專題04 圓的方程及直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 21個(gè)考點(diǎn)清單題型解讀）（解析版）

清單04圓的方程及直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【清單02】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與：位置關(guān)系的方法:幾何法:設(shè)到圓心的距離為，則①則點(diǎn)在外②則點(diǎn)在上③則點(diǎn)在內(nèi)【清單03】圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)；記;①若點(diǎn)在外，則;②若點(diǎn)在上，則;③若點(diǎn)在內(nèi)，則;【清單04】圓的一般方程對(duì)于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形說明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項(xiàng)；③.【清單05】直線與圓的位置關(guān)系:幾何法圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離?！厩鍐?6】直線與圓相交記直線被圓截得的弦長(zhǎng)為的常用方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長(zhǎng)公式：2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長(zhǎng)公式：【清單07】直線與圓相切（1）圓的切線條數(shù)①過圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線②過圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線③過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線（2）過一點(diǎn)的圓的切線方程（）①點(diǎn)在圓上步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)）②點(diǎn)在圓外記切線斜率為，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出（注意若此時(shí)求出的只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為）（3）切線長(zhǎng)公式記圓:；過圓外一點(diǎn)做圓的切線，切點(diǎn)為,利用勾股定理求；切線長(zhǎng)公式【清單08】圓上點(diǎn)到直線的最大（?。┚嚯x設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為①當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；②當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；③當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：，最小距離為：；【清單09】圓與圓的公共弦1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程【考點(diǎn)題型一】二元二次方程表示曲線與圓的關(guān)系核心方法：當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.【例1】（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】將方程化為圓的一般方程，利用列式即可求.【詳解】若方程表示一個(gè)圓，則，方程可化為，所以，解得，且不等于0，所以或.故選：D【變式1-1】（24-25高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．. D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】圓的一般式中，由得到不等式，求出a的取值范圍.【詳解】表示圓，則，解得.故選：A【變式1-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若方程表示圓，則（

）A．1 B． C． D．或1【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】根據(jù)圓的一般式方程，建立方程，分別檢驗(yàn)方程的解，可得答案.【詳解】由題意可得，化簡(jiǎn)可得，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得方程，整理可得，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，可得，整理可得，符合題意.故選：A.【考點(diǎn)題型二】求圓的方程【例2】（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求過已知三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，結(jié)合題意，求出過點(diǎn)B1,?1與直線垂直的直線方程及線段的垂直平分線的方程，聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)，繼而可求出半徑，即可求解.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)B1,?1，可得過點(diǎn)B1,?1與直線垂直的直線方程為．又由A0,?1、B1,?1，可得線段的垂直平分線的方程，聯(lián)立方程組，解得，，即圓心坐標(biāo)為．又由，即圓的半徑為，所以圓的方程為．故答案為：.【變式2-1】（24-25高二上·河南洛陽·期中）已知，，，則的外接圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求圓的一般方程【分析】設(shè)的外接圓方程為，代入三點(diǎn)坐標(biāo)求出系數(shù)即可.【詳解】設(shè)的外接圓方程為，因?yàn)镺0,0，，，所以，解得，所以的外接圓方程為.故選：D.【變式2-2】（24-25高二上·陜西·期中）過點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求過已知三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)條件建立方程組，聯(lián)立方程求解出，即可求解.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A過點(diǎn)，，三點(diǎn)，所以①，②，③，由①②得到④，由②③得到⑤，由④⑤解得，代入①，得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.【考點(diǎn)題型三】判斷直線與圓的位置關(guān)系核心方法：幾何法或代數(shù)法【例3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知圓，直線，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法判斷【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷直線與圓的位置關(guān)系【分析】確定直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而得直線與圓位置關(guān)系．【詳解】由已知直線過定點(diǎn)，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，因此直線與圓相交．故選：C．【變式3-1】（24-25高二上·江蘇南京·期中）設(shè)k為實(shí)數(shù)，直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題、判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、判斷直線與圓的位置關(guān)系【分析】找到直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可確定交點(diǎn)數(shù).【詳解】由，即直線恒過，而圓可化為，所以，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓恒有2個(gè)交點(diǎn).故選：C【變式3-2】（23-24高二上·江西贛州·期中）已知直線與圓，則直線與圓相交．．【答案】正確【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、由圓心（或半徑）求圓的方程、判斷直線與圓的位置關(guān)系【分析】求出圓的圓心及半徑，再利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算判斷即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，點(diǎn)到直線的距離為，因此直線與圓相交.