“多邊形的面積”單元教材分析和教學(xué)建議

摘要：“多邊形的面積”單元以面積單位的度量為起點(diǎn)，以轉(zhuǎn)化和推理為基本方法，以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以動(dòng)手操作探究為基礎(chǔ)，讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)圖形的面積計(jì)算公式的過(guò)程。教學(xué)中需以度量為本質(zhì)，借助標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)學(xué)生生成“單位”思想；以轉(zhuǎn)化為主線，溝通聯(lián)系，發(fā)展空間推理能力；以“經(jīng)驗(yàn)”為紐帶，聯(lián)系實(shí)際，提升綜合應(yīng)用意識(shí)。關(guān)鍵詞：度量；轉(zhuǎn)化；整體建構(gòu)；多邊形面積“多邊形的面積”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)第六單元的教學(xué)內(nèi)容，屬于小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”板塊。此前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形等平面圖形，并學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算方法，也具備了度量面積的經(jīng)驗(yàn)。本單元以面積單位的度量為起點(diǎn)，以轉(zhuǎn)化和推理為基本方法，讓學(xué)生通過(guò)觀察、拼擺、剪拼等活動(dòng)，推導(dǎo)各種圖形的面積計(jì)算公式，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成空間觀念和推理意識(shí)，為后續(xù)探究圓的面積、立體圖形的表面積和體積積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，奠定思想和方法基礎(chǔ)[1]。本文主要結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)多邊形的面積單元進(jìn)行教材簡(jiǎn)析并提出教學(xué)建議。一、教材簡(jiǎn)析多邊形的面積以一幅“校園主題圖”引入，開啟平面圖形面積的計(jì)算學(xué)習(xí)，主題圖中包含平行四邊形、三角形等，既能喚起學(xué)生對(duì)圖形特征的認(rèn)識(shí)，又能為多邊形面積的計(jì)算做鋪墊。單元主要內(nèi)容包括平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積以及解決問(wèn)題，各板塊內(nèi)容的編排既有一致性和統(tǒng)整性，同時(shí)又各有側(cè)重，體現(xiàn)出清晰的層次性和關(guān)聯(lián)性。下面基于圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量一致性的角度，結(jié)合教材編寫特點(diǎn)對(duì)本單元做簡(jiǎn)要分析。（一）以面積單位的度量為起點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生整體建構(gòu)知識(shí)長(zhǎng)度是對(duì)一維空間的度量，面積是對(duì)二維空間的度量，體積是對(duì)三維空間的度量，其本質(zhì)具有一致性，即計(jì)算所要度量的圖形包含多少個(gè)度量單位[2]。《多邊形的面積》這一單元以度量作為起點(diǎn)，在平行四邊形的面積探究中，通過(guò)數(shù)格子、填表格，尋找平行四邊形與長(zhǎng)方形的關(guān)系，感受計(jì)算平行四邊形的面積就是看它包含了多少個(gè)面積單位，從而進(jìn)一步深刻領(lǐng)會(huì)計(jì)算面積的度量本質(zhì)。教材在解決問(wèn)題中編排了借助方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形面積的內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)估計(jì)的事物找到合適的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行估測(cè)，這也是對(duì)面積單位度量本質(zhì)的鞏固和運(yùn)用。教材從“認(rèn)識(shí)面積和面積單位”到“長(zhǎng)方形、正方形的面積”再到“多邊形的面積”，以面積單位貫穿始終，讓學(xué)生經(jīng)歷了“量的認(rèn)識(shí)———量的比較———用公式求量”的過(guò)程。這樣的邏輯體系還將貫穿于后續(xù)體積的學(xué)習(xí)過(guò)程，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯性和系統(tǒng)性，有助于學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)，更有利于學(xué)生構(gòu)建整體知識(shí)圖譜。（二）以圖形內(nèi)在聯(lián)系為主線，促進(jìn)學(xué)生自主遷移本單元的內(nèi)容編排體現(xiàn)出各圖形間緊密的內(nèi)在聯(lián)系。