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黑龍江省佳木斯市建三江一中2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.給定下列四個命題:①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行,則這兩個平面相互平行;②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④2.將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.123.存在點在橢圓上,且點M在第一象限,使得過點M且與橢圓在此點的切線垂直的直線經(jīng)過點,則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.4.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.5.已知數(shù)列中,,若對于任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.6.在中,,,,為的外心,若,,,則()A. B. C. D.7.已知的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式是()A. B.C. D.8.已知等比數(shù)列滿足,,等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項和,則()A.36 B.72 C. D.9.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域為的是()A. B. C. D.10.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.11.阿波羅尼斯(約公元前262~190年)證明過這樣的命題:平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點,間的距離為2,動點與,的距離之比為,當(dāng),,不共線時,的面積的最大值是()A. B. C. D.12.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營造良好的學(xué)習(xí)氛圍,向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上,小王,小董,小李各寫了一幅書法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細(xì)節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的,班主任對三人進(jìn)行了問話,得到回復(fù)如下:小王說:“入班即靜”是我寫的;小董說:“天道酬勤”不是小王寫的,就是我寫的;小李說:“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書寫者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域為______.14.已知,,,,則______.15.已知函數(shù),則曲線在點處的切線方程為___________.16.已知點是拋物線的焦點,,是該拋物線上的兩點,若,則線段中點的縱坐標(biāo)為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個焦點以及兩個頂點,且點在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點,且,求直線l的傾斜角.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的最大值為,且,求的最小值.19.(12分)已知橢圓:的兩個焦點是,,在橢圓上,且,為坐標(biāo)原點,直線與直線平行,且與橢圓交于,兩點.連接、與軸交于點,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求證:為定值.20.(12分)隨著時代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821.(12分)已知拋物線的頂點為原點,其焦點關(guān)于直線的對稱點為,且.若點為的準(zhǔn)線上的任意一點,過點作的兩條切線,其中為切點.(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點,并求面積的最小值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線的極坐標(biāo)方程為,射線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并指出是何種曲線;(Ⅱ)若射線與曲線交于兩點,射線與曲線交于兩點,求面積的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進(jìn)行選擇.【詳解】當(dāng)兩個平面相交時,一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面,故①錯誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯誤;若兩個平面垂直,只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力,是中檔題.2、D【解析】
推導(dǎo)出,且,,,設(shè)中點為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數(shù)的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設(shè)中點為,則平面,∴,∴,解得.故選:D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應(yīng)用,屬于中檔題.3、D【解析】
根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因為過點M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個選項,再求時的函數(shù)值,再排除一個,得正確選項.【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對稱,排除B,C,當(dāng)時,,排除D,故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù),以及函數(shù)值的變化趨勢,排除錯誤選項,得正確結(jié)論.5、B【解析】
先根據(jù)題意,對原式進(jìn)行化簡可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運用,屬于綜合性較強(qiáng)的題目,解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù),屬于難題.6、B【解析】
首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出,,即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線,垂足分別為,,,過分別做,的平行線,,由題知,則外接圓半徑,因為,所以,又因為,所以,,由題可知,所以,,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì),正弦定理,平面向量分解定理,屬于一般題.7、D【解析】
由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,結(jié)合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.8、A【解析】
根據(jù)是與的等比中項,可求得,再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足,,所以,又,所以,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選:A【點睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生的計算能力,是中檔題.9、B【解析】
分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域為,正確;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域為,錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.【點睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.11、A【解析】
根據(jù)平面內(nèi)兩定點,間的距離為2,動點與,的距離之比為,利用直接法求得軌跡,然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示:設(shè),,,則,化簡得,當(dāng)點到(軸)距離最大時,的面積最大,∴面積的最大值是.故選:A.【點睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.12、D【解析】
根據(jù)題意,分別假設(shè)一個正確,推理出與假設(shè)不矛盾,即可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意知,若只有小王的說法正確,則小王對應(yīng)“入班即靜”,而否定小董說法后得出:小王對應(yīng)“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說法正確,則小董對應(yīng)“天道酬勤”,否定小李的說法后得出:小李對應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對應(yīng)“入班即靜”,但與小王的錯誤的說法矛盾;若小李的說法正確,則“細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說法得出:小王對應(yīng)“天道酬勤”,所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是:小李.故選:D.【點睛】本題考查推理證明的實際應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
對數(shù)函數(shù)的定義域需滿足真數(shù)大于0,再由指數(shù)型不等式求解出解集即可.【詳解】對函數(shù)有意義,即.故答案為:【點睛】本題考查求對數(shù)函數(shù)的定義域,還考查了指數(shù)型不等式求解,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得,的值,由兩角差的正弦公式即可計算得的值.【詳解】,,,,,,,,.故答案為:【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,利用點斜式求切線方程.【詳解】因為,所以,又故切線方程為,整理為,故答案為:【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于容易題.16、2【解析】
運用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點距離等于到準(zhǔn)線距離,然后求解結(jié)果.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,則拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè),,則,所以,則線段中點的縱坐標(biāo)為.故答案為:【點睛】本題考查了拋物線的定義,由拋物線定義將點到焦點距離轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線距離,需要熟練掌握定義,并能靈活運用,本題較為基礎(chǔ).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或【解析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時,可求出,然后進(jìn)行檢驗;當(dāng)直線的斜率存在時,可設(shè)直線的方程為,設(shè)點,先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理,利用弦長公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點,所以橢圓焦距等于短軸長,可得,又點在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當(dāng)直線不存在斜率時,解得,不符合題意;當(dāng)直線存在斜率時,設(shè)其方程為,因為直線與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【點睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單.18、(1)(2)【解析】
(1)化簡得到,分類解不等式得到答案.(2)的最大值,,利用均值不等式計算得到答案.【詳解】(1)因為,故或或解得或,故不等式的解集為.(2)畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像可知的最大值.因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故的最小值是3.【點睛】本題考查了解不等式,均值不等式求最值,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義可得,將代入橢圓方程,即可求得的值,求得橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程,代入橢圓方程,求得直線和的方程,求得和的橫坐標(biāo),表示出,根據(jù)韋達(dá)定理即可求證為定值.【詳解】(1)因為,由橢圓的定義得,,點在橢圓上,代入橢圓方程,解得,所以的方程為;(2)證明:設(shè),,直線的斜率為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,消去,整理得,所以,,直線的直線方程為,令,則,同理,所以:,代入整理得,所以為定值.【點睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓中的定值問題,屬于中檔題.20、(1)(萬)(2)(3)填表見解析;有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解析】
(1)在1000個樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個,根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識可得,抽取6人中,4人選擇“森林城市,空氣清新”,2人選擇“降水充足,氣候怡人”求出對應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計算的值,對照臨界值表可得答案.【詳解】(1)(萬)(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,其中4人是選擇“森林城市,空氣清新”,2人是選擇“降水充足,氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”,則,.(3)列聯(lián)表如下自
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