故答案為：正確【考點(diǎn)題型四】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)核心方法：幾何法【例4】（24-25高二上·遼寧·期中）已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)方程表示圓以及直線與圓的位置關(guān)系得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可為，則，解得或，圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相離，則，整理可得，即，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式4-1】（24-25高二上·吉林通化·期中）若直線與曲線C：有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），求出直線與圓相切時(shí)的值，再結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由得，所以曲線是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的軸的上半部分（含軸），直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，解得或（舍去），當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線斜率為，結(jié)合圖形可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式4-2】（24-25高二上·遼寧·期中）已知直線與圓相切，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解即可【詳解】由題意，得圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，所以，解得.故選：B【考點(diǎn)題型五】直線與圓交點(diǎn)坐標(biāo)核心方法：代數(shù)法聯(lián)立【例5】（23-24高三上·江蘇南通）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，且弧的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求直線與圓交點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，則，即可取出直線的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，解得即可.【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，即，所以，又，所以，所以直線為，又圓：，所以，解得或，所以.故答案為：【變式5-1】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)圓C：，直線l：x－y－5＝0，則圓C上到直線l距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)和最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．【答案】最近點(diǎn)；最遠(yuǎn)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)】求直線與圓交點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】先判斷直線和圓的位置關(guān)系，然后求得過圓的圓心且與直線垂直的直線方程，通過聯(lián)立方程來求得最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.直線的斜率為，所以過且與直線垂直的直線方程為，由解得或，結(jié)合圖象可知：最近點(diǎn)；最遠(yuǎn)點(diǎn).故答案為：最近點(diǎn)；最遠(yuǎn)點(diǎn)【考點(diǎn)題型六】直線與圓相交（韋達(dá)定理應(yīng)用）核心方法：代數(shù)法聯(lián)立，求韋達(dá)定理【例6】（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過點(diǎn)和.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程；(3)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】由圓心（或半徑）求圓的方程、直線與圓相交的性質(zhì)——韋達(dá)定理及應(yīng)用、過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程【分析】（1）圓心在直線上，且在的垂直平分線上，聯(lián)立兩直線方程求得圓心，半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意點(diǎn)在圓上，求出，則得切線斜率，由點(diǎn)斜式方程求出切線方程；（3）由題意可知直線的斜率一定存在，故可設(shè)直線，與圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求出即可.【詳解】（1）因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，所以圓心在的垂直平分線上，因?yàn)?，中點(diǎn)為，所以的垂直平分線方程為，即，則，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，又，則切線斜率為，所以切線方程為，即為，所以過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為.（3）由題意可知直線的斜率一定存在，故可設(shè)直線，設(shè)，則，則①，故，，因?yàn)?，則，解得或（舍去），所以直線的方程為.【變式6-1】（24-25高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】軌跡問題——圓、直線與圓相交的性質(zhì)——韋達(dá)定理及應(yīng)用、直線與圓中的定點(diǎn)定值問題【分析】（1）設(shè)Px,y，代入，化簡(jiǎn)得，設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入，化簡(jiǎn)即得軌跡的方程；（2）由題知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與軌跡的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及斜率公式求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)Px,y，因?yàn)?，所以，等?hào)兩邊分別平方，得，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）解：由題知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，點(diǎn)Mx1,由方程組，消去，化簡(jiǎn)得.由，解得.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，則，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決直線與圓錐曲線問題的題目時(shí)，常將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立起來，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【變式6-2】（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知圓．(1)若滿足，求的取值范圍；(2)若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)為銳角時(shí)，求的取值范圍；【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、直線與圓相交的性質(zhì)——韋達(dá)定理及應(yīng)用【分析】（1）將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)換為直線方程，利用直線與圓有交點(diǎn)來建立不等關(guān)系，得到范圍.（2）聯(lián)立直線方程與圓的方程得到關(guān)于的二次方程，利用韋達(dá)定理得出和的值，已知夾角為銳角，借助向量數(shù)量積為正數(shù)建立不等關(guān)系，得出范圍.【詳解】（1），令，即直線與圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離小于等于半徑，即解得或．即（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，，將直線代入，整理，得，，，，即，當(dāng)為銳角時(shí)，，解得，又，或．故的取值范圍為．【變式6-3】（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期中）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)P的軌跡為C．(1)求C的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)A的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】軌跡問題——圓、直線與圓相交的性質(zhì)——韋達(dá)定理及應(yīng)用【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)距離公式以及得到的等量關(guān)系即為軌跡方程；（2）分類討論直線的斜率是否存在，斜率不存在時(shí)直接計(jì)算即可，斜率存在時(shí)聯(lián)立直線與軌跡方程，利用坐標(biāo)法結(jié)合不等式完成計(jì)算.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，化?jiǎn)得：，所以的軌跡方程為：；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，代入的軌跡方程可得，不妨令，所以，所以；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立，可得，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以；綜上可知，的取值范圍為.【考點(diǎn)題型七】過圓上一點(diǎn)作圓的切線核心方法：幾何法（圓心到直線距離等于半徑）【例7】（24-25高二上·山西·期中）已知在中，，，，記的外接圓為圓.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求過已知三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程【分析】（1）方法一，求兩條線段垂直平分線的交點(diǎn)確定圓心，圓心到圓上一點(diǎn)的距離確定半徑，從而得到圓的方程；方法二，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，待定系數(shù)法求圓的方程.