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文檔簡介
清單03直線的方程及其位置關(guān)系(個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練)【清單01】直線斜率的坐標(biāo)公式如果直線經(jīng)過兩點(diǎn),(),那么可得到如下斜率公式:(1)當(dāng)時(shí),直線與軸垂直,直線的傾斜角,斜率不存在;(2)斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān),橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換;(3)當(dāng)時(shí),斜率,直線的傾斜角,直線與軸重合或者平行。【清單02】兩條直線平行對于兩條不重合的直線,,其斜率分別為,,有.對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是:①兩條直線的斜率都存在;②與不重合.(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí),與的傾斜角都是,則.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是:或,斜率都不存在.【清單03】兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率,且它們互相垂直,那么它們的斜率之積等于;反之,如果它們的斜率之積等于,那么它們互相垂直,即.對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)成立的前提條件是:①兩條直線的斜率都存在;②且.(2)兩條直線中,一條直線的斜率不存在,同時(shí)另一條直線的斜率等于零,則兩條直線垂直.(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為:或一條直線的斜率不存在,同時(shí)另一條直線的斜率等于零.【清單04】直線的點(diǎn)斜式方程已知條件(使用前提)直線過點(diǎn)和斜率(已知一點(diǎn)+斜率)圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在(注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程)【清單05】直線的斜截式方程已知條件(使用前提)直線的斜率為且在軸上的縱截距為(已知斜率+縱截距)圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在(注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程)【清單06】直線的截距式方程已知條件(使用前提)直線在軸上的截距為,在軸上的截距為圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件,【清單07】直線的一般式方程定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明:1.、不全為零才能表示一條直線,若、全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時(shí),方程可變形為,它表示過點(diǎn),斜率為的直線.當(dāng),時(shí),方程可變形為,即,它表示一條與軸垂直的直線.由上可知,關(guān)于、的二元一次方程,它都表示一條直線.2.在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線,反過來,一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程.3.解題時(shí),如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.【清單08】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)直線:()和:()的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對應(yīng).與相交方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解;與平行方程組無解;與重合方程組有無數(shù)個(gè)解.【清單09】兩點(diǎn)間的距離平面上任意兩點(diǎn),間的距離公式為特別地,原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.【清單10】點(diǎn)到直線的距離平面上任意一點(diǎn)到直線:的距離.【清單11】兩條平行線間的距離一般地,兩條平行直線:():()間的距離.【清單12】對稱問題點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題(聯(lián)立兩個(gè)方程)求點(diǎn)關(guān)于直線:的對稱點(diǎn)①設(shè)中點(diǎn)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,將代入直線:中;②整理得:【考點(diǎn)題型一】斜率與傾斜角變換關(guān)系核心方法:圖象法【例1】(24-25高二上·湖北黃岡·期中)已知點(diǎn),若,則直線AB的傾斜角的取值范圍為(
)A. B.C. D.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角、斜率與傾斜角的變化關(guān)系、已知兩點(diǎn)求斜率【分析】利用兩點(diǎn)式求斜率,結(jié)合參數(shù)范圍有,根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系確定傾斜角范圍.【詳解】由題設(shè),則直線AB的傾斜角的取值范圍為.故選:B【變式1-1】(24-25高二上·河北張家口·期中)如圖,直線,,,的斜率分別為,,,,則(
)
A. B.C. D.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】斜率與傾斜角的變化關(guān)系【分析】由圖可知直線的傾斜角為鈍角,斜率為負(fù),直線的傾斜角為銳角,斜率為正,以及根據(jù)傾斜角的大小判斷斜率的大小可得答案.【詳解】直線的傾斜角為鈍角,斜率為負(fù),且直線的傾斜角大于直線的傾斜角,直線的傾斜角為銳角,斜率為正,直線的傾斜角大于直線的傾斜角,所以.故選:D.【變式1-2】(24-25高二上·廣東廣州·期中)設(shè)直線l的斜率為k,且,則直線l的傾斜角的取值范圍為(
)A. B.C. D.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】斜率與傾斜角的變化關(guān)系【分析】按照的正負(fù)分類討論.【詳解】時(shí),傾斜角的范圍是,當(dāng)時(shí),傾斜角的范圍是,綜上,傾斜角范圍是.故選:B.【考點(diǎn)題型二】直線與線段有公共點(diǎn),求斜率取值范圍核心方法:圖象法【例2】(24-25高二上·廣東惠州·期中)已知點(diǎn),過點(diǎn)的直線與線段(含端點(diǎn))有公共點(diǎn),則直線的斜率的取值范圍為(
)A. B.C. D.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】求出,再結(jié)合圖形求出斜率的取值范圍即可.【詳解】解:因?yàn)镻,,所以,因?yàn)橹本€與線段AB(含端點(diǎn))有公共點(diǎn),則或故直線的斜率的范圍為.故選:D.【變式2-1】(24-25高二上·河南信陽·期中)已知,B2,1,,經(jīng)過點(diǎn)C作直線l,若直線l與線段AB沒有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍為(
)A. B.C. D.【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角、斜率與傾斜角的變化關(guān)系、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】由題知,或,再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.【詳解】設(shè)直線l的斜率為,直線l的傾斜角為,則,因?yàn)橹本€的斜率為,直線的斜率為,因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn),且與線段沒有公共點(diǎn),所以,或,即或,因?yàn)椋裕手本€l的傾斜角的取值范圍是.故選:C.
