重慶市2024-2025學(xué)年高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

重慶市2024-2025學(xué)年高三第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若iz=z+2，則z=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i2.若集合A={?1,0,1,2,4,8}，B={x|2x∈A}，則A.{0,8} B.{?1,0,8} C.{?1,4,8} D.{?1,0,4,8}3.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則“y=f(x)為奇函數(shù)”是“y=|f(x)|為偶函數(shù)”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知橢圓x2m+y24=1(m>0)A.15,?15 B.13,?5.已知平面向量a，b滿足|a|=1，|2a?bA.1 B.2 C.326.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與雙曲線C的右支交于A.2 B.213 C.7.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原三角形(圖①)的邊長為1，記第n個圖形的周長為an，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則使得Sn>72成立的n的最小值為A.6 B.7 C.8 D.98.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosB=45，sinA+sinA.12 B.59 C.35二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知實數(shù)a，b滿足0<a<b<1，則下列不等關(guān)系一定成立的是A.a+b>2ab B.a+b<2ab C.ab>b10.已知拋物線C：x2=y，動點P(x0,y0)位于C的下方，過點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A(x1,y1)，A.x1=2x3

B.x1+x2=2x0

C.若點P在直線y=?1上運動，11.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an+1A.S98 B.S100 C.a1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積與底面積之比為________.13.已知圓C1的圓心在第一象限，且到兩坐標(biāo)軸的距離相等，若圓C1經(jīng)過坐標(biāo)原點且與圓C2：x2+y2?2x+2y?2=0相交于M，N14.若函數(shù)f(x)=(x?1)(ex?ax2)四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(1)求數(shù)列{an}(2)求數(shù)列{|an|}的前n16.(本小題12分)一年一度的“雙11”促銷活動落下帷幕，各大電商平臺發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，在消費品以舊換新、家電政府補貼等促消費政策和活動的帶動下，消費市場潛能加速釋放，帶動相關(guān)商品銷售保持增長．經(jīng)過調(diào)研，得到2019年到2024年“雙11”活動當(dāng)天某電商平臺線上日銷售額y(單位：百億元)與年份(第x年)的6組數(shù)據(jù)(時間變量x的取值依次為1，2，…，6)，對數(shù)據(jù)進行處理，得到如下散點圖(圖1)及一些統(tǒng)計量的值．其中ti=yxi=1i=1ti=1i=148.73.59112041.19.4388.1分別用兩種模型：①y=bx+a；②y=blnx+a進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程，并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖(圖2)(殘差值=真實值-(1)根據(jù)題中信息，通過殘差圖比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪一個模型進行擬合？請說明理由；(2)根據(jù)(1)中所選模型，(ⅰ)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程(系數(shù)精確到0.1)；(ⅱ)若該電商平臺每年活動當(dāng)天線上日銷售額y與當(dāng)日營銷成本u及年份x存在線性關(guān)系：y=3u+2.6x，則在第幾年活動當(dāng)日營銷成本的預(yù)測值最大？參考公式：b=i=1nx17.(本小題12分)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點為F1(1)求橢圓C的方程；(2)過點B(?3,0)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，若1|BP|+1|BQ|18.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ex(1)若?x∈(0,+∞)，都有f(x)>g(x)，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)m>0時，若函數(shù)?(x)=f(x)+g(x)的圖象在點A(x1,y1)，B(19.(本小題12分)已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點為F，過F作直線l1與拋物線交于A，B兩點(A在x軸的上方)，線段AB的中點M到(1)求拋物線E的方程；(2)過F作直線l2與拋物線交于C，D兩點(C在x軸的上方)，記直線AD的斜率為k1，直線BC的斜率為k(ⅰ)求證：直線AD過定點G；(ⅱ)若線段CD的中點為N，求△GMN的面積的取值范圍．

答案和解析1.【正確答案】D

本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬基礎(chǔ)題．

按照復(fù)數(shù)的四則運算法則即可得到答案.

解：iz=z+2?z=2.【正確答案】C

【分析】

本題考查交集、補集的求法，是基礎(chǔ)題．

求出集合B，再由交集、補集的定義求出?A(A∩B).

解：B={0,1,2,3}，A∩B={0,1,2}，故?A(A∩B)={?1,4,8}.3.【正確答案】A

【分析】

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，由充分必要的定義分析f(x)為奇函數(shù)與|f(x)|為偶函數(shù)之間的關(guān)系，即可得答案．

解：若y=f(x)為奇函數(shù)，則|f(?x)|=|?f(x)|=|f(x)|，

故y=|f(x)|為偶函數(shù);

若f(x)=x2，則y=|f(x)|=x2為偶函數(shù)，但f(x)4.【正確答案】A

【分析】本題考查直線過定點問題，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)解析幾何知識推出15m?

