2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市相城區(qū)高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市相城區(qū)高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.42.設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A.1 B. C.i D.3.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（）A.588 B.448 C.896 D.2244.已知向量，，，則向量在上的投影向量為（）A. B.C. D.5.已知兩條不同的直線l，m，兩個(gè)不同的平面α，β，則下列條件能推出的是（）A.，，且，B.，，且C.，，且D.，，且6．在直二面角α﹣l﹣β的棱l上取一點(diǎn)A、過A分別在α，β內(nèi)A的同側(cè)作與l成45°的直線，則這兩條直線所夾的角為（）A．45° B．60° C．90° D．120°7.設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為．若，則“有最小值”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．正方體中，點(diǎn)M是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，且，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A.的最小值為9 B.的最小值為2C.的最大值為2 D.的最大值為110.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A.只有兩個(gè)零點(diǎn) B.C.是的極小值點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，恒成立11.如圖，圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)均為，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（）A.存在，使得B.當(dāng)時(shí)，存，使得平面C.當(dāng)，時(shí)，四面體的體積為D.當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.鎮(zhèn)江的慈壽塔是金山寺的標(biāo)志性建筑，創(chuàng)建于1400余年前的齊梁時(shí)期．某同學(xué)為了測(cè)量慈壽塔的高，他在山下處測(cè)得塔尖點(diǎn)的仰角為，再沿正對(duì)塔方向前進(jìn)20米到達(dá)山腳點(diǎn)，測(cè)得塔尖點(diǎn)的仰角為，塔底點(diǎn)的仰角為，則慈壽塔高約為______米．（，答案保留整數(shù)）13.在古代將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，已知四面體為鱉臑，⊥平面，且，若此四面體的體積為，則其外接球的表面積為．14.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值時(shí)相應(yīng)的值；（2）討論在上的單調(diào)性.16．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ABCD.(2)若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.17.已知數(shù)列中．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；18.已知函數(shù)，．（1）求證：直線既是曲線的切線，也是曲線的切線；（2）請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)函數(shù)：①；②；③中選擇一個(gè)函數(shù)，記為，使得該函數(shù)有最大值，并求的最大值．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

高三數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】先解對(duì)數(shù)不等式得出集合B，再根據(jù)交集定義求解.【詳解】因?yàn)?，所?所以，共3個(gè)元素.故選：C．2.設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A.1 B. C.i D.【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法即可得到答案.【詳解】，虛部為，故選：B．3.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（）A.588 B.448 C.896 D.224【正確答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量運(yùn)算結(jié)合各項(xiàng)為正得出公比為2，再應(yīng)用通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)且，所以，可得或（舍）.故選：B．4.已知向量，，，則向量在上的投影向量為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用求得向量和向量的數(shù)量積，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可.【詳解】由，得，由，得，則因此，在上的投影向量，故選：D5.已知兩條不同的直線l，m，兩個(gè)不同的平面α，β，則下列條件能推出的是（）A.，，且，B.，，且C.，，且D.，，且【正確答案】C【分析】利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷C；舉例說明判斷ABD.【詳解】對(duì)于A，若，，且，，此時(shí)，可能相交，如下圖所示：當(dāng)，都與平行時(shí)，相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，且，此時(shí)，可能相交，如下圖所示：當(dāng)，都與平行時(shí)，相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，得，而，所以，C正確；若，，且，此時(shí)可能相交，如下圖所示：當(dāng)，，，都與平行時(shí)，相交，D錯(cuò)誤.故選：C.6．在直二面角α﹣l﹣β的棱l上取一點(diǎn)A、過A分別在α，β內(nèi)A的同側(cè)作與l成45°的直線，則這兩條直線所夾的角為（）A．45° B．60° C．90° D．120°解：設(shè)面AOB為面α，面AOC為面β，棱OA為l，作面BOC垂直于面AOB和面AOC，則∠BAO＝∠CAO＝45°，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝90°，∴OA＝OB＝OC，∴AB＝AC＝BC，∴∠BAC＝60°，故這兩條直線所夾的角為60°．故選：B．7.設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為．若，則“有最小值”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充分不必要條件的定義即可求解.【詳解】若有最小值，則單調(diào)遞增，故，但時(shí)，若，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，沒有最小值，因此“有最小值”“”，∴“有最小值”是“”的充分不必要條件故選：A8．正方體中，點(diǎn)M是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8.D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，且，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A.的最小值為9 B.的最小值為2C.的最大值為2 D.的最大值為1【正確答案】ABD【分析】運(yùn)用乘1法判定A，變形后直接使用基本不等式判定B，C，運(yùn)用基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可判定D.【詳解】，A錯(cuò).，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”，此時(shí)，故等號(hào)取不到，B錯(cuò).