（2）先求圓心與點(diǎn)連線的斜率，利用垂直關(guān)系，確定切線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解切線方程.【詳解】（1）（方法一）直線的方程為，、的中點(diǎn)為，所以線段的中垂線方程為，直線的方程為，、的中點(diǎn)為，線段的中垂線方程為.直線與直線的交點(diǎn)為，即圓的圓心為.點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，即圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（方法二）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）圓的圓心為，，直線的斜率為，所以切線斜率為，所求切線方程為，整理得.【變式7-1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程【分析】由圓E的方程可得圓心E的坐標(biāo)，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，可得P點(diǎn)在圓上，求出直線PE的斜率，得到過P點(diǎn)的切線的斜率，再求出過P點(diǎn)的切線方程.【詳解】由圓的方程，可得圓心坐標(biāo)為，將的坐標(biāo)代入圓的方程，得，則點(diǎn)在圓上，又，所以過點(diǎn)與圓相切的直線的斜率為1，所以過點(diǎn)的切線方程為，即.故選：D.【變式7-2】（24-25高二上·福建·期中）已知點(diǎn)，.(1)求直線MN的一般式方程；(2)求以線段MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)求（2）中的圓在點(diǎn)處的切線方程.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程及辨析、由圓心（或半徑）求圓的方程、過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程【分析】（1）利用兩點(diǎn)式求出直線斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程求解即可；（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，即可得到圓的方程；（3）先求得切線的斜率，代入點(diǎn)斜式直線方程，即可求解.【詳解】（1）直線MN的斜率為，則直線MN的方程為，即.（2）由題意可知圓心C為線段MN的中點(diǎn)，即，半徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）直線CP的斜率為，則所求切線的斜率為，故所求的切線方程為，即.【考點(diǎn)題型八】過圓外一點(diǎn)作圓的切線核心方法：幾何法（圓心到直線距離等于半徑）【例8】（24-25高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）平面直角坐標(biāo)系中，曲線與兩條坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)都在圓上.(1)求圓的方程;(2)過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程.【答案】(1)(2)或【知識(shí)點(diǎn)】求過已知三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程【分析】（1）求出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程，代入求解即可；（2）分類討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，再由圓心到直線的距離解出即可.【詳解】（1）由題意，令，則，令，則，所以曲線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為,設(shè)圓的一般方程為,則,解得,所以圓的方程為.（2）由（1）可知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，則圓心到直線的距離，滿足條件；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離，解得，故直線的方程為，即.綜上所示，切線的方程為或.【變式8-1】（24-25高二上·江蘇連云港·期中）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，.(1)求圓的方程；(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.【答案】(1)(2)或【知識(shí)點(diǎn)】求過已知三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般式方程，代入已知點(diǎn)建立方程組，可得答案；（2）利用分類討論思想，結(jié)合圓的切線性質(zhì)建立方程，可得答案.【小題1】設(shè)所求圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，，在所求的圓上，所以解得故所求圓的方程是.【小題2】當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線：與圓相切，滿足條件；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，可設(shè)直線的方程為即，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，從而，解得，因此，所求切線方程是或【變式8-2】（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）已知、，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程.【答案】(1)(2)或.【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程、求平面軌跡方程【分析】（1）設(shè)Px,y，由，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）利用圓心到直線的距離等于半徑，求切線方程.【詳解】（1）設(shè)Px,y，則，，由，得，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）曲線是以為圓心，1為半徑的圓，過點(diǎn)的直線若斜率不存在，直線方程這，滿足與圓相切；過點(diǎn)的切線若斜率存在，設(shè)切線方程為，即，有圓心到直線距離，解得，則方程為.過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為或.【考點(diǎn)題型九】切線長(zhǎng)核心方法：勾股定理【例9】（24-25高二上·廣東深圳·期中）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】切線長(zhǎng)【分析】由題意得當(dāng)最小時(shí)，連線與直線垂直，由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理可求得答案．【詳解】圓的圓心，半徑，設(shè)切點(diǎn)為，由題意可知，點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)最小時(shí)，，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以切線長(zhǎng)的最小值為：．故答案為：．【變式9-1】（24-25高二上·重慶·期中）已知直線是圓的一條對(duì)稱軸，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、切線長(zhǎng)【分析】由題設(shè)知圓心在直線上，得，再由兩點(diǎn)距離公式、圓的切線性質(zhì)求切線長(zhǎng).【詳解】由圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為2，因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，則，因?yàn)檫^點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，且，所以.故答案為：【變式9-2】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知圓，直線過點(diǎn).(1)求圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；(2)若直線與圓相切，求直線的方程；(3)當(dāng)直線的斜率存在且與圓相切于點(diǎn)時(shí)，求.【答案】(1)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為；(2)或；(3).【知識(shí)點(diǎn)】過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程、切線長(zhǎng)、由圓的一般方程確定圓心和半徑【分析】（1）把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓心坐標(biāo)和半徑；（2）對(duì)切線分斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線點(diǎn)斜式方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑建立等量關(guān)系，當(dāng)斜率不存在時(shí)，根據(jù)切線過點(diǎn)可求切線方程；（3）根據(jù)圓心與切點(diǎn)的連線垂直于切線，結(jié)合勾股定理求解.【詳解】（1）圓方程可化為:，圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為.