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文檔簡介
河南正陽第二高級(jí)中學(xué)2025屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A. B. C. D.2.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,則的一條對(duì)稱軸是()A. B. C. D.3.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn),直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A. B.3 C.2 D.4.國家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C.12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%5.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù),則使得成立的的取值范圍是().A. B.C. D.7.復(fù)數(shù)()A. B. C.0 D.8.已知的共軛復(fù)數(shù)是,且(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)()A.伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度B.伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖像向左平移個(gè)單位長度C.縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長度D.縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度10.已知,,則等于().A. B. C. D.11.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)12.已知,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.14.已知向量,,則______.15.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示,下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同;②支出最高值與支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入為50萬元;④利潤最高的月份是2月份.16.若變量,滿足約束條件則的最大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)點(diǎn),動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切.記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),且直線與軸交于點(diǎn),設(shè),,求證:為定值.18.(12分)若函數(shù)為奇函數(shù),且時(shí)有極小值.(1)求實(shí)數(shù)的值與實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)(1)求的值;(2)若,且,求的值.20.(12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,公差,、、成等比數(shù)列,數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.(12分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分別是AB,A1C的中點(diǎn).(1)求證:直線MN⊥平面ACB1;(2)求點(diǎn)C1到平面B1MC的距離.22.(10分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若是,寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
設(shè)為中點(diǎn),先證明平面,得出為所求角,利用勾股定理計(jì)算,得出結(jié)論.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形,且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題,關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角,再利用球心位置來求解出線段長,屬于中檔題.2、D【解析】
由題,得,由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性.3、D【解析】
本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計(jì)算離心率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對(duì)角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿足,即可得出,故選D.【點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì),難度偏難.4、D【解析】
根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對(duì)A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個(gè),所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對(duì)B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對(duì)C,12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對(duì)D,12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯(cuò)誤故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)?,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.6、B【解析】
由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù),由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,由此知在上單調(diào)遞減,從而將所求不等式化為,解絕對(duì)值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知:定義域?yàn)?,,為偶函?shù),當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,由得:,解得:或,的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題;奇偶性的作用是能夠確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性,單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系,進(jìn)而化簡不等式.7、C【解析】略8、D【解析】
設(shè),整理得到方程組,解方程組即可解決問題.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,所以,解得:,所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,此點(diǎn)位于第四象限.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識(shí),考查了方程思想,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
分析:根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.詳解:將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),
得到再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長度得到故選B.點(diǎn)睛:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換,結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.10、B【解析】
由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào),即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.12、D【解析】
分析:由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時(shí)候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí),若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案14、【解析】
求出,然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方,利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算.【詳解】由題意得,.,.,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算.15、①②③【解析】
通過圖片信息直接觀察,計(jì)算,找出答案即可.【詳解】對(duì)于①,2至月份的收入的變化率為20,11至12月份的變化率為20,故相同,正確.對(duì)于②,支出最高值是2月份60萬元,支出最低值是5月份的10萬元,故支出最高值與支出最低值的比是6:1,正確.對(duì)于③,第三季度的7,8,9月每個(gè)月的收入分別為40萬元,50萬元,60萬元,故第三季度的平均收入為50萬元,正確.對(duì)于④,利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元,高于2月份的利潤是80﹣60=20萬元,錯(cuò)誤.故答案為①②③.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象信息,分析歸納得出正確結(jié)論,屬于基礎(chǔ)題目.16、7【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),有最大值,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】
(1)已知點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,由此可得曲線的方程;(2)設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得,,由,,用橫坐標(biāo)表示出,然后計(jì)算,并代入,可得結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)動(dòng)圓圓心,由拋物線定義知:點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)其方程為,則,解得.∴曲線的方程為;(2)證明:設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由得,①,則,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.【點(diǎn)睛】本題考查求曲線方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線相交問題中的定值問題.解題方法是設(shè)而不求的思想方法,即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線方程,直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次方程,應(yīng)用韋達(dá)定理得,,代入題中其他條件所求式子中化簡變形.18、(1),;(2)【解析】
(1)由奇函數(shù)可知在定義域上恒成立,由此建立方程,即可求出實(shí)數(shù)的值;對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),,通過導(dǎo)數(shù)求出,若,則恒成立不符合題意,當(dāng),可證明,此時(shí)時(shí)有極小值.(2)可知,進(jìn)而得到,令,通過導(dǎo)數(shù)可知在上為單調(diào)減函數(shù),由可得,從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由函數(shù)為奇函數(shù),得在定義域上恒成立,所以,化簡可得,所以.則,令,則.故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故在上遞減,在上遞增,若,則恒成立,單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);所以,解得,取,則又函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷,故由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知在區(qū)間上,存在為函數(shù)的零點(diǎn),為極小值,所以,的取值范圍是.(2)由滿足,代入,消去可得.構(gòu)造函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),,即恒成立,故在上為單調(diào)減函數(shù),其中.則可轉(zhuǎn)化為,故,由,設(shè),可得當(dāng)時(shí),則在上遞增,故.綜上,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查了奇函數(shù)的定義,考查了轉(zhuǎn)化的思想.對(duì)于恒成立的問題,常轉(zhuǎn)化為求的最小值,使;對(duì)于恒成立的問題,常轉(zhuǎn)化為求的最大值,使.19、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因?yàn)?,則,因?yàn)椋?,故,解得,故,則.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20、(1),();(2).【解析】
(1)根據(jù)是等差數(shù)列,,、、成等比數(shù)列,列兩個(gè)方程即可求出,從而求得,代入化簡即可求得;(2)化簡后求和為裂項(xiàng)相消求和,分組求和即可,注意討論公比是否為1.【詳解】(1)由題意知,,,由得,解得.又,得,解得或(舍).,.又(),().(2),①當(dāng)時(shí),.②當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】此題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,裂項(xiàng)相消求和等知識(shí)點(diǎn),考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想,屬于一般性題目.21、(1)證明見解析.(2)【解析】
(1)連接AC1,BC1,結(jié)合中位線定理可證MN∥BC1,再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證AC⊥BC1,BC1⊥B1C,即可求證直線MN⊥平面ACB1;(2)作交于點(diǎn),通過等體積法,設(shè)C1到平面B1CM的距離為h,則有,結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】(1)證明:連接AC1,BC1,則N∈AC1且N為AC1的中點(diǎn);∵M(jìn)是AB的中點(diǎn).所以:MN∥BC1;∵A1A⊥平面ABC,A
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