【變式2-2】(24-25高二上·廣東深圳·期中)已知點(diǎn),若過點(diǎn)的直線與線段AB相交,則該直線斜率的取值范圍是(
)A. B. C. D.[1,4]【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】記為點(diǎn),求出的斜率,結(jié)合圖象可得結(jié)論.【詳解】記為點(diǎn),則直線PA的斜率,直線PB的斜率,因?yàn)橹本€過點(diǎn),且與線段AB相交,結(jié)合圖象,可得直線的斜率的取值范圍是[1,4].故選:D.【考點(diǎn)題型三】利用斜率的幾何意義求代數(shù)值(范圍)核心方法:圖象+轉(zhuǎn)化【例3】(2024高二·全國·專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)x,y滿足,且.(1)求的取值范圍;(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求分式型目標(biāo)函數(shù)的最值、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】(1)由題意畫出圖形,再由的幾何意義為線段上的點(diǎn)與定點(diǎn)O0,0連線的斜率,即可求出的取值范圍;(2)由題意畫出圖形,再由的幾何意義為線段上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)如圖,由于點(diǎn)Px,y滿足關(guān)系式,且,所以點(diǎn)在線段上移動(dòng),且兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.由于的幾何意義是直線的斜率,且,,所以的取值范圍是.(2)因?yàn)榈膸缀我饬x是過,兩點(diǎn)的直線的斜率,由題意可知點(diǎn)在線段上移動(dòng),且兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.則,,所以.所以的取值范圍為.【變式3-1】(22-23高二上·四川雅安·開學(xué)考試)已知實(shí)數(shù)x,y滿足,且,求的最大值和最小值.【答案】最大值為3,最小值為【知識(shí)點(diǎn)】直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】作出對應(yīng)圖象,利用斜率與傾斜角的關(guān)系,找出其邊界情況即可求解.【詳解】由于點(diǎn)滿足關(guān)系式,且,可知點(diǎn)在線段AB上移動(dòng),并且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可分別求得為,.令,易得的幾何意義是直線PQ的斜率,且,,如圖:所以的最大值為3,最小值為.【考點(diǎn)題型四】求直線方程【例4】(24-25高二上·重慶·期中)已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是,,.(1)求邊上的高所在的直線方程;(2)求邊上的中線所在的直線方程;(3)求角平分線所在的直線方程.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、由兩條直線垂直求方程、根據(jù)直線的方向向量求直線方程【分析】(1)利用斜率坐標(biāo)公式及垂直關(guān)系求出高所在直線的斜率,再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得;(2)求出中點(diǎn)坐標(biāo)及中線所在直線的斜率,再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得;(3)先求出直線的單位向量,結(jié)合角平分線求出角平分線所在的直線的方向向量,結(jié)合方向向量和直線斜率的關(guān)系即可求出斜率,再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】(1)直線的斜率,則邊上的高所在的直線斜率為,直線又過,所以AB邊上的高所在的直線方程為,即.(2)依題意,邊的中點(diǎn),因此邊上的中線所在直線的斜率,直線又過,所以邊上的中線所在直線的方程為,即.(3)由題意知:,故與同方向的單位向量為:,與同方向的單位向量為:,故角平分線所在的直線的方向向量為:,設(shè)角平分線所在的直線的斜率為,又直線的方向向量可以表示為,,直線又過,故角平分線所在的直線方程為:,即.【變式4-1】(24-25高二上·天津?yàn)I海新·期中)已知點(diǎn),,,根據(jù)條件求出直線方程,并化為一般式方程(1)求過點(diǎn)A且與平行的直線方程;(2)邊上的中線所在直線的方程;(3)邊上的高所在直線方程;(4)邊的垂直平分線的方程.【答案】(1);(2);(3);(4).【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、由兩條直線平行求方程、由兩條直線垂直求方程【分析】(1)根據(jù)平行求直線斜率,寫出直線點(diǎn)斜式方程,化成一般式.(2)求出線段中點(diǎn)坐標(biāo),分析可得直線方程.(3)利用垂直求直線斜率,寫出直線點(diǎn)斜式方程,化成一般式.(4)求出線段中點(diǎn)坐標(biāo),利用垂直求直線斜率,寫出直線點(diǎn)斜式方程,化成一般式.【詳解】(1)的斜率:,所求直線的方程為,整理得.(2)因?yàn)?,,所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)椋赃吷系闹芯€所在直線的方程.(3)的斜率:,所以邊上的高所在直線方程的斜率,邊上的高所在直線方程:,整理得.(4)由題意知:的中點(diǎn)坐標(biāo)為,,邊的垂直平分線的斜率:,邊的垂直平分線的方程:,整理得.【考點(diǎn)題型五】兩條直線平行與垂直關(guān)系的判定核心方法:斜率相等或斜率相乘為-1【例5】(24-25高二上·貴州六盤水·期中)(1)已知,,,判斷,,三點(diǎn)是否在同一條直線上;(2)已知直線的傾斜角為,直線經(jīng)過,兩點(diǎn),判斷與是否垂直.【答案】(1)三點(diǎn)在同一直線上;(2)與互相垂直【知識(shí)點(diǎn)】由斜率判斷兩條直線平行、由斜率判斷兩條直線垂直【分析】(1)計(jì)算可得,可得結(jié)論;(2)計(jì)算可得,可得結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)锳0,3,B4,0,所以,又直線均過點(diǎn),所以點(diǎn)三點(diǎn)在同一條直線上;(2)因?yàn)橹本€的傾斜角為,所以直線的斜率,因?yàn)橹本€經(jīng)過,兩點(diǎn),所以,所以,所以與互相垂直.【變式5-1】(24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí))(1)判斷下列不同的直線與是否平行:的斜率為2,經(jīng)過兩點(diǎn);(2)判斷下列直線與是否垂直;的傾斜角為45°,經(jīng)過兩點(diǎn).