專(zhuān)題05 橢圓、雙曲線、拋物線（選填）（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 15個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

清單05橢圓、雙曲線、拋物線（選填）（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)（,）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（）叫作橢圓的焦距.說(shuō)明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無(wú)圖形2、定義的集合語(yǔ)言表述集合.【清單02】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點(diǎn)坐標(biāo)，，的關(guān)系【清單03】雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語(yǔ)言表達(dá)式雙曲線就是下列點(diǎn)的集合:.3、說(shuō)明若將定義中差的絕對(duì)值中的絕對(duì)值符號(hào)去掉,則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支;(2)若,則,點(diǎn)的軌跡是靠近定點(diǎn)的那一支.【清單04】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點(diǎn)坐標(biāo)，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.【清單05】拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（其中定點(diǎn)不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．2、拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).【清單06】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類(lèi)型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線【考點(diǎn)題型一】橢圓,雙曲線，拋物線定義辨析【例1】（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是橢圓②動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是雙曲線③動(dòng)點(diǎn)滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線④動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是圓和一條直線（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-1】（24-25高二上·江蘇連云港·期中）一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則該動(dòng)圓圓心的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【變式1-2】（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．射線 D．橢圓或線段【考點(diǎn)題型二】利用圓錐曲線定義求軌跡方程【例2】（24-25高二上·重慶渝中·階段練習(xí)）平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式2-1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式2-2】（22-23高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)F（1，0），直線，若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是.【考點(diǎn)題型三】圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離及最值【例3】（2023·河南鄭州·一模）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（24-25高二上·吉林·期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【變式3-2】（23-24高二上·上海·期末）設(shè)，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為.【考點(diǎn)題型四】橢圓，雙曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題（周長(zhǎng)問(wèn)題）核心方法：圓錐曲線定義+余弦定理【例4-1】（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（

）A．8 B．9 C．10 D．20【例4-2】（24-25高二上·廣東江門(mén)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是雙曲線上一點(diǎn)，且．若的面積為，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．23+26【變式4-1】（23-24高二上·河南周口·期中）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.若點(diǎn)在上，則的周長(zhǎng)為.【變式4-2】（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)圓C與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切.(1)求圓心C的軌跡E的方程；(2)過(guò)曲線E上一點(diǎn)M（2，3）作斜率為的直線l，與曲線E交于另外一點(diǎn)N.試求的周長(zhǎng).【考點(diǎn)題型五】橢圓，雙曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題（面積問(wèn)題）核心方法：圓錐曲線定義+正、余弦定理+面積公式+基本不等式【例5-1】（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且，則面積為.【例5-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且直線與軸垂直.(1)證明：；(2)若的角平分線恰好過(guò)點(diǎn)，求的面積.【變式5-1】（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若，且的面積為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-2】（23-24高二上·四川達(dá)州·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若到原點(diǎn)的距離，則的面積是.【考點(diǎn)題型六】橢圓，雙曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題（其他問(wèn)題）【例6】（多選）（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知橢圓上有一點(diǎn)P，分別為左?右焦點(diǎn)，，的面積為S，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則B．使得為直角三角形的點(diǎn)共6個(gè)C．若為鈍角三角形，則D．的最大值是9【變式6-1】（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，的面積為，則（

）A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 B．的周長(zhǎng)為16C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的半徑為【變式6-2】（多選）（24-25高二上·山東·期中）已知橢圓：（）與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，，且它們的離心率之積為，點(diǎn)是與的一個(gè)公共點(diǎn)，則（

）A．橢圓的方程為 B．C．為等腰三角形 D．對(duì)于上的任意一點(diǎn)，【考點(diǎn)題型七】圓錐曲線中線段和差最值問(wèn)題【例7】（24-25高二上·吉林·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式7-1】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【變式7-2】（24-25高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為?，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為.【考點(diǎn)題型八】求圓錐曲線方程【例8】（24-25高二上·廣西玉林·期中）一動(dòng)圓與圓和都外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.【變式8-1】（24-25高二上·江蘇常州）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，若，則點(diǎn)所在曲線的方程為.【變式8-2】（24-25高二上·云南大理·期中）分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、.【考點(diǎn)題型九】判斷方程為橢圓、雙曲線的條件【例9】（23-24高二下·廣西柳州·階段練習(xí)）已知曲線.下列正確的是（

）A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是雙曲線，其漸近線方程為D．若，則是兩條直線【變式9-1】（多選）（23-24高二上·陜西寶雞·期末）若方程所表示的曲線為C，則（

）A．曲線C可能是圓B．若，則C不一定是橢圓C．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D．若C為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則【變式9-2】.（多選）（23-24高二上·湖北武漢·期中）若方程所表示的曲線為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若為橢圓，則B．若為雙曲線，則或C．若為橢圓，則焦距為定值D．若為雙曲線，則焦距為定值【考點(diǎn)題型十】圓錐曲線中的離心率（定值）【例10】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在雙曲線右支上，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．2【變式10-1】（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且平分，則此橢圓的離心率為.【變式10-2】（24-25高二上·湖南·期中）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交圓于，兩點(diǎn)，交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率為.【考點(diǎn)題型十一】圓錐曲線中的離心率（最值+范圍）【例11】（24-25高二上·安徽·期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)．若橢圓上存在兩點(diǎn)滿足，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式11-1】（24-25高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，若在直線上存在P，使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式11-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，若雙曲線右支上存在點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率的取值范圍是．【考點(diǎn)題型十二】拋物線中的和差最值問(wèn)題【例12】（24-25高二上·湖南·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，P是C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【變式12-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式12-2】（23-24高二下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到直線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【考點(diǎn)題型十三】拋物線中焦半徑問(wèn)題【例13】（24-25高二上·河南·期中）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，，在拋物線上，為的重心，則（

）A． B． C． D．【變式13-1】（2024·北京西城·三模）點(diǎn)F拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【考點(diǎn)題型十四】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例14】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）以為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【變式14-1】（23-24高三下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則的方程為（

）A． B． C． D．【變式14-2】（24-25高三上·云南昆明·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式14-3】（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）到點(diǎn)的距離比到直線的距離小的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型十五】圓錐曲線中新定義題（小題）【例15】（24-25高二上·上?！て谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)與直線間的“切比雪夫距離”，記作，給定下列兩個(gè)命題：①已知點(diǎn)，直線，則；②定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與直線（k為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)；下列說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（

）A．命題①成立，命題②不成立 B．命題①不成立，命題②成立C．命題①②都成立 D．命題①②都不成立【變式15-1】（24-25高二上·吉林·期中）如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱(chēng)為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點(diǎn)分別為，與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若存在.，則半橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式15-2】（24-25高二上·浙江臺(tái)州·期中）數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱(chēng)為“四葉玫瑰線”（如圖所示）．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2；③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為的正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·山東濟(jì)寧·期中）設(shè)分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且不與坐標(biāo)軸重合的直線橢圓于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（福建省龍巖市非一級(jí)達(dá)標(biāo)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，則點(diǎn)到的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．3 B． C．4 D．4．（2024·陜西商洛·一模）已知直線與拋物線交兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）已知雙曲線C：分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn).連接交雙曲線C左支于點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（

）A． B．2 C． D．56．（24-25高二上·廣西南寧·期中）已知拋物線，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，弦AB長(zhǎng)為12，則直線的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或7．（24-25高二上·河北石家莊·期中）如圖所示，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于軸，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）已知曲線，過(guò)上任意一點(diǎn)向軸引垂線，垂足為，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．9．（24-25高二上·浙江·期中）已知雙曲線：，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．10．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若上存在一點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題11．（24-25高二上·重慶·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則（