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文檔簡介
新疆巴州三中2025屆高三一診考試數(shù)學試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個不同的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.3.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里4.在展開式中的常數(shù)項為A.1 B.2 C.3 D.75.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.6.已知函數(shù)的導函數(shù)為,記,,…,N.若,則()A. B. C. D.7.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A,與準線在第三象限交于點B,過點作準線的垂線,垂足為.若,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù),且),則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法錯誤的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的對稱中心是D.函數(shù)的對稱軸是11.已知函數(shù)(,且)在區(qū)間上的值域為,則()A. B. C.或 D.或412.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為____________.14.已知函數(shù)在定義域R上的導函數(shù)為,若函數(shù)沒有零點,且,當在上與在R上的單調(diào)性相同時,則實數(shù)k的取值范圍是______.15.已知雙曲線C:()的左、右焦點為,,為雙曲線C上一點,且,若線段與雙曲線C交于另一點A,則的面積為______.16.已知,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個公共點,求實數(shù)的取值范圍;(2)若對任意成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,解關(guān)于的不等式;(2)若當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長為2的正三角形,,為線段的中點.(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點,當二面角的余弦值為時,求三棱錐的體積.20.(12分)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,從流水線上隨機抽取件產(chǎn)品,統(tǒng)計其質(zhì)量指標值并繪制頻率分布直方圖(如圖1):規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標值在的為劣質(zhì)品,在的為優(yōu)等品,在的為特優(yōu)品,銷售時劣質(zhì)品每件虧損元,優(yōu)等品每件盈利元,特優(yōu)品每件盈利元,以這件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于該區(qū)間的概率.(1)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤;(2)該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年營銷費用(單位:萬元)對年銷售量(單位:萬件)的影響,對該企業(yè)近年的年營銷費用和年銷售量,數(shù)據(jù)做了初步處理,得到的散點圖(如圖2)及一些統(tǒng)計量的值.表中,,,.根據(jù)散點圖判斷,可以作為年銷售量(萬件)關(guān)于年營銷費用(萬元)的回歸方程.①求關(guān)于的回歸方程;②用所求的回歸方程估計該企業(yè)每年應(yīng)投入多少營銷費,才能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大?(收益銷售利潤營銷費用,?。└剑簩τ谝唤M數(shù)據(jù),,,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.21.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若曲線、交于、兩點,是曲線上的動點,求面積的最大值.22.(10分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)若,求證:對于任意,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進而可得出,結(jié)合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設(shè)該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.2、D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點,而函數(shù)在上有3個交點,則在上有4個不同的交點,數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根,則在上有4個不同的實數(shù)根,當直線經(jīng)過時,;當直線經(jīng)過時,,可知當時,直線與的圖象在上有4個交點,即方程,在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵,運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想,屬于中檔題.3、A【解析】
先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角,再結(jié)合AB可求,應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應(yīng)用,關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.4、D【解析】
求出展開項中的常數(shù)項及含的項,問題得解?!驹斀狻空归_項中的常數(shù)項及含的項分別為:,,所以展開式中的常數(shù)項為:.故選:D【點睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題。5、C【解析】
先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)極值排除A;結(jié)合特殊值即可排除D,即可得解.【詳解】函數(shù),則,所以為奇函數(shù),排除B選項;當時,,所以排除A選項;當時,,排除D選項;綜上可知,C為正確選項,故選:C.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像,注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
通過計算,可得,最后計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知:所以所以猜想可知:由所以所以故選:D【點睛】本題考查導數(shù)的計算以及不完全歸納法的應(yīng)用,選擇題、填空題可以使用取特殊值,歸納猜想等方法的使用,屬中檔題.7、C【解析】
根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
需結(jié)合拋物線第一定義和圖形,得為等腰三角形,設(shè)準線與軸的交點為,過點作,再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出,,結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖,設(shè)準線與軸的交點為,過點作.由拋物線定義知,所以,,,,所以.故選:C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),三角函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題9、C【解析】
先求出復合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件,再看其和的包含關(guān)系,利用集合間包含關(guān)系與充要條件之間的關(guān)系,判斷正確答案.【詳解】,且),由得或,即的定義域為或,(且)令,其在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,在上是單調(diào)函數(shù),其充要條件為即.故選:C.【點睛】本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題,充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性逐項判斷即可.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的周期,所以.將點代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B錯誤;令,得,故函數(shù)的對稱中心是,故C正確;令,得,故函數(shù)的對稱軸是,故D正確.故選:B.【點睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式,同時也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的判斷,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.11、C【解析】
