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文檔簡介
襄樊市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,,,,為的外心,若,,,則()A. B. C. D.2.已知集合,,則等于()A. B. C. D.3.記遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為.若,,且對中的任意兩項(xiàng)與(),其和,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng),則()A. B.C. D.4.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.35.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.6.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.7.設(shè)一個(gè)正三棱柱,每條棱長都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點(diǎn)出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn),算一次爬行,若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.8.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.9.如圖是國家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客(單位:萬人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2014年我國入境游客萬人次最少B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差10.已知向量,,若,則()A. B. C. D.11.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.如圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,若,則__________.14.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的最大值為______.15.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的虛部為__________.16.根據(jù)如圖的算法,輸出的結(jié)果是_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品,如果年返修率不超過千分之一,則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀,現(xiàn)獲得該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺數(shù)(萬臺)2345671011該產(chǎn)品的年利潤(百萬元)2.12.753.53.2534.966.5年返修臺數(shù)(臺)2122286580658488部分計(jì)算結(jié)果:,,,,注:年返修率=(1)從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù),以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大,如果去掉該年的數(shù)據(jù),試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(百萬元)關(guān)于年生產(chǎn)臺數(shù)(萬臺)的線性回歸方程(精確到0.01).附:線性回歸方程中,,.18.(12分)第十四屆全國冬季運(yùn)動會召開期間,某校舉行了“冰上運(yùn)動知識競賽”,為了解本次競賽成績情況,從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:(1)求、、的值及隨機(jī)抽取一考生其成績不低于70分的概率;(2)若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動,并指定2名負(fù)責(zé)人,求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計(jì)1.0019.(12分)已知三棱柱中,,是的中點(diǎn),,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知函數(shù)的最大值為2.(Ⅰ)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)中,,角所對的邊分別是,且,求的面積.21.(12分)△的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線,從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M,點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn),滿足,記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出,,即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線,垂足分別為,,,過分別做,的平行線,,由題知,則外接圓半徑,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,,由題可知,所以,,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì),正弦定理,平面向量分解定理,屬于一般題.2、A【解析】
進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.【詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由題意可得,從而得到,再由就可以得出其它各項(xiàng)的值,進(jìn)而判斷出的范圍.【詳解】解:,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng),或者或者是該數(shù)列中的項(xiàng),又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列,,,,只有是該數(shù)列中的項(xiàng),同理可以得到,,,也是該數(shù)列中的項(xiàng),且有,,或(舍,,根據(jù),,,同理易得,,,,,,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.4、D【解析】
利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個(gè)向量垂直,,且與的夾角為,說明以向量,為鄰邊,為對角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時(shí),;又當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時(shí),,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.6、A【解析】分析:題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為,利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出.詳解:由題設(shè)有,故,故選A.點(diǎn)睛:本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)知識可得選項(xiàng).【詳解】由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當(dāng)時(shí),,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體中的概率問題,關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識,得出相鄰的項(xiàng)的關(guān)系,這是常用的方法,屬于難度題.8、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)“”成立.此時(shí),,,的最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.9、D【解析】
ABD可通過統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論,C可通過計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計(jì)圖可知:2014年入境游客萬人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計(jì)圖可知:后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢,故正確;C.入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù),大于萬次,故正確;D.由統(tǒng)計(jì)圖可知:前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大,所以對應(yīng)的方差更大,故錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計(jì)圖,分析出對應(yīng)的信息,對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.10、A【解析】
利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.12、A【解析】
執(zhí)行程序框圖,逐次計(jì)算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行上述的程序框圖:第1次循環(huán):滿足判斷條件,;第2次循環(huán):滿足判斷條件,;第3次循環(huán):滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出計(jì)算結(jié)果,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計(jì)算與輸出,其中解答中執(zhí)行程序框圖,逐次計(jì)算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
分別代入集合中的元素,求出值,再結(jié)合集合中元素的互異性進(jìn)行取舍可解.【詳解】依題意,分別令,,,由集合的互異性,解得,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合元素的特性:確定性、互異性、無序性.確定集合中元素,要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.14、【解析】
由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)函數(shù)解析式,再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達(dá)式,進(jìn)而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象,則所以,當(dāng)函數(shù)最大,最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式,還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值,屬于簡單題.15、1【解析】試題分析:,即虛部為1,故填:1.考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算16、55【解析】
根據(jù)該For語句的功能,可得,可得結(jié)果【詳解】根據(jù)該For語句的功能,可得則故答案為:55【點(diǎn)睛】本題考查For語句的功能,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】
(1)先判斷得到隨機(jī)變量的所有可能取值,然后根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)計(jì)算得到相應(yīng)的概率,進(jìn)而得到分布列和期望.(2)由于去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值,可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出;然后再根據(jù)去掉年的數(shù)據(jù)后所剩數(shù)據(jù)求出即可得到回歸直線方程.【詳解】(1)由數(shù)據(jù)可知,,,,,五個(gè)年份考核優(yōu)秀.由題意的所有可能取值為,,,,,,,.故的分布列為:所以.(2)因?yàn)?,所以去掉年的?shù)據(jù)后不影響的值,所以.又去掉年的數(shù)據(jù)之后,所以,從而回歸方程為:.【點(diǎn)睛】求線性回歸方程時(shí)要涉及到大量的計(jì)算,所以在解題時(shí)要注意運(yùn)算的合理性和正確性,對于題目中給出的中間數(shù)據(jù)要合理利用.本題考查概率和統(tǒng)計(jì)的結(jié)合,這也是高考中常出現(xiàn)的題型,屬于基礎(chǔ)題.18、(1),,,;(2)【解析】
(1)根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出,根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關(guān)系分別求出,進(jìn)而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根據(jù)分層抽樣原則,分別從抽出2人,2人,1人,并按照所在組對抽出的5人編號,列出所有2名負(fù)責(zé)人的抽取方法,得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的抽法數(shù),由古典概型概率公式,即可求解.【詳解】(1),,,由頻率分布表可得成績不低于70分的概率約為:(2)因?yàn)榈?、4、5組共有50名學(xué)生,所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生,每組分別為:第3組:人,第4組:人,第5組:人,所以第3、4、5組分別抽取2人,2人,1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為、,第4組的2位同學(xué)為、,第5組的1位同學(xué)為,則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4組的2位同學(xué)、至少有一位同學(xué)是負(fù)責(zé)人有7種抽法,故所求的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全頻率分布表、古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,計(jì)算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點(diǎn),,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內(nèi)作直線的垂線,以為原點(diǎn),以,,為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令可得:,,,,.直線與平面所成角的正弦值為,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì),考查空間向量與空間角的計(jì)算,屬于中檔題.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(1)由題意,f(x)的最大值為所以而m>0,于是m=,f(x)=2sin(x+).由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得x滿足即所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)設(shè)△ABC的外接圓半
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