（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，圓心到直線距離為，滿足題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程是，即.由圓心到直線的距離等于半徑得，，解得，此時(shí)直線的方程為.綜上，直線的方程為或.（3）∵圓的圓心坐標(biāo)為，，∴.如圖，由相切得，，，∴.【考點(diǎn)題型十】已知切線求參數(shù)核心方法：幾何法（圓心到直線距離等于半徑）+代數(shù)法【例10】（24-25高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）過點(diǎn)可以作圓的兩條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、已知切線求參數(shù)【分析】根據(jù)方程表示圓以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由圓的一般式方程知：，所以，，即，解得或，又知過點(diǎn)可作兩條切線，得點(diǎn)在圓外，即，即，綜上可知：.故選：A【變式10-1】（24-25高二上·山東菏澤·期中）已知圓與x軸相切，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化、已知切線求參數(shù)【分析】整理圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，明確圓心與半徑，由切線建立方程，可得答案.【詳解】由圓的方程整理可得圓，則圓心，半徑，由圓與軸相切，則，解得.故答案為：.【變式10-2】（24-25高二上·天津武清·期中）若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)．【答案】0或【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、已知切線求參數(shù)【分析】由圓的方程可求得圓心和半徑，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由可得：，所以圓心為，半徑為2，由題意可得：，解得：或，故答案為：0或【考點(diǎn)題型十一】切點(diǎn)弦及其方程【例11】（2024高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程、切點(diǎn)弦及其方程、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、由圓的一般方程確定圓心和半徑【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，兩方程作差后計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.【變式11-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則直線的方程為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】切點(diǎn)弦及其方程【分析】由二級(jí)結(jié)論：若點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)的連線段)所在直線的方程為（圓的方程為），代入即可的直線的方程.【詳解】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為:，化簡(jiǎn)得：.故答案為：.【變式11-2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）過原點(diǎn)O作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，求線段PQ的長(zhǎng)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】切線長(zhǎng)、切點(diǎn)弦及其方程【分析】由圓的方程確定圓心C、半徑r，根據(jù)切線段長(zhǎng)與半徑r、OC的幾何關(guān)系，求切線段長(zhǎng)，利用等面積法求切點(diǎn)弦的長(zhǎng)即可.【詳解】

由題意，可化為，∴圓心，半徑，則有，故切線段長(zhǎng)，若線段的長(zhǎng)為，則，得.【考點(diǎn)題型十二】直線與圓綜合（圓的弦長(zhǎng)）核心方法：【例12】（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，三點(diǎn)，直線的方程為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線恒過定點(diǎn)；(3)當(dāng)為何值時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短？并求出最短弦長(zhǎng).【答案】(1)(2)證明見解析(3)，【知識(shí)點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題、求圓的一般方程、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）將直線方程化為關(guān)于的多項(xiàng)式等于0，聯(lián)立方程組即可求解；（3）當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，求出此時(shí)圓心到直線的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，，則，解得，則圓的方程為，即；（2）直線的方程可化為，聯(lián)立，解得，故直線恒過定點(diǎn)；（3）設(shè)，，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，則直線的斜率為，由得直線的斜率為，解得，此時(shí)的方程為，即，圓心到直線的距離為，最短弦長(zhǎng).【變式12-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程；(3)求直線上被圓所截得的弦長(zhǎng)MN.【答案】(1)(2)或(3)【知識(shí)點(diǎn)】由圓心（或半徑）求圓的方程、過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)求解出圓心和半徑，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別考慮切線的斜率存在和不存在，斜率不存在時(shí)直接分析，斜率存在時(shí)根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑完成計(jì)算；（3）先計(jì)算出圓心到的距離，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解出被圓所截得的弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）由題意設(shè)圓心，因?yàn)?，即，解得，即，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則切線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，符合條件；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過的切線的方程為，即，則圓心到切線的距離，解得，此時(shí)切線的方程為：，即，綜上所述：過的切線方程為或.（3）圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)..【變式12-2】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知圓及點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)．(1)若弦長(zhǎng)，求直線的方程；(2)求△面積的最大值，并求此時(shí)弦長(zhǎng)的值．【答案】(1)或；(2)最大，此時(shí).【知識(shí)點(diǎn)】圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)、坐標(biāo)法的應(yīng)用——直線與圓的位置關(guān)系【分析】（1）根據(jù)已知，令直線，利用幾何法求點(diǎn)線距離，再應(yīng)用坐標(biāo)法列方程求參數(shù)，即可得直線方程；（2）令直線，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、弦長(zhǎng)公式及三角形面積求法列方程，利用基本不等式求面積最大值，注意取值條件即可得答案.【詳解】（1）若直線斜率不存在，則，此時(shí)，不符題設(shè)，由，則圓心，半徑為3，又，所以到直線的距離，令直線，則，可得，故或，所以直線的方程為或；（2）由（1）直線斜率不存在，有，又到直線的距離，則；若直線斜率存在，令，此時(shí)到直線的距離，，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立，所以，此時(shí)最大.【考點(diǎn)題型十三】已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)核心方法：【例13】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知圓C過點(diǎn)，，且圓心C在直線上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線l被圓截得的線段長(zhǎng)度為，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或.【知識(shí)點(diǎn)】由圓心（或半徑）求圓的方程、已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)【分析】（1）易知圓心在的中垂線上，求得中垂線方程，聯(lián)立兩直線，可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓的方程；（2）根據(jù)圓心與直線方程，結(jié)合垂徑定理可列方程，解方程即可.