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文檔簡介
吉林省汪清縣六中2025屆高考數(shù)學三模試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是定義是上的奇函數(shù),滿足,當時,,則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是()A.3 B.5 C.7 D.92.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件3.有一改形塔幾何體由若千個正方體構(gòu)成,構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是()A.8 B.7 C.6 D.44.已知函數(shù),則()A. B.1 C.-1 D.05.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,則“”是“是偶函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.設(shè),,,則()A. B. C. D.7.某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標系中,過點作軸的垂線與曲線相交于點,過作軸的垂線與軸相交于點(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數(shù)的估計值是()A. B. C. D.8.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值是()A. B. C. D.49.已知是等差數(shù)列的前項和,若,設(shè),則數(shù)列的前項和取最大值時的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.201710.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11.已知函數(shù),若,且,則的取值范圍為()A. B. C. D.12.雙曲線x2a2A.y=±2x B.y=±3x二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列,則________.14.學校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四件參賽作品,只評一件一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預(yù)測如下:甲說:“或作品獲得一等獎”;乙說:“作品獲得一等獎”;丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;丁說:“作品獲得一等獎”.若這四位同學中有且只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是______.15.已知橢圓,,若橢圓上存在點使得為等邊三角形(為原點),則橢圓的離心率為_________.16.設(shè)為等比數(shù)列的前項和,若,且,,成等差數(shù)列,則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),且.(1)求的解析式;(2)已知,若對任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍.18.(12分)如圖,己知圓和雙曲線,記與軸正半軸、軸負半軸的公共點分別為、,又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.(1)若,且恰為的左焦點,求的兩條漸近線的方程;(2)若,且,求實數(shù)的值;(3)若恰為的左焦點,求證:在軸上不存在這樣的點,使得.19.(12分)已知,其中.(1)當時,設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.20.(12分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過的平面交于點,若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.21.(12分)已知,均為給定的大于1的自然數(shù),設(shè)集合,.(Ⅰ)當,時,用列舉法表示集合;(Ⅱ)當時,,且集合滿足下列條件:①對任意,;②.證明:(?。┤?,則(集合為集合在集合中的補集);(ⅱ)為一個定值(不必求出此定值);(Ⅲ)設(shè),,,其中,,若,則.22.(10分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求學生在語數(shù)外3門全國統(tǒng)考科目之外,在歷史和物理2門科目中必選且只選1門,再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門,后三科的高考成績按新的規(guī)則轉(zhuǎn)換后計入高考總分.相應(yīng)地,高校在招生時可對特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人,現(xiàn)從中隨機抽取40人進行選科情況調(diào)查,用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科,得到如下的統(tǒng)計表:序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)雙超中學規(guī)定:每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班,每位老師執(zhí)教2個選修班(當且僅當一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時,允許這門科目的1位老師只教1個班).已知雙超中學高一年級現(xiàn)有化學、生物科目教師每科各8人,用樣本估計總體,則化學、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整?如果需要調(diào)整,各需增加或減少多少人?(2)請創(chuàng)建列聯(lián)表,運用獨立性檢驗的知識進行分析,探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關(guān).附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其熱門人文專業(yè)的招生簡章中明確要求,僅允許選修了歷史科目,且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現(xiàn)從雙超中學高一新生中隨機抽取3人,設(shè)具備高校專業(yè)報名資格的人數(shù)為,用樣本的頻率估計概率,求的分布列與期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)是定義是上的奇函數(shù),滿足,可得函數(shù)的周期為3,再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得,利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù),滿足,,可得,
函數(shù)的周期為3,
∵當時,,
令,則,解得或1,
又∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),
∴在區(qū)間上,有.
由,取,得,得,
∴.