首先，平行四邊形的面積公式推導(dǎo)是將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，三角形的面積公式推導(dǎo)是將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，梯形的面積公式推導(dǎo)是將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或者三角形，組合圖形的面積是將組合圖形轉(zhuǎn)化為幾個(gè)學(xué)過(guò)的圖形。將未知轉(zhuǎn)化為已知的前提是清晰地認(rèn)識(shí)各個(gè)圖形的特征和關(guān)系。其次，轉(zhuǎn)化完成后，需要更進(jìn)一步分析轉(zhuǎn)化前后圖形的內(nèi)在聯(lián)系，從而成功推導(dǎo)出新圖形的面積計(jì)算公式。這種“轉(zhuǎn)化———找聯(lián)系———推導(dǎo)公式”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思維方式，在后續(xù)學(xué)習(xí)圓的面積、圓柱體的體積等活動(dòng)中，能提高學(xué)生自主遷移和學(xué)習(xí)能力。教材在編排的過(guò)程中，還通過(guò)練習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生感悟和發(fā)現(xiàn)各種圖形間的內(nèi)在聯(lián)系。如人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)第88頁(yè)第8題，溝通長(zhǎng)方形與平行四邊形的聯(lián)系；第10題安排在平行四邊形面積的后面，為三角形面積的探究做鋪墊；第102頁(yè)第5題，通過(guò)深度對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)長(zhǎng)方形的面積也可以看成是底×高，當(dāng)梯形的上底和下底相等時(shí)，就變成了平行四邊形，當(dāng)梯形的上底為0時(shí)，其實(shí)就是三角形，從而使學(xué)生進(jìn)一步了解幾種圖形面積與底和高的關(guān)系。（三）以動(dòng)手實(shí)踐為主要學(xué)習(xí)方式，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索本單元各部分內(nèi)容編排遵循“生活情境———抽象圖形———活動(dòng)探究———公式推導(dǎo)———公式運(yùn)用”的基本流程，且教材都沒有呈現(xiàn)公式推導(dǎo)的過(guò)程，留給學(xué)生觀察、猜想、操作、推理、驗(yàn)證的空間，讓學(xué)生在剪、拼、擺等動(dòng)手實(shí)踐、推理驗(yàn)證的過(guò)程中，逐步發(fā)展空間觀念、推理意識(shí)并提高解決問(wèn)題的能力。平行四邊形的面積是讓學(xué)生在數(shù)格子的活動(dòng)中逐步引發(fā)猜想，從而通過(guò)剪、拼把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形；三角形的面積是讓學(xué)生把三角形轉(zhuǎn)換為已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形；梯形的面積留給學(xué)生更大的探索空間，讓學(xué)生用學(xué)過(guò)的知識(shí)自主探索梯形的面積計(jì)算公式。同時(shí)，教材內(nèi)容的編排促使學(xué)生將動(dòng)手實(shí)踐與推理結(jié)合起來(lái)，在面積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，需要學(xué)生的思維從操作層面上升到推理層面，以等積變換或者倍積變換的方式，將新圖形轉(zhuǎn)化為已知圖形，然后經(jīng)歷對(duì)比觀察、尋找聯(lián)系、整合信息、重建表達(dá)等思維活動(dòng)，找到轉(zhuǎn)化前后圖形的關(guān)系，推導(dǎo)出圖形的面積計(jì)算公式，這個(gè)推理的過(guò)程既是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)重建的過(guò)程，也是積累經(jīng)驗(yàn)，提升素養(yǎng)的過(guò)程。二、教學(xué)建議基于上述教學(xué)內(nèi)容分析，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)有以下幾點(diǎn)建議。（一）以度量為本質(zhì)，借助標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)生成“單位”思想度量的本質(zhì)在于用標(biāo)準(zhǔn)單位刻畫描述物體某一方面的屬性。面積度量的本質(zhì)是相同面積單位個(gè)數(shù)的累加。研究長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積就是在計(jì)數(shù)這些圖形里面包含多少個(gè)面積單位。長(zhǎng)方形、正方形的面積是用每行的面積單位個(gè)數(shù)乘行數(shù)，即長(zhǎng)乘寬。求平行四邊形、三角形和梯形的面積，也可以將這些圖形看作是一行有幾個(gè)面積單位，通過(guò)觀察有這樣的幾行，進(jìn)而推導(dǎo)出這些圖形的面積。