2024-2025學(xué)年陜西省西安市高三上學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省西安市高三上學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)檢測試題單選題1、已知復(fù)數(shù)z滿足,則z=（

）A．B．C．D．2、設(shè)集合則=（

）A．B．C．D.3、設(shè)非零向量滿足，則（

）A．B．C．D．4、已知，則（

）A．33B．-33C．63D．5、已知點(diǎn)P（1，2）在曲線上，則的最小值為（

）A.4B．22C．42D．3+226．當(dāng)x>1時，函數(shù)y=(lnx)2+alnx+1的圖象在直線y=x的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(-∞，e) B．(-∞，)C．(-∞，) D．(-∞，e-2)7．甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄自己每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四人根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果對自己的試驗數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一定出現(xiàn)6點(diǎn)的描述是（

）A．中位數(shù)為4，眾數(shù)為4 B．中位數(shù)為3，極差為4C．平均數(shù)為3，方差為2 D．平均數(shù)為4，第25百分位數(shù)為28．已知是橢圓上的動點(diǎn)，且與的四個頂點(diǎn)不重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．多選題設(shè)拋物線C:(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線C上，且MF=10,則拋物線C的方程可以為（

）A.B．C.D.10．上海世博會中國國家館以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的六面體，設(shè)矩形和的中心分別為和，若平面，，，，，，，，，，則（