又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù),
∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個,
故選D.【點睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷,考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬于中檔題.2、B【解析】
解出兩個不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因為集合,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.3、A【解析】
則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,以此類推,能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8,則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,從下往上第五層正方體的棱長為:,從下往上第六層正方體的棱長為:,從下往上第七層正方體的棱長為:,從下往上第八層正方體的棱長為:,∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是8.故選:A.【點睛】本小題主要考查正方體有關(guān)計算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
由函數(shù),求得,進而求得的值,得到答案.【詳解】由題意函數(shù),則,所以,故選A.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題,其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式,代入求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
求出函數(shù)的解析式,由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達式,然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度,得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為,若函數(shù)為偶函數(shù),則,解得,當時,.因此,“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷,同時也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運算求解能力與推理能力,屬于中等題.6、A【解析】
先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.【點睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點,直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用,同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積,考查計算能力,屬于中等題.8、D【解析】
模擬程序運行,觀察變量值的變化,得出的變化以4為周期出現(xiàn),由此可得結(jié)論.【詳解】;如此循環(huán)下去,當時,,此時不滿足,循環(huán)結(jié)束,輸出的值是4.故選:D.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu).解題時模擬程序運行,觀察變量值的變化,確定程序功能,可得結(jié)論.9、B【解析】
根據(jù)題意計算,,,計算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項和,若,故,,,,故,當時,,,,,當時,,故前項和最大.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.10、C【解析】
由復(fù)數(shù)除法求出,寫出共軛復(fù)數(shù),寫出共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點坐標即得【詳解】解析:,,對應(yīng)點為,在第三象限.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,共軛復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.11、A【解析】分析:作出函數(shù)的圖象,利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到結(jié)論.詳解:作出函數(shù)的圖象,如圖所示,若,且,則當時,得,即,則滿足,則,即,則,設(shè),則,當,解得,當,解得,當時,函數(shù)取得最小值,當時,;當時,,所以,即的取值范圍是,故選A.點睛:本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù),求解新函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法,以及分析問題和解答問題的能力,試題有一定的難度,屬于中檔試題.12、A【解析】分析:根據(jù)離心率得a,c關(guān)系,進而得a,b關(guān)系,再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,得結(jié)果.詳解:∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛:已知雙曲線方程x2a2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)圖像歸納,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像:,,故,故.故答案為:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.14、B【解析】
首先根據(jù)“學校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎”,故假設(shè)分別為一等獎,然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學的說法的正確性,即可得出結(jié)果.【詳解】若A為一等獎,則甲、丙、丁的說法均錯誤,不滿足題意;若B為一等獎,則乙、丙的說法正確,甲、丁的說法錯誤,滿足題意;若C為一等獎,則甲、丙、丁的說法均正確,不滿足題意;若D為一等獎,則乙、丙、丁的說法均錯誤,不滿足題意;綜上所述,故B獲得一等獎.【點睛】本題屬于信息題,可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案,在做本題的時候,可以采用依次假設(shè)為一等獎并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.15、【解析】
根據(jù)題意求出點N的坐標,將其代入橢圓的方程,求出參數(shù)m的值,再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得,將其代入橢圓方程得,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質(zhì),屬于中檔題.16、.【解析】試題分析:∵,,成等差數(shù)列,∴,又∵等比數(shù)列,∴.考點:等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì),屬于容易題,在解題過程中,需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解,考查學生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)由,可求出的值,進而可求得的解析式;(2)分別求得和的值域,再結(jié)合兩個函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以,解得,故.(2)因為,所以,所以,則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.18、(1);(2);(2)見解析.【解析】
(1)由圓的方程求出點坐標,得雙曲線的,再計算出后可得漸近線方程;(2)設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐標,計算;(3)由已知得,設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可解得,,求出,從而可得,由,可知滿足要求的點不存在.【詳解】(1)由題意圓方程為,令得,∴,即,∴,,∴漸近線方程為.(2)由(1)圓方程為,,設(shè),由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)為,即,,代入雙曲線方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由題意,,,,,設(shè)由得:,,由得,解得,,,所以,,,當且僅當三點共線時,等號成立,∴軸上不存在點,使得.【點睛】本題考查求漸近線方程,考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運算,本題對學生的運算求解能力要求較高,解題時都是直接求出交點坐標.難度較大,屬于困難題.19、(1)極大值,無極小值;(2).(3)見解析【解析】
(1)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出;(2)先求導(dǎo),再函數(shù)在區(qū)間上遞增,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最值,問題得以解決;(3)取得到,取,可得,累加和根據(jù)對數(shù)的運算性和放縮法即可證明.【詳解】解:(1)當時,設(shè)函數(shù),則令,解得當時,,當時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減所以當時,函數(shù)取得極大值,即極大值為,無極小值;(2)因為,所以,因為在區(qū)間上遞增,所以在上恒成立,所以在區(qū)間上恒成立.當時,在區(qū)間上恒成立,當時,,設(shè),則在區(qū)間上恒成立.所以在單調(diào)遞增,則,所以,即綜上所述.(3)由(2)可知當時,函數(shù)在區(qū)間上遞增,所以,即,取,則.所以所以【點睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題,以及不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵,屬于較難題.20、(1)見證明;(2)【解析】
(1)先證明等腰梯形中,然后證明,即可得到丄平面,從而可證明平面丄平面;(2)由,可得到,列出式子可求出,然后建立如圖的空間坐標系,求出平面的法向量為,平面的法向量為,由可得到答案.【詳解】(1)證明:在等腰梯形,,易得在中,,則有,故,又平面,平面,,即平面,故平面丄平面.(2)在梯形中,設(shè),,,,而,即,.以點為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖的空間坐標系,則,,設(shè)平面的法向量為,由得,取,得,,同理可求得平面的法向量為,設(shè)二面角的平面角為,則,所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了兩平面垂直的判定,考查了利用空間向量的方法求二面角,考查了棱錐的體積的計算,考查了空間想象能力及計算能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)(?。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕?(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)當,時,,,,,,.即可得出.(Ⅱ)(i)當時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則得出矛盾.(ii)由.可得.又,即可得出為定值.(iii)由設(shè),,,,其中,,,2,,.,可得,通過求和即可證明結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)解:當,時,,,,,..(Ⅱ)證明:(i)當時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則,而,與已知對任意,矛盾.因此有.(ii)..,為定值
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