解：由題知m?4=n+1，即m?n=5，即15m?15n=1，5.【正確答案】D

【分析】

本題考查利用向量的數(shù)量積計算向量的模的方法，考查基礎(chǔ)知識和基本運算能力.

根據(jù)

a⊥a?b，可得

a?b=1，利用

|2a?b|=2a?b2即可求得答案.

解：∵

a⊥(a?b)，

∴

a?(a6.【正確答案】B

【分析】

本題考查了雙曲線的性質(zhì)及幾何意義，余弦的應(yīng)用，屬于一般題.

設(shè)|AB|=|BF1|=m，結(jié)合雙曲線的定義可得

|BF2|=m?2a，|AF2|=2a，|AF1|=4a，再利用余弦定理即可求得雙曲線

C的離心率.

解：設(shè)|AB|=|BF1|=m，

則|BF2|=m?2a，

∴|AF2|=2a，∴|AF17.【正確答案】C

【分析】

本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及歸納推理的應(yīng)用，屬于中檔題．

根據(jù)題意，分析可得數(shù)列{an}是首項a1=3，公比為43的等比數(shù)列，若Sn>72，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式可得關(guān)于n的不等式，利用對數(shù)的運算性質(zhì)解可得n的取值范圍，分析可得答案．

解：根據(jù)題意，觀察圖形得到，從第二個圖形開始，

每一個圖形的周長都在前一個的周長的基礎(chǔ)上多了原周長的13，

故an=43an?1(n≥2)，

數(shù)列{an}是首項a1=3，公比為43的等比數(shù)列，

8.【正確答案】B

【分析】

本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)正弦定理和余弦定理，結(jié)合題意即可求得

acb2的值．

解：因為cosB=45，則sinB=35，

由余弦定理得a2+c2?b2=9.【正確答案】AD

【分析】

本題考查了利用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小和利用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

利用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系對A與B進行判斷；利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小得ab<aa，再利用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小得aa<ba，再利用不等式性質(zhì)得結(jié)論.

解：因為實數(shù)a，b滿足0<a<b<1，所以1a>1b>1，因此1a+1b>2，

所以a+b>2ab，故A正確，B錯誤；

因為實數(shù)a，b滿足0<a<b<1，所以函數(shù)y=ax單調(diào)遞減，函數(shù)y=xa在0,+∞10.【正確答案】ABD

【分析】本題考查了求曲線上一點的切線方程(斜率、傾斜角)，過兩點的斜率公式，點斜式方程和與拋物線有關(guān)的軌跡問題，屬于中檔題.

利用求曲線上一點的切線斜率，結(jié)合過兩點的斜率公式得x0=x1+x22y0=x1x2，由x0=x1+x22對B進行判斷，利用點斜式方程得直線

解：因為y′=2x，所以拋物線C在A、B點處切線斜率分別為2x1、2x2.

又因為過動點P(x0,y0)作拋物線C的兩條切線，切點分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，

所以x1≠x0x2≠x0x1≠x2且y1?y0x1?x0=2x1y2?y0x2?x0=2x2，即x1≠x0x2≠x0x1≠x2且y0=2x1x0?x12y0=2x2x0?x22，解得x0=x1+x22y0=x1x2，11.【正確答案】BCD

【分析】本題考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列并項求和，考查運算能力，屬中檔題.

由題可得，a2n?a2n?1=(2n?1)2，a2n+1+a2n=4n2，a2n+2+a2=4n2+(2n+1)2，由此可判斷

解：由題知，a2n?a2n?1=(2n?1)2，a2n+1+a2n=4n2，

故a2n+1+a2n?1=4n?1，a2n+1+a2n=4n2，a2n+2?a2n+1=(2n+1)2，

故a2n+2+a2n=4n2+(2n+1)2，

故S100=(a12.【正確答案】2

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積計算問題，屬于基礎(chǔ)題．

由題意知圓錐的母線長和底面圓半徑的關(guān)系，由此求得圓錐的表面積．

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，因為圓錐的軸截面是正三角形，

所以母線長l=2r，所以S13.【正確答案】x2【分析】本題考查求圓的方程及兩圓的位置關(guān)系，考查運算能力，屬中檔題.