）

A．這個六面體是棱臺B．該六面體的外接球體積是C．直線與異面D．二面角的正切值是611、設(shè)是正項數(shù)列的前n

項和，且對任意正整數(shù)n,都有，則下列命題正確的是（

）A．B．C．是遞減數(shù)列D．存在正整數(shù)k,使得填空題12、記為等差數(shù)列的前n項和，若，則公差d=．13．在展開式中，的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則.14．已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是．三、解答題15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)若，的面積為3，求.16．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且其漸近線的斜率為．(1)求的方程．(2)若動直線與交于兩點(diǎn)，且，證明：為定值．17．在底面是菱形的四棱錐中，已知，過作側(cè)面的垂線，垂足恰為棱的中點(diǎn).(1)證明在棱上存在一點(diǎn)，使得側(cè)面，并求的長；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．某校在90周年校慶到來之際，為了豐富教師的學(xué)習(xí)和生活，特舉行了答題競賽．在競賽中，每位參賽教師答題若干次，每一次答題的賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分，從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題所得分?jǐn)?shù)兩倍的得分，答錯得10分，教師甲參加答題競賽，每次答對的概率均為，每次答題是否答對互不影響.(1)求甲前3次答題的得分之和為70分的概率．(2)記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為．（ⅰ）求，，，并猜想當(dāng)時，與之間的關(guān)系式；（ⅱ）若，求n的最小值．19．閱讀以下材料：①設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若在區(qū)間D單調(diào)遞增；則稱為區(qū)上的凹函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).②平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)稱為函數(shù)的“切點(diǎn)”，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)恰好能作曲線的條切線，其中.(1)已知函數(shù).（i）當(dāng)時，討論的凹凸性；（ii）當(dāng)時，點(diǎn)在軸右側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，求點(diǎn)的集合；(2)已知函數(shù)，點(diǎn)在軸左側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，寫出點(diǎn)的集合（不需要寫出求解過程）.答案：題號123456768109答案CBDADDDDABCDBCC【詳解】2z?1z=1+i,則2-=1+i,所以=1-i,因此z=12+2、B【詳解】S=yy>0,T=y0<3、D【詳解】a+b=a?4、A【詳解】5、D【詳解】P（1，2）在曲線上,則當(dāng)且僅當(dāng)取等號6．D【分析】根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)和極差的定義舉例即可判斷AB，根據(jù)平均數(shù)和方差的定義利用反證法即可判斷C，根據(jù)百分位數(shù)和平均數(shù)的定義利用反證法即可判斷D.【詳解】解：對于A，中位數(shù)為4，眾數(shù)為4，則這5個數(shù)可以為，故A不符題意；對于B，中位數(shù)為3，極差為4，則這5個數(shù)可以是，故B不符題意；對于C，平均數(shù)為3，方差為2，設(shè)這5個數(shù)分別為，則，，若取，則，則，所以，所以這四個數(shù)可以為與，這與矛盾，所以6不存在，故C不符題意；對于D，按從小到大的順序設(shè)這5個數(shù)為，因為，所以第25百分位數(shù)為5個數(shù)中從小到大排列的第二個數(shù)，又第25百分位數(shù)為2，所以，因為平均數(shù)為4，所以，則，若三個數(shù)都不是6，則，這與矛盾，故三個數(shù)一定會出現(xiàn)6，故D符合題意.故選：D.7．D【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析出單調(diào)性，求出該函數(shù)的最小值，即可得到的取值范圍.【詳解】由題意知，構(gòu)造函數(shù)，令則故當(dāng)時單調(diào)遞減當(dāng)時單調(diào)遞增，所以所以故選：D.8．A【分析】延長交的延長線于點(diǎn)，由已知條件可證為的中位線，根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化成，求出焦半徑的取值范圍，即可得的取值范圍.【詳解】如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的性質(zhì)可知，因為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)的坐標(biāo)為，因為點(diǎn)是的角平分線上的一點(diǎn)，所以，又，則,所以，則，，又因為點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以為的中位線，即，當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時，取最大值，最大值為6，當(dāng)點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)時，取最小值，最小值為2，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時，，又因為點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，且與的四個頂點(diǎn)不重合，則的取值范圍為，結(jié)合函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的取值范圍是，故選：A.BC【詳解】由定義可知，當(dāng)點(diǎn)M在焦點(diǎn)左側(cè)時，p=18,則方程為當(dāng)點(diǎn)M在焦點(diǎn)右側(cè)時，p=2,則方程為綜上，選擇BC為正確答案10．BCD【分析】選項A：,這個六面體不是棱臺，錯誤；選項B：這個六面體的外接球球心在直線上，結(jié)合勾股定理，計算六面體的外接球半徑，從而求得體積，正確；選項C：和顯然不相交，結(jié)合題意證得與不平行，所以和不在同一平面內(nèi)，正確；選項D：取和的中點(diǎn)分別為，，即所求二面角的平面角，解得，正確；【詳解】

因為，所以四條側(cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，所以這個六面體不是棱臺，所以錯誤.由題意可知，這個六面體的外接球球心在直線上，且，因為，解得，所以六面體的外接球半徑，所以這個六面體的外接球體積是，B正確.和顯然不相交，因為，所以與不平行，所以和不在同一平面內(nèi)，C正確.取和的中點(diǎn)分別為，，連接，則即所求二面角的平面角，，所以，D正確.故選：BCD.12.1，13．2【分析】設(shè)的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為，奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為，則，解得，得到答案.【詳解】設(shè)展開式的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為，奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為，則，得，由得.故2.本題考查了二項式定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.14．【分析】利用函數(shù)是減函數(shù),根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出的大致范圍，再根據(jù)為減函數(shù)，得到不等式組,利用函數(shù)的圖象,方程的解的個數(shù),推出的范圍．【詳解】函數(shù)（且），在上單調(diào)遞減，則：；解得，．由圖象可知，在上,有且僅有一個解，故在上,同樣有且僅有一個解，當(dāng)即時,聯(lián)立,則,解得或1（舍去），當(dāng)時,由圖象可知，符合條件，綜上：的取值范圍為.故答案為．