【詳解】（1）由，，則中點(diǎn)為，，易知圓心在的中垂線上，且中垂線斜率，則中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心，半徑，所以圓的方程為；（2）直線l被圓截得的線段長(zhǎng)度為，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，圓心到直線的距離，解得，即直線；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意，綜上所述，直線的方程為或.【變式13-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圓M經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心M在直線上.(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過點(diǎn)，且被圓M截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【知識(shí)點(diǎn)】求過已知三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)【分析】（1）設(shè)圓方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)到方程以及圓心的關(guān)系，解得參數(shù)，寫出圓的方程；（2）討論斜率是否存在：斜率不存在時(shí)直接得到直線方程，驗(yàn)證交點(diǎn)弦長(zhǎng)滿足題意；當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)用點(diǎn)斜式設(shè)直線，求出圓心到直線距離，由垂徑定理建立等式，求得斜率值，寫出直線方程.【詳解】（1）設(shè)圓M的方程為：，由題意得，解得，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可知圓的圓心為，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離，被圓截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線，由被圓截得的弦長(zhǎng)為，可得，則，解得，所以直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.【變式13-2】（24-25高二上·北京順義·期中）圓（圓心為整數(shù)點(diǎn)）經(jīng)過，，且滿足_________①與直線相切

②經(jīng)過點(diǎn)C?2,0

③圓心在直線上．請(qǐng)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件填到橫線上完成下列問題(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為6，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【知識(shí)點(diǎn)】由圓心（或半徑）求圓的方程、已知切線求參數(shù)、已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意可得線段的中垂線方程為，設(shè)圓心.若選①：結(jié)合相切關(guān)系列式求解即可；若選②：根據(jù)圓的定義列式求解即可；若選③：將代入直線運(yùn)算即可；（2）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)和半徑，由弦長(zhǎng)求得圓心到直線的距離，分類討論，斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式求得參數(shù)值得直線方程，斜率不存在時(shí)檢驗(yàn)．【詳解】（1）因?yàn)?，的中點(diǎn)為，且，則線段的中垂線方程為，即，可設(shè)圓心，則.若選①：因?yàn)閳A與直線相切，注意到位于直線的同側(cè)，則，解得，則，整理可得，解得或（舍去），即圓心，半徑，所以圓的方程為；若選②：因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，即圓心，半徑，所以圓的方程為；若選③：因?yàn)閳A心在直線上，則，解得，即圓心，半徑，所以圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€l被圓C截得的弦長(zhǎng)為6，則圓心到所求直線的距離為.當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l方程為，滿足題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為：，即，則，解得，此時(shí)直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.【考點(diǎn)題型十四】直線與圓的實(shí)際應(yīng)用核心方法：建系法【例14】（24-25高二上·廣西南寧·期中）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)的北偏西方向處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)，在平臺(tái)的正東方向處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)，規(guī)定經(jīng)過三點(diǎn)的圓以及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū).如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.(1)試寫出的坐標(biāo)，并求兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)之間的距離；(2)試求經(jīng)過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)某日經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在該平臺(tái)正南方向的處，有一艘輪船正以每小時(shí)的速度沿北偏東方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，請(qǐng)說明理由；如果進(jìn)入，則它在安全預(yù)警區(qū)內(nèi)會(huì)行駛多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】(1)，，(2)(3)輪船會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)，在安全預(yù)警區(qū)內(nèi)會(huì)行駛小時(shí)【知識(shí)點(diǎn)】求過已知三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、判斷直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、直線與圓的實(shí)際應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)實(shí)際意義可得坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可得AB；（2）假設(shè)圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)可求得方程，進(jìn)而整理得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）根據(jù)直線與圓位置關(guān)系的判定可知直線與圓相交，由此得到輪船會(huì)進(jìn)入該區(qū)域；根據(jù)垂徑定理可得弦長(zhǎng)，由此可求得行駛時(shí)長(zhǎng).【詳解】（1）由題意知：，，，，，.（2）設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為：，，解得：，所求圓的一般方程為：，則經(jīng)過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（3）由題意知：，則輪船航向所在直線方程為：，即，由（2）知：經(jīng)過三點(diǎn)的圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相交，即輪船會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)；設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，則，則輪船在安全預(yù)警區(qū)內(nèi)會(huì)行駛小時(shí).【變式14-1】（24-25高二上·海南·期中）據(jù)文獻(xiàn)及繪畫作品記載，中國最早的拱橋可以追溯到東漢或西晉時(shí)期.某拱橋及其示意圖如下，橋拱是一段圓弧，橋的跨度，拱高，與相距的支柱，則（

）A．5 B． C．15 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的實(shí)際應(yīng)用【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)由弦長(zhǎng)及拱高構(gòu)造等量關(guān)系，由勾股定理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)拱橋所在圓心為，連接，作于點(diǎn)，如下圖所示：設(shè)圓的半徑為，在中利用勾股定理可得，即，解得；易知，在中，易知，即，解得.故選：C【變式14-2】（24-25高二上·浙江·期中）一條東西走向的高速公路沿線有三座城市，其中在正西處，在正東處，臺(tái)風(fēng)中心在城市西偏南方向處，且以每小時(shí)的速度沿東偏北方向直線移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)必須保持一級(jí)警戒，則從地解除一級(jí)警戒到地進(jìn)入一級(jí)警戒所需時(shí)間（單位：小時(shí)）在以下哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（