對a進行分類討論,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知,.討論:當時,,所以,,所以;當時,,所以,,所以.綜上,或,故選C.【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題,指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解,側(cè)重考查數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).12、C【解析】
由程序語言依次計算,直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當n=2時,時,,此時輸出.故選:C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)漸近線得到,,計算得到離心率.【詳解】,一條漸近線方程為:,故,,.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,意在考查學生的計算能力.14、【解析】
由題意可知:為上的單調(diào)函數(shù),則為定值,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為上的增函數(shù),則在,單調(diào)遞增,求導,則恒成立,則,根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】若方程無解,則或恒成立,所以為上的單調(diào)函數(shù),都有,則為定值,設(shè),則,易知為上的增函數(shù),,,又與的單調(diào)性相同,在上單調(diào)遞增,則當,,恒成立,當,時,,,,,,此時,故答案為:【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用,考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的性質(zhì),輔助角公式,考查計算能力,屬于中檔題.15、【解析】
由已知得即,,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點A坐標,借助,即可解得所求.【詳解】由已知得,又,,所以,解得或,由在雙曲線C上,所以或,所以或(舍去),因此雙曲線C的方程為.又,所以線段的方程為,與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得,所以,,所以點A坐標為,所以.【點睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學生的計算能力,難度較難.16、【解析】
首先利用,將其兩邊同時平方,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到,從而求得,利用誘導公式求得,得到結(jié)果.【詳解】因為,所以,即,所以,故答案是.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡求值問題,涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關(guān)系式,倍角公式,誘導公式,屬于簡單題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)求出及其導函數(shù),利用研究的單調(diào)性和最值,根據(jù)零點存在定理和零點定義可得的范圍.(2)令,題意說明時,恒成立.同樣求出導函數(shù),由研究的單調(diào)性,通過分類討論可得的單調(diào)性得出結(jié)論.【詳解】解(1)函數(shù)所以討論:①當時,無零點;②當時,,所以在上單調(diào)遞增.取,則又,所以,此時函數(shù)有且只有一個零點;③當時,令,解得(舍)或當時,,所以在上單調(diào)遞減;當時,所以在上單調(diào)遞增.據(jù)題意,得,所以(舍)或綜上,所求實數(shù)的取值范圍為.(2)令,根據(jù)題意知,當時,恒成立.又討論:①若,則當時,恒成立,所以在上是增函數(shù).又函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,所以存在使,不符合題意.②若,則當時,恒成立,所以在上是增函數(shù),據(jù)①求解知,不符合題意.③若,則當時,恒有,故在上是減函數(shù),于是“對任意成立”的充分條件是“”,即,解得,故綜上,所求實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查函數(shù)零點問題,考查不等式恒成立問題,考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.解題關(guān)鍵是通過分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性.本題難度較大,考查掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查學生分析問題解決問題的能力.18、(1)(2)【解析】
(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)對分成三種情況,求得的最小值,由此求得的取值范圍.【詳解】(1)當時,,由此可知,的解集為(2)當時,的最小值為和中的最小值,其中,.所以恒成立.當時,,且,不恒成立,不符合題意.當時,,若,則,故不恒成立,不符合題意;若,則,故不恒成立,不符合題意.綜上,.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法,考查根據(jù)絕對值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查分類討論的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2).【解析】
(1)先證明,可證平面,再由可證平面,即得證;(2)以為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系,設(shè),求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值為,可求解,轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】(1)證明:因為是正三角形,為線段的中點,所以.因為是菱形,所以.因為,所以是正三角形,所以,所以平面.又,所以平面.因為平面,所以平面平面.(2)由(1)知平面,所以,.而,所以,.又,所以平面.以為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系.則.于是,,.設(shè)面的一個法向量,由得令,則,即.設(shè),易得,.設(shè)面的一個法向量,由得令,則,,即.依題意,即,令,則,即,即.所以.【點睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合,考查了面面垂直的判斷,二面角的向量求解,三棱錐的體積等知識點,考查了學生空間想象,邏輯推理,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.20、(1)元.(2)①②萬元【解析】
(1)每件產(chǎn)品的銷售利潤為,由已知可得的取值,由頻率分布直方圖可得劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率,從而可得的概率分布列,依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤;(2)①對取自然對數(shù),得,令,,,則,這就是線性回歸方程,由所給公式數(shù)據(jù)計算出系數(shù),得線性回歸方程,從而可求得;②求出收益,可設(shè)換元后用導數(shù)求出最大值.【詳解】解:(1)設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤為,則的可能取值為,,.由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品為劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率分別為、、.所以;;.所以的分布列為所以(元).即每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為元.(2)①由,得,令,,,則,由表中數(shù)據(jù)可得,則,所以,即,因為取,所以,故所求的回歸方程為.②設(shè)年收益為萬元,則令,則,,當時,,當時,,所以當,即時,有最大值.即該企業(yè)每年應(yīng)該投入萬元營銷費,能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大,最大收益為萬元.【點睛】本題考查頻率分布直
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