【答案】(1);(2);【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、由斜率判斷兩條直線垂直、由斜率判斷兩條直線平行【分析】(1)計(jì)算的斜率,根據(jù)兩直線斜率相等,即可判斷出結(jié)論;(2)計(jì)算出,的斜率,根據(jù)斜率之積即可判斷出結(jié)論.【詳解】(1)的斜率為2,經(jīng)過兩點(diǎn),則的斜率為,即,的斜率相等,且兩直線不同,故;(2)的傾斜角為45°,且斜率為1,經(jīng)過兩點(diǎn),則的斜率為,即兩直線斜率之積等于,故.【變式5-2】(24-25高二上·全國·課堂例題)判斷下列兩條直線是否垂直,并說明理由:(1),;(2),;(3),.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】由斜率判斷兩條直線垂直【分析】(1)由兩直線斜率乘積等于得垂直;(2)由兩直線斜率乘積等于得垂直;(3)由兩直線一條斜率為0,一條斜率不存在得垂直.【詳解】(1)兩直線的斜率,,由,則.(2)兩直線的斜率,,由,則.(3)的斜率為0,的斜率不存在,.【考點(diǎn)題型六】根據(jù)兩條直線平行與垂直關(guān)系求參數(shù)核心方法:斜率相等或斜率相乘為-1【例6-1】(24-25高二上·浙江·期中)已知,兩直線,若,則的最小值為(
)A.12 B.20 C.26 D.32【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、已知直線垂直求參數(shù)【分析】由垂直關(guān)系可構(gòu)造關(guān)于a,b的方程,再結(jié)合基本不等式即可求得的最小值.【詳解】由得:,化簡得:,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故選:D.【變式6-1】(24-25高二上·廣東·期中)已知直線與.若,則(
)A. B.1 C. D.2【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)【分析】根據(jù)直線平行列方程,從而求得的值.【詳解】由于,所以,此時(shí)兩直線方程分別為,不重合,符合題意,所以.故選:B【變式6-2】(24-25高二上·福建福州·期中)直線與直線平行,則.【答案】-3【知識(shí)點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)【分析】根據(jù)兩直線平行的判定方法,列方程計(jì)算求出的值并檢驗(yàn)即得.【詳解】依題意,可得且,解得或,因,故.故答案為:-3.【變式6-3】(24-25高二上·遼寧·期中)已知直線:,:,若,則的值為.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】已知直線垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件,利用直線垂直的充要條件列式計(jì)算即得.【詳解】直線:,:,由,得,所以或.故答案為:或【考點(diǎn)題型七】求平行,垂直的直線方程核心方法:斜率相等或斜率相乘為-1【例7】(24-25高二上·云南楚雄·階段練習(xí))求滿足下列條件的直線的方程:(1)直線過點(diǎn),且與直線平行;(2)直線過點(diǎn),且與直線垂直.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、由兩條直線平行求方程、由兩條直線垂直求方程【分析】分別利用平行與垂直求出直線斜率,再由點(diǎn)斜式直線方程可得.【詳解】(1)直線與直線平行,可得的斜率.又過點(diǎn),由點(diǎn)斜式可得:,即:.(2)由直線的斜率為,直線與直線垂直,所以直線的斜率,又過點(diǎn),由點(diǎn)斜式可得:,即:.【變式7-1】(24-25高二上·北京順義·期中)經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為(
)A. B.C. D.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由兩條直線平行求方程【分析】先根據(jù)直線平行設(shè)出直線方程,再代入點(diǎn)即可求解.【詳解】由直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行,可設(shè)直線方程為:,將代入,即,解得:,故直線方程為:.故選:B.【變式7-2】(24-25高二上·江蘇鹽城·期中)過點(diǎn),且與直線垂直的直線方程是(
)A. B.C. D.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由兩條直線垂直求方程【分析】根據(jù)兩直線垂直設(shè)直線方程為,代入點(diǎn)坐標(biāo)解出即可.【詳解】由題意可設(shè)與直線垂直的直線方程為,代入點(diǎn)得,解得,則該直線方程為.故選:B.【考點(diǎn)題型八】直線過定點(diǎn)問題核心方法:兩條直線相交交點(diǎn)坐標(biāo)【例8】(24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中)對于任意的實(shí)數(shù),直線恒過定點(diǎn)(
)A. B. C. D.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題【分析】分離參數(shù),聯(lián)立方程組可得解.【詳解】直線,即,令,解得,即直線恒過定點(diǎn),故選:B.【變式8-1】(24-25高二上·浙江·期中)直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題【分析】整理成關(guān)于的方程,從而得到方程組,解出即可.【詳解】,即,則,解得,則其經(jīng)過定點(diǎn).故答案為:.【變式8-2】(24-25高二上·浙江·期中)直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題【分析】化直線方程為,即可得出答案.【詳解】化直線方程為:,即定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:.【考點(diǎn)題型九】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題(定值)核心方法:三角形面積公式【例9】(24-25高二上·湖北武漢·期中)已知的頂點(diǎn),邊AB上的中線CD所在直線方程為,邊AC上的高線BE所在直線方程為.(1)求邊BC所在直線的方程;(2)求的面積.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、由兩條直線垂直求方程、求平面兩點(diǎn)間的距離、求點(diǎn)到直線的距離【分析】(1)利用,求出直線AC的方程,聯(lián)立CD所在直線方程,解出,設(shè)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解出,又因?yàn)樵谥本€BE上,在CD上,求解出,從而得到BC所在直線的方程.