）A． B． C． D．12,1【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的實(shí)際應(yīng)用【分析】根據(jù)題意作出示意圖計(jì)算從地解除一級(jí)警戒到地進(jìn)入一級(jí)警戒臺(tái)風(fēng)的路程，然后計(jì)算時(shí)間即可.【詳解】

作與，作與，直線的方程為，故又可得，，，從地解除一級(jí)警戒到地進(jìn)入一級(jí)警戒所需時(shí)間為小時(shí).故選：A【考點(diǎn)題型十五】直線與圓的定點(diǎn)問題核心方法：韋達(dá)定理【例15】（24-25高二上·遼寧·期中）已知圓的圓心在以點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，圓的所有過點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)為.(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，【知識(shí)點(diǎn)】已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)、直線與圓中的定點(diǎn)定值問題【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)分別求得和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)線段的垂直平分線斜率為，則，求得，再應(yīng)用點(diǎn)斜式即可求得線段垂直平分線的方程，從而得.易知當(dāng)弦垂直于時(shí)，弦長(zhǎng)最短，代入弦長(zhǎng)公式即可求得，從而得到圓的方程.（2）根據(jù)題意知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，將直線與圓的方程聯(lián)立并化簡(jiǎn)，設(shè)，列出韋達(dá)定理.通過點(diǎn)坐標(biāo)可得直線的方程，令，可得點(diǎn)，同理得，再利用中點(diǎn)公式求的中點(diǎn)縱坐標(biāo)并化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）設(shè)線段的垂直平分線斜率為，則，所以.又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為，即，則圓心的坐標(biāo)在上，所以.因?yàn)?，圓的所有過點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)為，易知最短弦垂直于，所以,所以，則圓的方程為.（2）證明：顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為，與圓的方程聯(lián)立并消去得，設(shè)，則，直線的方程為，令，得，所以.同理得，所以線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，是一個(gè)定點(diǎn).【變式15-1】（24-25高二上·貴州六盤水·期中）若圓與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，，且為線段PQ的中點(diǎn)，則稱是的m等距共軛圓.已知點(diǎn)，均在圓上，圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若圓是圓的8等距共軛圓，設(shè)圓心的軌跡為.（i）求的方程.（ii）已知點(diǎn)，直線l與曲線交于異于點(diǎn)H的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若直線HE與HF的斜率之積為3，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)（i）；（ii）直線過定點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)】軌跡問題——圓、由圓心（或半徑）求圓的方程、已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)、直線與圓中的定點(diǎn)定值問題【分析】（1）設(shè)，根據(jù)解得，即可得圓心和半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）（i）分析可知，可知圓心的軌跡為是以為圓心，半徑的圓；（ii）分類討論直線l的斜率是否存在，根據(jù)斜率公式以及韋達(dá)定理分析求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)，且點(diǎn)，均在圓上，則，可得，解得，即圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）因?yàn)?，由題意可得：，可知圓心的軌跡為是以為圓心，半徑的圓，所以的方程為；（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，，聯(lián)立方程，消去y可得，則，且，因?yàn)椋砜傻?，則可得，即或，當(dāng)，直線過定點(diǎn)；當(dāng)，直線過定點(diǎn)，不合題意；可知直線過定點(diǎn)；若直線l的斜率不存在，設(shè)，則，即，且在圓上，則，即，解得，不合題意；綜上所述：直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法1.動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將b用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；2.動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)【變式15-2】（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知圓．(1)求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；(2)若點(diǎn)是圓上兩點(diǎn)，①若共線，求的面積最大值及此時(shí)直線的方程；②若直線斜率存在，且直線與斜率互為相反數(shù)，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)①3，；②證明見解析.【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓中的定點(diǎn)定值問題、過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程、直線與圓相交的性質(zhì)——韋達(dá)定理及應(yīng)用、已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)【分析】（1）判斷給定點(diǎn)在圓上，求出經(jīng)過切點(diǎn)的半徑所在直線的斜率即可求解出切線方程.（2）①利用三角形面積公式可得時(shí)，三角形面積最大，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出直線方程；②設(shè)出直線方程，與圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式計(jì)算推理即得.【詳解】（1）由，得點(diǎn)在圓上，則過點(diǎn)的圓半徑所在直線斜率為因此所求切線斜率為，方程為，即.（2）①顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)方程為，而圓半徑為，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)圓心到直線的距離，因此，解得，直線：，即，所以的面積最大值為3，直線的方程為.②設(shè)直線方程為，，由消去得，則，直線斜率，直線的斜率，依題意，，整理得，即有，化簡(jiǎn)得，經(jīng)驗(yàn)證的，因此直線：恒過定點(diǎn)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn).【考點(diǎn)題型十七】直線與圓的位置關(guān)系中的最值問題核心方法：幾何法【例16】（24-25高二上·寧夏銀川·期中）已知關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心在軸上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引的切線MA，求的最小值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值、由圓的一般方程確定圓心和半徑【分析】（1）利用給定條件求出參數(shù)，寫出一般方程，再轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可.（2）結(jié)合題意及勾股定理將切線長(zhǎng)用圓心到直線的距離進(jìn)行表示，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解最值即可.【詳解】（1）因?yàn)閳A的方程為，所以圓心坐標(biāo)為，由題意得圓關(guān)于直線對(duì)稱，故是圓的直徑，即在直線上，得到，而圓心在軸上，故，解得，代入到中，得到，解得，故圓的一般方程為，我們把它換為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）首先，可化為，如圖，作，且記直線為，由勾股定理得，故，當(dāng)最小時(shí)，一定最小，MA也一定最小，由平面幾何性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，取得最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式得，故.【變式16-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圓O：，直線．(1)若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，求k的值；(2)若時(shí)，點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，求四邊形的面積的最小值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、切線長(zhǎng)、直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得圓心到直線距離，再利用點(diǎn)到直線距離公式求解；（2）將四邊形的面積的最小值轉(zhuǎn)化為求的面積最小值，根據(jù)求其最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由垂徑定理得圓心到直線的距離為，則，解得；（2）當(dāng)時(shí)，直線，即由已知得又，所以的最小值為，又因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e的為，所以其最小值為【變式16-2】（24-25高二上·江西撫州·階段練習(xí)）（1）若直線的一個(gè)方向向量為，且在軸上的截距為，求直線的方程；（2）已知直線恒過定點(diǎn)P，直線恒過定點(diǎn)Q，已知和交于點(diǎn)M．①求出定點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；②求面積的最大值．【答案】（1）（2）①