本單元可以借助每個(gè)面積為1cm的方格紙作為度量標(biāo)準(zhǔn)，幫助學(xué)生自主轉(zhuǎn)化圖形，推導(dǎo)面積公式，生成“單位”思想。例如，教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，學(xué)生借助方格紙，數(shù)平行四邊形的面積，可以通過(guò)多次拼湊把每一行移成整格，數(shù)出有這樣的幾行，也可以直接一次移拼把平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形，再用每行個(gè)數(shù)乘行數(shù)。不同計(jì)數(shù)面積的方式都得到了平行四邊形包含了幾個(gè)1平方厘米，即面積就是幾平方厘米。通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)先轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形再計(jì)算的方法會(huì)更快。脫離方格的情況下，再讓學(xué)生通過(guò)操作、觀察、比較、交流發(fā)現(xiàn)平行四邊形和轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)平行四邊形的底和高的長(zhǎng)度與面積單位計(jì)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，深化面積公式的理解，深入理解度量本質(zhì)。在研究三角形、梯形等其他平面圖形和的面積時(shí)，也可以通過(guò)“單位”思想的方法“數(shù)”出來(lái)。（二）以轉(zhuǎn)化為主線，溝通聯(lián)系，發(fā)展推理意識(shí)“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的一種重要思想方法，在本單元的學(xué)習(xí)中，不論是推導(dǎo)基本圖形的面積公式，還是計(jì)算組合圖形的面積，每出現(xiàn)一種新的圖形，都要突出“將未知轉(zhuǎn)化為已知”這一基本轉(zhuǎn)化思想。例如，教學(xué)“三角形的面積”時(shí)，可適當(dāng)放手讓學(xué)生自主探究，通過(guò)計(jì)數(shù)、剪拼、觀察、歸納推理活動(dòng)中，借助“單位”思想和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在面積單位湊整的過(guò)程中學(xué)生生成自主轉(zhuǎn)化意識(shí)。通過(guò)“割補(bǔ)法”的等積變換和“倍拼法”的倍積變換兩種不同方法把三角形轉(zhuǎn)化為已學(xué)的長(zhǎng)方形和平行四邊形，再推導(dǎo)出它的面積。探索過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)圖形的特征、關(guān)系和轉(zhuǎn)化，體驗(yàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。在教學(xué)“梯形的面積”“組合圖形的面積”時(shí)，可完全放手讓學(xué)生自主探索。在單元整理復(fù)習(xí)課中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)研究這些平面圖形的面積都是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。同時(shí)，轉(zhuǎn)化思想也是后期學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ)。（三）以“經(jīng)驗(yàn)”為紐帶，聯(lián)系實(shí)際，提升應(yīng)用意識(shí)五年級(jí)學(xué)生已有面積、面積單位、長(zhǎng)方形的面積等知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，教師在教學(xué)中要著重關(guān)注新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。例如，學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”時(shí)，要進(jìn)行面積、平行四邊形相關(guān)概念以及長(zhǎng)方形面積計(jì)算的復(fù)習(xí)回顧，把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)，有效開展教學(xué)。本單元在引入新課環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了真實(shí)的生活情境，學(xué)生可以運(yùn)用已有的生活經(jīng)驗(yàn)把實(shí)物的形狀抽象為平面圖形，進(jìn)而探索其大小，能較好地激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界。在實(shí)際生活中，有一些不規(guī)則圖形，無(wú)法直接算出面積，教師可以引導(dǎo)學(xué)生確定一個(gè)適合的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)去估計(jì)，也可以將不規(guī)則圖形近似看作規(guī)則圖形來(lái)估計(jì)面積，靈活采用不同的估