(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式求解到直線BC的距離,再用兩點(diǎn)間的距離求解出,從而求出的面積.【詳解】(1)因?yàn)?,所以設(shè)直線AC的方程為:,將代入得,所以直線AC的方程為:,聯(lián)立AC,CD所在直線方程:,解得,設(shè),因?yàn)闉锳B的中點(diǎn),所以,因?yàn)樵谥本€BE上,在CD上,所以,,解得,,所以,,所以BC所在直線的方程為:,即.(2)由(1)知點(diǎn)到直線BC的距離為:,又,所以.【變式9-1】(24-25高二上·福建福州·期中)已知的三個(gè)頂點(diǎn)是,,.(1)求邊上的高所在的直線方程;(2)求的面積.【答案】(1)(2)3【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、已知兩點(diǎn)求斜率、直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、求點(diǎn)到直線的距離【分析】(1)由斜率的定義得到直線AC的斜率,再由兩直線垂直得到高線的斜率,然后由點(diǎn)斜式求出即可;(2)方法一由斜率值積關(guān)系得到,再由三角形面積公式求出即可;方法二由點(diǎn)斜式得到直線AC的方程,再由點(diǎn)到距離的公式求出,然后由三角形面積求解即可;方法三由向量的數(shù)量積為零得到,再由向量的模長和三角形的面積公式求出即可;【詳解】(1)由題意可得:直線AC的斜率則AC邊上的高所在直線的斜率,又這條直線過點(diǎn),所以直線方程為,即.(2)(方法一)因?yàn)椋?,所以,所以,因?yàn)椋?,(方法二)?1)知直線AC的斜率,則直線AC的方程為,即,點(diǎn)到直線的距離,因?yàn)?,,(方法三)因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)?,所?【變式9-2】(24-25高二上·山東煙臺(tái)·期中)已知的頂點(diǎn),邊上的高所在直線方程為,的平分線所在的直線方程為.(1)求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求的面積.【答案】(1),(2)7【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、求直線交點(diǎn)坐標(biāo)、求點(diǎn)到直線的距離、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】(1)聯(lián)立,得,因?yàn)榈钠椒志€所在的直線方程為,所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上,所以,由此可得直線的方程;根據(jù)垂直直線的直線系方程可設(shè)直線的方程為,代入點(diǎn)可求,進(jìn)而聯(lián)立直線和即可;(2)求出點(diǎn)到直線的距離,利用兩點(diǎn)間的距離公式求出,再利用三角形面積公式求解即可.【詳解】(1)因?yàn)檫吷系母咚谥本€方程為,的平分線所在的直線方程為,所以聯(lián)立,得,設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,所以解得,即,所以,所以直線的方程為.因?yàn)檫吷系母咚谥本€方程為,所以設(shè)直線的方程為,代入,得所以直線的方程為,聯(lián)立,解得.(2)因?yàn)檫吽谥本€方程為,所以,點(diǎn)A到直線的距離,,所以.【考點(diǎn)題型十】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題(最值)核心方法:三角形面積公式+基本不等式【例10】(24-25高二上·福建福州·期中)平面直角坐標(biāo)系Oxy中,射線,,過作直線分別與交于A,B兩點(diǎn).(1)若,求直線的方程;(2)求面積的最小值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、三線能圍成三角形的問題【分析】(1)直線上去交點(diǎn)坐標(biāo),由向量的關(guān)系,建立方程,解得一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),寫出直線方程;(2)討論直線斜率是否存在,當(dāng)斜率不存在時(shí),顯然沒有三角形,舍去;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線方程,聯(lián)立方程組求解出點(diǎn)坐標(biāo)得到的值,由點(diǎn)到直線的距離公式得到三角形的高,用三角形面積公式得到三角形面積的表達(dá)式,通過的取值范圍得到函數(shù)的最小值.【詳解】(1)設(shè),,則,∵,∴,∴,則,∴,即(2)當(dāng)直線與的斜率不存在時(shí),,與兩個(gè)交點(diǎn)重合,舍去;當(dāng)直線與的斜率存在時(shí),設(shè),聯(lián)立方程組解得,即;同理,聯(lián)立方程組,解得,即,原點(diǎn)到直線的距離∵,∴,當(dāng)時(shí),最大,此時(shí)取最小值,∴最小值為.【變式10-1】(24-25高二上·廣東·期中)已知直線.(1)求原點(diǎn)到直線l距離的最大值:(2)若直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)面積最小時(shí),求對應(yīng)的直線l的方程.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】直線截距式方程及辨析、直線過定點(diǎn)問題、求點(diǎn)到直線的距離【分析】(1)確定直線過定點(diǎn),當(dāng)時(shí),原點(diǎn)到直線的距離最大,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可求;(3)設(shè)直線的方程為,,由直線過定點(diǎn),可得,然后結(jié)合基本不等式可求.【詳解】(1)(1)直線可化為,令,解得,,即直線恒過定點(diǎn);當(dāng)時(shí),原點(diǎn)到直線的距離最大,此時(shí)最大值;(2)設(shè)直線的方程為,,因?yàn)橹本€過定點(diǎn),所以,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào),得,故面積,即面積的最小值為4,此時(shí)直線方程為,即.【變式10-2】(24-25高二上·福建福州·階段練習(xí))已知直線.(1)直線經(jīng)過定點(diǎn)嗎?