②【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、直線過定點(diǎn)問題、直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值【分析】（1）由直線方向向量即可得到斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）①含參項(xiàng)合并整理直線方程，令參數(shù)前系數(shù)為0即可解得定點(diǎn)；②聯(lián)立方程組消掉參數(shù)即可得到交點(diǎn)的軌跡，利用圓上的點(diǎn)到直線距離最大值為圓心到直線距離加上半徑即可找到距離最大的點(diǎn)，此時(shí)面積最大.【詳解】（1）由題意得斜率，與軸交點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得直線：，即.（2）①整理方程得，當(dāng)時(shí)方程恒成立，∴同理可得，當(dāng)時(shí)方程恒成立，∴②聯(lián)立方程組即，則，∴，即，∴點(diǎn)圓心為半徑的圓上直線：，即，圓心到直線的距離，∴圓上的點(diǎn)到線段的最大距離為，此時(shí)則面積的最大值為：.【考點(diǎn)題型十七】判斷圓與圓的位置關(guān)系核心方法：幾何法【例17】（24-25高二上·河南鄭州·期中）已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．外切 C．相交 D．外離【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求平面兩點(diǎn)間的距離、由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、判斷圓與圓的位置關(guān)系【分析】化一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別求出兩圓的圓心與半徑，通過比較圓心距與半徑和差的大小關(guān)系即可位置關(guān)系.【詳解】圓，化為，圓心為，半徑為；圓，化為，圓心為，半徑為．則兩圓心距離為，因?yàn)?，所以圓與圓相交．故選：C．【變式17-1】（24-25高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）圓與的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷圓與圓的位置關(guān)系【分析】計(jì)算兩圓圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑．兩圓圓心距為，所以圓與圓內(nèi)切．故選：D.【變式17-2】（24-25高二上·浙江紹興·期中）圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷圓與圓的位置關(guān)系【分析】根據(jù)圓的方程寫出圓心和半徑，由圓心距與半徑和差關(guān)系判斷位置關(guān)系.【詳解】由的圓心為，半徑為，由的圓心為，半徑為3，所以圓心距為，即兩圓外切.故選：B【考點(diǎn)題型十八】由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)核心方法：幾何法【例18】（24-25高二上·重慶·期中）若圓與圓有公切線，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍、圓的公切線條數(shù)【分析】根據(jù)公切線的數(shù)量判斷兩圓位置關(guān)系，結(jié)合圓心距和半徑列出不等式，求解即可.【詳解】由題意知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，假設(shè)圓與圓沒有公切線，此時(shí)兩圓內(nèi)含，所以圓心距，即，解得，所以當(dāng)圓與圓有公切線時(shí)，實(shí)數(shù)的范圍是，故選：B.【變式18-1】（24-25高二上·重慶榮昌·期中）已知圓與圓有且僅有一條公共切線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．2或-1 D．3或【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍、圓的公切線條數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，可得圓內(nèi)切于圓，進(jìn)而求出的值【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，由圓與圓有且僅有一條公共切線，得圓內(nèi)切于圓，則，而，因此，所以或.故選：D【變式18-2】（24-25高二上·上?！て谥校┮阎獔A：和圓：外切，則的值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍【分析】分別求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.【詳解】由圓：和圓：可知，兩圓的圓心坐標(biāo)分別為，，兩圓的半徑分別為，，因?yàn)閮蓤A相外切，可得，解得.故答案為：.【考點(diǎn)題型十九】圓的公切線條數(shù)核心方法：幾何法【例19】（24-25高二上·河南洛陽·期中）已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】圓的公切線條數(shù)、判斷圓與圓的位置關(guān)系【分析】求出兩圓的圓心與半徑，利用圓心距判斷兩圓相交，即可求出兩圓的公切線的條數(shù)．【詳解】解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式是，圓心是，半徑是；圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式是，圓心是，半徑是；則，兩圓相交，公切線有2條．故選：B.【變式19-1】（24-25高二上·江蘇·期中）已知圓，圓，則圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷圓與圓的位置關(guān)系、圓的公切線條數(shù)【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，即可判斷公切線條數(shù).【詳解】由圓，可得，故圓心，半徑，由圓，可得，故故圓心，半徑，因?yàn)椋?，即兩圓相交，所以圓與圓的公切線條數(shù)為2.故選：B【變式19-2】（24-25高二上·重慶·期中）已知圓與圓有條公切線，則實(shí)數(shù)的取值是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍、圓的公切線條數(shù)【分析】根據(jù)條件得到圓與圓外切，再利用圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)閳A與圓有條公切線，所以圓與圓外切，又圓的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，所以，得到，又，所以，故答案為：.【考點(diǎn)題型二十】相交圓的公共弦方程核心方法：作差【例20】（24-25高二上·江西新余·階段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，與圓相切于，則直線的方程為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】相交圓的公共弦方程【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心與半徑，求得以為直徑的圓的方程，兩圓整理為一般式方程，相減可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，，的中點(diǎn)為，，，，在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，即，圓的一般方程為，兩圓方程相減得：，直線的方程為.故答案為：.【變式20-1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知圓：，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線的方程是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】相交圓的公共弦方程【分析】設(shè)，根據(jù)題意確定出四點(diǎn)共圓并求解出圓的方程，然后根據(jù)兩圓相交弦所在直線方程的求法求解出結(jié)果.【詳解】設(shè)，如下圖，因?yàn)闉閳A的切線，所以，所以，所以四點(diǎn)共圓，且為圓的直徑，記的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以?jīng)過四點(diǎn)的圓的方程為，顯然與的相交弦為，所以所在直線的方程為，即為，故答案為：.