2025屆上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析_第1頁(yè)
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2025屆上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù),2019年11月全國(guó)CPI(居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)),同比上漲4.5%,CPI上漲的主要因素是豬肉價(jià)格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月CPI一籃子商品權(quán)重,根據(jù)該圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.CPI一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住B.CPI一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過(guò)50%C.豬肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%2.已知函數(shù)是奇函數(shù),則的值為()A.-10 B.-9 C.-7 D.13.關(guān)于函數(shù),有下述三個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的一個(gè)周期為;②函數(shù)在上單調(diào)遞增;③函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①② B.② C.②③ D.③4.一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為,高為,有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切,則該球的表面積為()A. B. C. D.5.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.6.設(shè)為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.8.若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.?dāng)?shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.710.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.12.已知為一條直線,為兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則______.14.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則______.15.在的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為________.(用數(shù)字作答)16.某部隊(duì)在訓(xùn)練之余,由同一場(chǎng)地訓(xùn)練的甲?乙?丙三隊(duì)各出三人,組成小方陣開展游戲,則來(lái)自同一隊(duì)的戰(zhàn)士既不在同一行,也不在同一列的概率為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,,為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),周長(zhǎng)的最大值為8.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)直線經(jīng)過(guò),交橢圓于點(diǎn),,直線與直線的傾斜角互補(bǔ),且交橢圓于點(diǎn),,,求證:直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.18.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲,每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與,測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,D四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對(duì)其排序,然后由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為xAxBxCxD,家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X來(lái)衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.(1)若參與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.(?。┣笏麄?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(簡(jiǎn)要說(shuō)明方法,不用寫出詳細(xì)計(jì)算過(guò)程);(2)若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來(lái)三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足X<4,請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解,說(shuō)明理由.19.(12分)如圖,點(diǎn)為圓:上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,,連接延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,點(diǎn)的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點(diǎn),分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點(diǎn),且,試問(wèn)在曲線上是否存在點(diǎn),使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線方程;若不存在,說(shuō)明理由.20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期;(II)若α∈(π6,π)且f(21.(12分)如圖,點(diǎn)是以為直徑的圓上異于、的一點(diǎn),直角梯形所在平面與圓所在平面垂直,且,.(1)證明:平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.22.(10分)已知數(shù)列,滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)分別求數(shù)列,的前項(xiàng)和,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.食品占19.9%,再看第二個(gè)圖,分清2.5%是在CPI一籃子商品中,還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的,故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過(guò)50%,故正確.C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯(cuò)誤.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式,先求得的值,然后結(jié)合的奇偶性,求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值,考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力,分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.3、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)時(shí),,,再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域,而,當(dāng)時(shí),再求值域.【詳解】因?yàn)?,故①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以,所以在上單調(diào)遞增,故②正確;函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域,易知,故當(dāng)時(shí),,故③正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為,高為,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示:因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為,高為,所以,到的距離為,同理到的距離為1,所以為球的球心,所以球的半徑為:1,所以球的表面積為.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積,還考查了空間想象的能力,屬于中檔題.5、C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,判斷出最小時(shí)的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項(xiàng)和中,前項(xiàng)的和最小,且.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),求得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo),由此判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,由,可得,即,化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標(biāo)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.8、B【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】是純虛數(shù),則,,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算,計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.12、D【解析】A.若,則或,故A錯(cuò)誤;B.若,則或故B錯(cuò)誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù),進(jìn)一步求出的值.【詳解】解:若,則,即,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):定積分的應(yīng)用,被積函數(shù)的原函數(shù)的求法,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.14、18【解析】

先由,可得,再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】解:因?yàn)椋裕?故答案為:18.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的運(yùn)算,重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

的展開式的通項(xiàng)為,取計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為:,取得到常數(shù)項(xiàng).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】

分兩步進(jìn)行:首先,先排第一行,再排第二行,最后排第三行;其次,對(duì)每一行選人;最后,利用計(jì)算出概率即可.【詳解】首先,第一行隊(duì)伍的排法有種;第二行隊(duì)伍的排法有2種;第三行隊(duì)伍的排法有1種;然后,第一行的每個(gè)位置的人員安排有種;第二行的每個(gè)位置的人員安排有種;第三行的每個(gè)位置的人員安排有種.所以來(lái)自同一隊(duì)的戰(zhàn)士既不在同一行,也不在同一列的概率.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了分步計(jì)數(shù)原理,排列與組合知識(shí),考查了轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)由橢圓的定義可得,周長(zhǎng)取最大值時(shí),線段過(guò)點(diǎn),可求出,從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線,直線,,,,.把直線與直線的方程分別代入橢圓的方程,利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出和,根據(jù)求出的值.最后直線與直線的方程聯(lián)立,求兩直線的交點(diǎn)即得結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)設(shè)的周長(zhǎng)為,則,當(dāng)且僅當(dāng)線段過(guò)點(diǎn)時(shí)“”成立.,,又,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(Ⅱ)若直線的斜率不存在,則直線的斜率也不存在,這與直線與直線相交于點(diǎn)矛盾,所以直線的斜率存在.設(shè),,,,,.將直線的方程代入橢圓方程得:.,,.同理,.由得,此時(shí).直線,聯(lián)立直線與直線的方程得,即點(diǎn)在定直線.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于難題.18、(1)(ⅰ)(ⅱ)分布表見解析;(2)理由見解析【解析】

(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的,家長(zhǎng)的排序有種等可能結(jié)果,利用列舉法求出其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,由此能求出他們?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率.

(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,由此能求出X的分布列.

(2)假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.【詳解】(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解,則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的,先考慮小孩的排序?yàn)閤A,xB,xC,xD為1234的情況,家長(zhǎng)的排序有=24種等可能結(jié)果,其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種,分別為:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=.基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況,只需將角標(biāo)A,B,C,D按照小孩的順序調(diào)整即可,假設(shè)小孩的排序xA,xB,xC,xD為1423的情況,四種食物按1234的排列為ACDB,再研究yAyByCyD的情況即可,其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的,∴他們?cè)谝惠営螒蛑?,?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為.(ii)根據(jù)(i)的分析,同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況,家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,列出所有情況,分別計(jì)算每種情況下的x的值,X的分布列如下表:X02468101214161820P(2)這位家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣比較了解.理由如下:假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解,由(1)可知,在一輪游戲中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為()3=,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,∴這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.19、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】

(1)設(shè),,,通過(guò),即為的中點(diǎn),轉(zhuǎn)化求解,點(diǎn)的軌跡的方程.(2)設(shè)直線的方程為,先根據(jù),可得,①,再根據(jù)韋達(dá)定理,點(diǎn)在橢圓上可得,②,將①代入②可得,該方程無(wú)解,問(wèn)題得以解決【詳解】(1)設(shè),,則,,由題意知,所以為中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,即,又點(diǎn)在圓:上,故滿足,得.曲線的方程.(2)由題意知直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,因?yàn)椋?,即①,?lián)立,消去得:,設(shè),,,,,因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,故,點(diǎn)在橢圓上,故,整理得②,將①代入

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