若經(jīng)過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不經(jīng)過定點(diǎn),說明理由;(2)求原點(diǎn)到直線距離的最大值;(3)若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于兩點(diǎn),當(dāng)面積最小時(shí),求對應(yīng)的直線的方程.【答案】(1)直線恒過定點(diǎn);(2)(3)面積的最小值為4,直線方程為【知識(shí)點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題、求平面兩點(diǎn)間的距離、求點(diǎn)到直線的距離、直線圍成圖形的面積問題【分析】(1)直線可化為,然后結(jié)合直線系方程可求;(2)當(dāng)時(shí),原點(diǎn)到直線的距離最大,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可求;(3)設(shè)直線的方程為,,由直線過定點(diǎn),可得,然后結(jié)合基本不等式可求.【詳解】(1)直線可化為,令,解得,,即直線恒過定點(diǎn);(2)當(dāng)時(shí),原點(diǎn)到直線的距離最大,此時(shí)最大值;(3)設(shè)直線的方程為,,因?yàn)橹本€過定點(diǎn),所以,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取等號(hào),得,故面積,即面積的最小值為4,此時(shí)直線方程為,即.【考點(diǎn)題型十一】易錯(cuò)點(diǎn)根據(jù)截距求直線方程核心方法:分類討論【例11】(24-25高二上·福建三明·階段練習(xí))直線l過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線l的方程為.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、直線截距式方程及辨析【分析】利用分類討論,結(jié)合點(diǎn)斜式方程與截距式方程,可得答案.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),斜率為,則方程為;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),由題意方程可設(shè),代入,可得,解得,則方程為.故答案為:或.【變式11-1】(24-25高二上·安徽亳州·階段練習(xí))若直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù),則直線的方程為.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】直線截距式方程及辨析【分析】通過討論截距為0和不為0兩類情況討論即可.【詳解】當(dāng)截距為0時(shí),過點(diǎn)和原點(diǎn),所以的方程為,即;當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)的方程為,由過點(diǎn),得,解得,所以的方程為.故答案為:或【變式11-2】(2024·陜西西安·一模)過點(diǎn),在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】直線截距式方程及辨析【分析】按直線是否過原點(diǎn),結(jié)合直線的截距式方程求解即得.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距和在軸上的截距相等,則直線方程為;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為,則,解得,直線方程為,所以所求直線方程為或.故答案為:或【考點(diǎn)題型十二】點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)【例12】(24-25高二上·海南省直轄縣級單位·期中)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)垂直和中點(diǎn)坐標(biāo)列式求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為:.【變式12-1】(24-25高二上·廣東汕尾·階段練習(xí))設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】根據(jù)斜率關(guān)系以及中點(diǎn)在已知直線上列出方程組,由此可求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,故答案為:.【變式12-2】(24-25高二上·江西南昌·階段練習(xí))已知點(diǎn),則點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】設(shè)出該點(diǎn)坐標(biāo),借助點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為,則有,解得,故該點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:.【考點(diǎn)題型十三】直線關(guān)于點(diǎn)對稱問題(求關(guān)于點(diǎn)的對稱直線,則)核心方法:方法一:在直線上找一點(diǎn),求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn),根據(jù),再由點(diǎn)斜式求解;方法二:由,設(shè)出的直線方程,由點(diǎn)到兩直線的距離相等求參數(shù).方法三:在直線任意一點(diǎn),求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn),則該點(diǎn)在直線上.【例13】(23-24高二上·全國·課后作業(yè))直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線【分析】根據(jù)直線關(guān)于點(diǎn)對稱,設(shè)上的點(diǎn)坐標(biāo),寫出關(guān)于對稱的點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在已知直線上求直線方程.【詳解】設(shè)為上任意一點(diǎn),則關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,因?yàn)樵谥本€l上,所以,即直線的方程為.故答案為:【變式13-1】(23-24高一下·江西撫州)與直線關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線的方程為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線【分析】若在關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線方程上,則在上,代入即可得其關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線的方程.