【變式20-2】（24-25高二上·天津河北·期中）已知圓和圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為：公共弦長(zhǎng)為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】相交圓的公共弦方程、兩圓的公共弦長(zhǎng)【分析】由兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程，再由弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得公共弦長(zhǎng)為.【詳解】易知兩圓相交，將兩圓方程相減可得，即；所以兩圓公共弦所在直線的方程為；易知圓的圓心為，半徑為；圓心到直線的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為：；【考點(diǎn)題型二十一】相交圓的公共弦長(zhǎng)核心方法：【例21】（23-24高三上·廣東汕尾）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓤A的公共弦長(zhǎng)【分析】求得以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】圓即，所以圓心為，半徑為，，所以在圓外.線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，，以為直徑的圓的方程為，即，由、兩式相減并化簡(jiǎn)得：，到直線的距離為，所以.故答案為：【變式21-1】（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）若圓：與圓：相交于、兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則線段的長(zhǎng)是．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓤A的公共弦長(zhǎng)【分析】畫出已知兩個(gè)圓的圖象，利用圓的性質(zhì)可以得到兩切線互相垂直時(shí)，滿足過對(duì)方的圓心，再利用直角三角形進(jìn)行求解.【詳解】如圖，

由兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直可知，兩條切線分別過兩圓的圓心，由相交圓公共弦的性質(zhì)可知，由切線性質(zhì)可知，在中，，所以，又斜邊上的高為，由等面積法可知，，即，解得.故答案為：【變式21-2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則直線AB的方程為；線段AB的長(zhǎng)為．

【答案】x＝±14【知識(shí)點(diǎn)】相交圓的公共弦方程、兩圓的公共弦長(zhǎng)【分析】連接OO1，記AB與OO1的交點(diǎn)為C，利用勾股定理和等面積法，求出，進(jìn)而求出，根據(jù)，求出，進(jìn)而聯(lián)立求出直線的方程.【詳解】連接OO1，記AB與OO1的交點(diǎn)為C，如圖所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4．由|OO1|＝5，得，所以，聯(lián)立可得，解得直線AB的方程為x＝±1．故答案為：①；②4.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·四川成都·期中）若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)題意過的圓心為，則，再根據(jù)“1”的妙用，即可得解.【詳解】整理圓的方程得，可知圓心坐標(biāo)為由題意可知：直線過圓心，即，可得，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為16.故選：C.2．（24-25高三上·天津·期中）經(jīng)過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求過已知三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】求得線段與的垂直平分線交點(diǎn)可得圓心，再求得半徑即可.【詳解】由可知，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因此可知圓心在線段的垂直平分線上，又可知，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的垂直平分線為，即；聯(lián)立，解得，因此圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B3．（24-25高二上·湖北·期中）圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、相交圓的公共弦方程、兩圓的公共弦長(zhǎng)【分析】將兩圓方程做差可得公共弦方程，再求出其中一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離，利用公共弦長(zhǎng)為求解即可．【詳解】圓①與圓②，①－②得，即公共弦方程為，又圓的半徑為，圓心為，圓心到直線距離，所以公共弦長(zhǎng)為.故選：C.4．（24-25高二上·福建福州·期中）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】直線斜率的定義、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】確定圓心和半徑，將題目轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)和點(diǎn)直線的斜率，畫出圖像，求得角度，計(jì)算斜率得到答案.【詳解】表示圓心為，半徑為2的圓，表示過點(diǎn)和點(diǎn)直線的斜率，如圖所示：直角中，，，,故，同理可得.所以.故選：B.5．（24-25高二上·福建福州·期中）過點(diǎn)的直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB最短時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當(dāng)最短時(shí)，直線，即可得到，從而可求直線的方程.【詳解】當(dāng)最短時(shí)，直線，所以，又，所以，所以直線的方程為，即..故選：A.6．（24-25高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）若直線與直線交于點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題、定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值（范圍）【分析】根據(jù)題意得直線分別過定點(diǎn)A3,2和且垂直，可得交點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（挖去點(diǎn)A3,2），利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以兩直線垂直，又直線過定點(diǎn)A3,2，直線過定點(diǎn)，所以，故交點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（挖去點(diǎn)），如圖所示，其中圓心，半徑為1，所以線段的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是隱形圓問題，根據(jù)題意得到直線分別過定點(diǎn)A3,2和且垂直，推斷出的軌跡是以為直徑的圓（挖去點(diǎn)A3,2）是解決本題的關(guān)鍵.7．（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則值為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合勾股定理建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】由題意得圓的圓心為，半徑為，直線可化為，且設(shè)圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，因?yàn)?，所以由勾股定理得，解得或，故B正確.故選：B8．（24-25高二上·浙江紹興·期中）已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線為切點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?，則的值為（

）A．4 B． C．1 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系先確定的最大時(shí)，P的位置，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】由圓，可知其圓心，半徑為r，由切線的性質(zhì)易知，則取最大時(shí)，PC最小，即，所以，又的最大值為，所以此時(shí)，則的值為.故選：D二、多選題9．（23-24高三上·海南儋州·開學(xué)考試）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】根據(jù)圓的一般方程列式求得，結(jié)合選項(xiàng)即可得結(jié)果.【詳解】若方程表示圓，則，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知：AB正確，CD錯(cuò)誤.故選：AB.10．（24-25高二上·重慶開州·階段練習(xí)）已知圓C：，直線l：.則以下幾個(gè)命題正確的有（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為C．直線與圓恒相交D．直線被圓截得最短弦長(zhǎng)時(shí)，直線的方程為【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】直線過定點(diǎn)問題、判斷直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、已知圓