，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C對(duì)，D錯(cuò)故選：ABD.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A.只有兩個(gè)零點(diǎn) B.C.是的極小值點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，恒成立【正確答案】ABD【分析】求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)單調(diào)性求解函數(shù)的極值，進(jìn)而可判斷ACD，代入驗(yàn)證即可求解B.【詳解】令，則或3，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，且，∴有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，A對(duì)．，故B正確，是極大值點(diǎn)，C錯(cuò)．時(shí)，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得恒成立，D對(duì)．故選：ABD11.如圖，圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)均為，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（）A.存在，使得B.當(dāng)時(shí)，存，使得平面C.當(dāng)，時(shí)，四面體的體積為D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A，用反證法判定.對(duì)于B，運(yùn)用面面平行得到線面平行.對(duì)于C,通過條件，分析出體積之間的關(guān)系，運(yùn)用等體積發(fā)計(jì)算即可.對(duì)于D，運(yùn)用向量法，結(jié)合垂直的數(shù)量積為0計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，，則與不可能垂直，若，則面，則，則面矛盾，A錯(cuò)．對(duì)于B，取中點(diǎn)，則，過作交于點(diǎn)，此時(shí)為中點(diǎn)，則面平面，∴平面，對(duì)．對(duì)于D，如圖建系，，，，，，，，∴，∴，D對(duì)．對(duì)于C,時(shí)，，時(shí)，到平面的距離是到平面距離的.，其中表示到平面的距離，是到平面距離，，C對(duì)，故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.鎮(zhèn)江的慈壽塔是金山寺的標(biāo)志性建筑，創(chuàng)建于1400余年前的齊梁時(shí)期．某同學(xué)為了測(cè)量慈壽塔的高，他在山下處測(cè)得塔尖點(diǎn)的仰角為，再沿正對(duì)塔方向前進(jìn)20米到達(dá)山腳點(diǎn)，測(cè)得塔尖點(diǎn)的仰角為，塔底點(diǎn)的仰角為，則慈壽塔高約為______米．（，答案保留整數(shù)）【正確答案】31【分析】根據(jù)給定條件，再結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系求解即得.【詳解】如圖，，，，，設(shè)，則，，，∴，∴，則．故31.13.在古代將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，已知四面體為鱉臑，⊥平面，且，若此四面體的體積為，則其外接球的表面積為．【正確答案】【分析】由四面體體積求出，進(jìn)而求出球半徑即可求解.【詳解】四面體為鱉臑，則由題意可知，故中只能為直角，則四面體的體積為，解得．易知外接球的球心為AD的中點(diǎn)，易求得∴球的半徑為，∴球的表面積為．

14.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為__________.【正確答案】【分析】由函數(shù)解析式分析得為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不等式等價(jià)于，求解即可.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，，函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式，則有，解得且，所以不等式解集為.故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值時(shí)相應(yīng)的值；（2）討論在上的單調(diào)性.【正確答案】（1），最大值為，（2）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)而可得周期與最值；（2）利用整體代入法可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】，所以的最小正周期，當(dāng)時(shí)，取最大值為，此時(shí)，，即，；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，有，從而時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞減，綜上所述，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.16．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ABCD.(2)若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.16．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)題意可得，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面AMF的法向量，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.【詳解】（1）因?yàn)?，，都垂直于平面，則.取的中點(diǎn)，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A2,0,0，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，，可得.故點(diǎn)到平面的距離.17.已知數(shù)列中．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由構(gòu)造得，又，可證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.【小問1詳解】由，得，即，又，有，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，則有，，，①-②得，，即.18.已知函數(shù)，．（1）求證：直線既是曲線的切線，也是曲線的切線；（2）請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)函數(shù)：①；②；③中選擇一個(gè)函數(shù)，記為，使得該函數(shù)有最大值，并求的最大值．【正確答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【分析】（1）設(shè)出的切點(diǎn)，即可求導(dǎo)，求解的切線方程，聯(lián)立直線與，根據(jù)判別式為0，即可證明相切，（2）求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【小問1詳解】設(shè)與切于，，∴∴切線方程為，令，此時(shí)在處的切線方程為，即是的切線，聯(lián)立，∴，∴在處的切線為，∴也是的切線．因此直線既是曲線的切線，也是曲線的切線；【小問2詳解】若選①，當(dāng)時(shí)，，顯然無最大值．不符合題意，若選②，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，故在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，時(shí)，且，，，∴．若選③，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，時(shí)，且，，，∴．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．(2)存在；是上靠近的三等分點(diǎn)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條