【詳解】若在直線關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線方程上,則在上,∴,得.故答案為:【變式13-2】(24-24高二·全國·課后作業(yè))已知直線與關(guān)于點(diǎn)對稱,則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線【分析】在直線上取點(diǎn),,則M,N關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)分別為,再將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中可求出的值.【詳解】在直線上取點(diǎn),,M,N關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)分別為.點(diǎn)在直線上,,解得,.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查直線的對稱問題,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題【考點(diǎn)題型十四】直線關(guān)于直線對稱問題(兩直線平行)核心方法:直線:()和:()平行,求關(guān)于直線的對稱直線①②在直線上任取一點(diǎn),求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),利用點(diǎn)斜式求直線.【例14】(24-25高二上·全國·課后作業(yè))已知直線與關(guān)于直線對稱,求直線的方程.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求平行線間的距離、由距離求已知直線的平行線、求關(guān)于平行直線對稱的直線【分析】由直線斜率得與直線平行,由兩條平行線距離公式得與直線間的距離,由對稱關(guān)系得與平行和與距離,接著設(shè)直線方程,依據(jù)與距離列式求解并檢驗(yàn)即可得解.【詳解】易知,所以與直線平行,與直線間的距離為,又因?yàn)榕c關(guān)于直線對稱,所以與平行,且兩直線間的距離為,設(shè)直線,所以,解得或,當(dāng)時(shí),直線與直線間的距離為,即直線與關(guān)于直線不對稱;當(dāng)時(shí),直線與直線間的距離為,符合,所以.【變式14-1】(2024高三·全國·專題練習(xí))直線關(guān)于直線對稱的直線方程為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】直線關(guān)于直線對稱問題【分析】因?yàn)閮芍本€平行,設(shè)所求直線方程為,由直線與直線間的距離,求得b的值,得直線方程.【詳解】設(shè)所求直線方程為,且,直線與直線間的距離為,則直線與直線間的距離為,又,得,所以所求直線方程為,故答案為:.【變式14-2】(24-25高二·全國·課后作業(yè))已知直線,,.(1)求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程;(2)求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程.【答案】(1);(2).【知識(shí)點(diǎn)】求關(guān)于平行直線對稱的直線、直線關(guān)于直線對稱問題【分析】(1)由于,所以,可設(shè)的方程為,在直線上取點(diǎn),求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),代入方程,即得解;(2)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為也在上,另取上不同于的一點(diǎn),求出關(guān)于的對稱點(diǎn)為,利用兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程,即得解【詳解】(1)因?yàn)?,所以.設(shè)直線的方程為(,且).在直線上取點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則,解得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程,得,解得,所以直線的方程為.(2)由,得,所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.另取上不同于A的一點(diǎn),設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為,則,得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以過與的直線的方程為,即.【考點(diǎn)題型十五】直線關(guān)于直線對稱問題(兩直線相交)核心方法:對稱性【例15】(23-24高三上·湖北·階段練習(xí))直線關(guān)于軸對稱的直線方程是(
)A. B.C. D.【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直線關(guān)于直線對稱問題、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】設(shè)點(diǎn)設(shè)是所求直線上任意一點(diǎn),然后結(jié)合點(diǎn)的對稱性與已知條件代入求解即可;【詳解】設(shè)是所求直線上任意一點(diǎn),則關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為,且在直線上,代入可得,即.故選:C.【變式15-1】(24-25高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí))直線關(guān)于直線對稱的直線方程是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】直線關(guān)于直線對稱問題【分析】先求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再求得直線上一點(diǎn),關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程,即可求解.【詳解】聯(lián)立方程組,解得,即兩直線的交點(diǎn)為,由方程,令,可得,即直線過點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則滿足,解得,即,所以,所以對稱直線的方程為,即.故答案為:.【變式15-2】(2024·福建廈門·模擬預(yù)測)已知直線:關(guān)于直線的對稱直線為軸,則的方程為.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】直線關(guān)于直線對稱問題【分析】根據(jù)題意,求出與軸的交點(diǎn),設(shè)出直線的方程,根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在軸上,列出方程,即可得到結(jié)果.【詳解】
