)每一層球的數(shù)量比上一層多的個(gè)數(shù)等于層數(shù)，所以有，所以（2）由，得兩式相減得為等比數(shù)列，，解得，，22.解（1）由題意知