本題考查函數(shù)的單調(diào)性和方程的零點(diǎn),對于分段函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù),除了每一段都是減函數(shù)以外,還要注意右段在左段的下方,經(jīng)常會被忽略,是一個易錯點(diǎn)；復(fù)雜方程的解通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn),或兩函數(shù)的交點(diǎn),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)合思想,屬于難題.15．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理與正弦定理，結(jié)合余弦函數(shù)的和差公式即可得解；（2）利用正弦定理與條件得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）由余弦定理，得，由正弦定理，得，因為，所以，則，即，顯然，所以.（2）因為，所以，則由，得，因為，所以，所以，即，由，得，則，即，因為的面積為3，所以，則，解得（負(fù)值舍去），所以.16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由漸近線的斜率設(shè)，再將代入求解即可；（2）分兩種情況證明，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及得出，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則由等面積法即可證明；當(dāng)直線的斜率不存在，設(shè)直線的斜率為1，分別求出，即可證明．【詳解】（1）由題可設(shè)雙曲線的方程為．因為經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故的方程為．（2）若直線的斜率存在，設(shè)，由，消去得，則，即，設(shè)Ax1,因為，所以，即，所以，整理得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則由等面積法得，所以，又，所以；若直線的斜率不存在，則直線的斜率為，不妨設(shè)直線的斜率為1，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得，所以，所以．綜上，為定值．17．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）連，先證明面，從而得出，再由，結(jié)合線面垂直判定證明側(cè)面，再由等面積法以及勾股定理得出的長；（2）分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法得出平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）解：連是的中點(diǎn)，，又面，面，過作于，則，又，又，所以面.在Rt中，，，所以.（2）分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故點(diǎn)的坐標(biāo)是，由（1）知面，故面的法向量可取，設(shè)面的法向量是，而，由，得令，得，即，所以，從而平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)(2)（?。?；（ⅱ）【分析】（1）由題意，得到前3次的得分分別為20（對），40（對），10（錯）或10（錯），20（對），40（對），進(jìn)而求得得分之和為70分的概率；（2）（?。└鶕?jù)題意，分別求得，，，結(jié)合題意，得到，即可完成猜想；（ⅱ）由（i）得到為等差數(shù)列，求得，結(jié)合和，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，前3次的得分分別為20（對），40（對），10（錯）或10（錯），20（對），40（對），所以甲前3次答題的得分之和為70分的概率為.（2）解：（ⅰ）甲第1次答題得分20分，10分的概率分別為，則，甲第2次答題得分40分，20分，10分的概率分別為，則，甲第3次答題得分80分，40分，20，10嗯分的概率分別為，則，當(dāng)時，因為甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以第次答對題所得分?jǐn)?shù)為，答錯題所的分?jǐn)?shù)為分，其概率為，所以，可猜想.（ⅱ）由（i）知數(shù)列是以15為首項，5為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以實(shí)數(shù)的最小值為.方法點(diǎn)睛：對于離散型隨機(jī)變量的期望與方差的綜合問題的求解策略：1、理解隨機(jī)變量的意義，寫出可能取得得全部數(shù)值；2、根據(jù)題意，求得隨機(jī)變量的每一個值對應(yīng)的概率；3、列出隨機(jī)變量的分布列，利用期望和方差的公式求得數(shù)學(xué)期望和方差；4、注意期望與方差的性質(zhì)的應(yīng)用；19．(1)（i）答案見解析；（ii）或(2)點(diǎn)的集合為或或【分析】（1）（i）利用導(dǎo)函數(shù)并對參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性，可得其凹凸性；（ii）根據(jù)“切點(diǎn)”的定義，由切點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化成方程根的個數(shù)即可得出點(diǎn)的集合；（2）根據(jù)函數(shù)利用“切點(diǎn)”的定義，得出單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以，令，所以.（i）當(dāng)時，，令，解得；令，解得；故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間上的凸函數(shù)；當(dāng)時，令，解得，令，解得或，故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；當(dāng)時，，故為區(qū)間上的凸函數(shù)；.當(dāng)時，令，解得，令，解得或，故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；綜上所述，當(dāng)時，為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；當(dāng)時，為區(qū)間上的凸函數(shù)；當(dāng)時，為區(qū)間上的凹函數(shù)