直線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),設(shè)直線的方程為,則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在軸上,所以,則的中點(diǎn)在直線上,所以①,又②,聯(lián)立①②可得或,所以直線的方程為或.故答案為:或.【考點(diǎn)題型十六】將軍飲馬問題核心方法:對稱性【例16】(23-24高二上·江蘇泰州·階段練習(xí))已知點(diǎn),,點(diǎn)在直線上,則的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】將軍飲馬問題求最值、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)、求平面兩點(diǎn)間的距離【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)換為結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示,
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則,解得,即,所以,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,其中點(diǎn)為與直線的交點(diǎn).故答案為:.【變式16-1】(24-25高二上·吉林長春·期中)已知為直線上的一點(diǎn),則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】將軍飲馬問題求最值【分析】記點(diǎn)、,可得出,求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo),由對稱性可得,由、、三點(diǎn)共線時(shí),取最小值,即可得解.【詳解】記點(diǎn)、,則,如下圖所示:
設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,且直線的斜率為,由題意可得,解得,故原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,由對稱性可知,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,因此,的最小值為.故選:D.【變式16-2】(24-25高二上·黑龍江大慶·階段練習(xí))已知點(diǎn),直線,在直線上找一點(diǎn)使得最小,則這個(gè)最小值為(
)A. B.8 C.9 D.10【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】將軍飲馬問題求最值、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】利用對稱求關(guān)于直線對稱點(diǎn)為,結(jié)合將軍飲馬模型求最小值.【詳解】令關(guān)于直線對稱點(diǎn)為,則,可得,由,則,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào),故最小值為10.故選:D提升訓(xùn)練一、單選題1.(24-25高二上·湖北·期中)已知三點(diǎn),則過點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí),直線斜率的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】畫出草圖,先求出直線和直線的斜率,直線與線段有公共點(diǎn)時(shí),找出直線的斜率的臨界狀態(tài)即可.【詳解】運(yùn)用兩點(diǎn)間的斜率公式,,,過點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí),如圖所示,直線斜率的取值范圍是.
故選:B.2.(24-25高二上·北京·期中)若直線:與直線:平行,則(
)A.3 B.C.3或 D.3或1【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件,利用兩直線平行的充要條件列式計(jì)算即得.【詳解】由直線:與直線:平行,得,所以.故選:A3.(24-25高二上·山東濟(jì)南·期中)“”是“直線與直線平行”的(
)A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、已知直線平行求參數(shù)【分析】由兩直線平行斜率相等的關(guān)系求解即可;【詳解】當(dāng)時(shí),直線,直線,此時(shí)兩直線斜率相等,且兩截距,所以兩直線平行,故充分性成立;當(dāng)直線與直線平行時(shí),有,解得或3,故必要性不成立,故選:B.4.(24-25高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí))已知點(diǎn),直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍(
)A. B.C. D.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】求出PA,PB所在直線的斜率,判斷直線l的傾斜角與斜率的變化,數(shù)形結(jié)合得答案.【詳解】點(diǎn),直線的斜率,直線的斜率,直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率滿足或,即或,所以直線l的斜率的取值范圍為.故選:D.5.(24-25高三上·北京豐臺(tái)·期中)已知函數(shù)過定點(diǎn)M,點(diǎn)M在直線上且,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題、直線的一般式方程及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定定點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合題設(shè)有,應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式最小值.【詳解】由題設(shè),恒過點(diǎn),則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以目標(biāo)式最小值為.故選:A6.(24-25高二上·重慶·開學(xué)考試)已知點(diǎn),在直線上存在一點(diǎn),使最小,則點(diǎn)坐標(biāo)為(