設(shè)出所求圓的方程x2+y2+Dx+Dy=0(D<0)，得到公共弦的方程

解：由題知，可設(shè)圓C1:x2+y2+Dx+Dy=0(D<0)，

則直線MN的方程為(D+2)x+(D?2)y+2=0，

由|MN|=7，得圓心C2到直線MN的距離為d=14.【正確答案】a≤0

【分析】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)圖象，屬于中檔題.

根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x<0時，恒有f(x)≤0，即ex?ax2≥0，即a≤exx2，即可得.

解：顯然f(1)=0，f(0)=?1，x→+∞時，f(x)→+∞，

由f(x)的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，

可知f(x)的圖象必過第一、三、四象限，

故當(dāng)x<0時，恒有f(x)≤0，即ex?ax2≥0，即a≤exx2，

15.【正確答案】解：(1)由題意得S9=a5=9a5，則a5=0，

∵a4a6=a6?a4，∴(a5?d)(a5+d)=2d，解得d=?2，

，∴a5=a1+4d=a1?8=0，

∴本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的通項公式和求和公式，屬于基礎(chǔ)題．

(1)根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項和公差的方程，即可求解；(2)根據(jù)數(shù)列正項和負項的分界，討論Tn

與Sn

16.【正確答案】解：(1)由殘差圖(圖2)知：模型②殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型①的帶狀區(qū)域的寬度更窄，

因此模型②的擬合精度更高，經(jīng)驗回歸方程的預(yù)報精度相應(yīng)就會越高，

所以模型②擬合效果更好，因此應(yīng)選擇模型②進行擬合.

(2)(i)因為b=i=16tiyi?6tyi=16ti2?6t2=388.1?6×1.1×48.79.4?6×1.12≈31.2，a=y?bt=48.7?31.2×1.1≈14.4，

所以y關(guān)于x的回歸方程為y=31.2t+14.4，即y=31.2lnx+14.4.

(ii)由題意得，營銷成本的預(yù)測值u=y?2.6x3=31.2本題考查了殘差與殘差圖，回歸直線方程和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)，屬于中檔題.

(1)利用殘差圖得結(jié)論；

(2)(i)令t=lnx，利用回歸直線方程通過計算得結(jié)論；

(ii)利用(i)的結(jié)論，結(jié)合題意得u=117.【正確答案】解：(1)由題意得2a+2c=4+2312b?2c=3，

則a=2，c=3，b=1，

∴橢圓的方程為：x24+y2=1.

(2)當(dāng)直線l與x軸重合時，點P(?2,0)，Q(2,0)，則|BP|=1，|BQ|=5，

所以1|BP|+1|BQ|=65≠425，不滿足題意.

當(dāng)直線l與x軸不重合時，設(shè)l:x=ty?3，代入橢圓方程x24+y2=1，

得(t2+4)y2?6ty+5=0，由Δ=16t2?80>0，得本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.(1)由題意得2a+2c=4+2312b?2c=3，求解可得a、b、c，從而可得橢圓的方程；

(2)當(dāng)直線l與x軸重合時，點P(?2,0)，Q(2,0)，則|BP|=1，|BQ|=5，即可得1|BP|+1|BQ|18.【正確答案】解：(1)令F(x)=f(x)?g(x)=ex?mx2?x?1(x>0)，

則F′(x)=ex?2mx?1，令G(x)=ex?2mx?1，

有G′(x)=ex?2m在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，G′(0)=1?2m.

①若m≤12，當(dāng)x∈(0,+∞)時，G′(x)>G′(0)=1?2m≥0，

∴G(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，則G(x)>G(0)=0，即F′(x)>0，

∴F(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，則F(x)>F(0)=0，即f(x)>g(x)成立;

②若m>12，當(dāng)x∈(0,ln(2m）時，有ex<2m，則G′(x)=ex?2m<0，

∴G(x)在區(qū)間(0,ln(2m）上單調(diào)遞減，則G(x)<G(0)=0，即F′(x)<0，

∴F(x)在區(qū)間(0,ln(2m）上單調(diào)遞減，則F(x)<F(0)=0，得f(x)<g(x)，與f(x)>g(x)矛盾.

綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為(?∞,12].

(2)證明：?(x)=ex+mx2?x?1，?′(x)=ex+2mx?1，

當(dāng)x>0時，有ex>1，2mx>0，∴?′(x)=ex+2mx?1>0，

∴?(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;同理，?(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調(diào)遞減.

由題意可得，?′