)A. B. C. D.【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求直線交點(diǎn)坐標(biāo)、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)【分析】根據(jù)題意,點(diǎn)A、B在直線的同側(cè),利用軸對稱的性質(zhì)求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo),可知直線與的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn),進(jìn)而求得答案.【詳解】設(shè)為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),則的中點(diǎn)為,由軸對稱的性質(zhì),可得,解得,即.直線的方程為,即,由,解得,即直線與交于點(diǎn).,當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí),即直線上的點(diǎn)與重合時(shí),達(dá)到最小值,故滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選:C7.(24-25高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)),函數(shù)的最小值為(
)A.2 B. C. D.【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】用兩點(diǎn)間的距離公式求函數(shù)最值、求點(diǎn)到直線的距離【分析】利用兩點(diǎn)之間的距離及點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn),和直線,到l的距離分別為,易知,顯然.當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào).故選:C8.(24-25高二上·山東濟(jì)南·期中)若三條直線,,不能圍成三角形,則實(shí)數(shù)的取值最多有(
)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)、求直線交點(diǎn)坐標(biāo)、由直線的交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)【分析】分析可知直線與直線或直線平行,或直線過點(diǎn),進(jìn)而列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程,解得,可知:直線的斜率為,的斜率為,且直線、的交點(diǎn)為,若三條直線不能圍成三角形,則直線與直線或直線平行,或直線過點(diǎn),可知直線的斜率存在,且為,可得或或,解得或或,所以實(shí)數(shù)的取值最多有3個(gè).故選:B.二、多選題9.(24-25高二上·江蘇常州·期中)設(shè)a為實(shí)數(shù),直線,,則(
)A.當(dāng)時(shí),不經(jīng)過第一象限 B.的充要條件是C.若,則或 D.恒過點(diǎn)【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、已知直線平行求參數(shù)、已知直線垂直求參數(shù)、直線過定點(diǎn)問題【分析】利用反證法可判斷A的正誤,利用平行或垂直的判斷方法可判斷BC的正誤,求出過的定點(diǎn)后可判斷D的正誤.【詳解】對于A,若過第一象限的點(diǎn),則,且,但故,矛盾,故不過第一象限,故A正確;對于B,若,則,故或,由直線可得,而當(dāng)時(shí),兩條直線的方程分別為:,,此時(shí)兩條直線平行,符合,反之,也成立,故的充要條件為,故B正確;對于C,若,,故或,但不為零,故C錯(cuò)誤;對于D,直線可化為:,由可得,即直線過定點(diǎn),故D錯(cuò)誤;故選:AB10.(24-25高二上·全國·單元測試)已知兩條直線,的方程分別為與,下列結(jié)論正確的是(
)A.若,則 B.若,則兩條平行直線之間的距離為C.若,則 D.若,則直線,一定相交【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)、已知直線垂直求參數(shù)、求平行線間的距離【分析】根據(jù)兩直線平行求出的值,可判斷A選項(xiàng);利用平行線間的距離公式可判斷B選項(xiàng);根據(jù)兩直線垂直求出的值,可判斷C選項(xiàng);根據(jù)兩直線相交求出的范圍,可判斷D選項(xiàng).【詳解】兩條直線,的方程分別為與,它們不重合,若,則,得,檢驗(yàn)符合,故A選項(xiàng)正確;若,由A選項(xiàng)可知,:,直線的方程可化為,故兩條平行直線之間的距離為,故B選項(xiàng)不正確;若,則,得,故C選項(xiàng)不正確;由A選項(xiàng)知,當(dāng)時(shí),,所以若,則直線,一定相交,故D選項(xiàng)正確.故選:AD.三、填空題11.(24-25高二上·遼寧大連·期中)已知直線,,若直線與關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程為.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】求直線交點(diǎn)坐標(biāo)、直線關(guān)于直線對稱問題【分析】利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算l的斜率結(jié)合直線與的交點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】
易知與縱軸交于,交橫軸于點(diǎn),聯(lián)立直線與方程,得兩直線交點(diǎn)為,如上圖所示網(wǎng)格中構(gòu)造直角三角形,易知,即,又,所以,即為兩直線與夾角的平分線,所以直線符合題意,易知其方程為;當(dāng)直線l過點(diǎn)C且與垂直時(shí),也符合題意,此時(shí)直線方程為.故答案為:或.12.(24-25高二上·湖南·階段練習(xí))已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn),則的最小值為.【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】將軍飲馬問題求最值【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱,可得可得對稱點(diǎn)為,即可利用三點(diǎn)共線求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),則,解得,故,故,故最小值為:5四、解答題13.(24-25高二上·北京平谷·期中)求下列直線方程(1)已知,,,在中:(ⅰ)求BC邊所在的直線方程(ⅱ)求BC邊上的垂直平分線所在直線的方程,(2)已知點(diǎn),求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為3的直
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