上海師大學附中2025屆高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

上海師大學附中2025屆高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．2．設函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當時，．若存在，且為函數(shù)的一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．若函數(shù)（）的圖象過點，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸4．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實數(shù)值的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知函數(shù)的導函數(shù)為，記，，…，N.若，則（）A． B． C． D．7．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．8．拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A．8 B．6 C．4 D．29．若函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．如圖，在平面四邊形中，滿足，且，沿著把折起，使點到達點的位置，且使，則三棱錐體積的最大值為（）A．12 B． C． D．11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與，則展開式所有項系數(shù)之和為______.14．若函數(shù)（）的圖象與直線相切，則______.15．“”是“”的__________條件.（填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）16．已知橢圓的下頂點為，若直線與橢圓交于不同的兩點、，則當_____時，外心的橫坐標最大．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，為等腰直角三角形，，平面底面，為的中點.（1）求證：平面；（2）若平面與平面的交線為，求二面角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：19．（12分）為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結(jié)束后對學生進行了考核．記表示學生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學生考核優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）記表示學生的考核成績在區(qū)間的概率，根據(jù)以往培訓數(shù)據(jù)，規(guī)定當時培訓有效．請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由．20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線與曲線交于，兩點，線段的中點為．（1）求線段長的最小值；（2）求點的軌跡方程．21．（12分）設，，其中．（1）當時，求的值；（2）對，證明：恒為定值．22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρcos2θ=4asinθ?(a>0)，直線l的參數(shù)方程為x=-2+22t,y=-1+（I）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程（不要求具體過程）；（II）設P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于中檔題.2、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對函數(shù)求導，判斷其單調(diào)性，進而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以，所以為奇函數(shù)，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數(shù)的一個零點，所以在時有一個零點因為當時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.3、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎題.4、C【解析】

由題可知，設函數(shù)，，根據(jù)導數(shù)求出的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設函數(shù)，，因為，所以，或，因為時，，或時，，，其圖象如下：當時，至多一個整數(shù)根；當時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，，所以.故選：C.【點睛】本題考查不等式的解法和應用問題，還涉及利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.5、C【解析】試題分析：根據(jù)題意，當時，令，得；當時，令，得，故輸入的實數(shù)值的個數(shù)為1．考點：程序框圖．6、D【解析】

通過計算，可得，最后計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以所以猜想可知：由所以所以故選：D【點睛】本題考查導數(shù)的計算以及不完全歸納法的應用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔題.7、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．8、A【解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4，雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．9、D【解析】

推導出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數(shù)的值，并對的值進行檢驗，即可得出結(jié)果.【詳解】，則，，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點不為，則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.所以，，即，解得或.①當時，令，得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：此時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，不合乎題意；②當時，，，當且僅當時，等號成立，則函數(shù)有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應用，解答的關(guān)鍵就是推導出，在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10、C【解析】

過作于，連接，易知，，從而可證平面，進而可知，當最大時，取得最大值，取的中點，可得，再由，求出的最大值即可.【詳解】在和中，，所以，則，過作于，連接，顯然，則，且，又因為，所以平面，所以，當最大時，取得最大值，取的中點，則，所以，因為，所以點在以為焦點的橢圓上（不在左右頂點），其中長軸長為10，焦距長為8，所以的最大值為橢圓的短軸長的一半，故最大值為，所以最大值為，故的最大值為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值，考查學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.11、C【解析】

由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立，設，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當時，則，，所以，，顯然當時，，故，，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當時，單調(diào)遞增，當時，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較為綜合的數(shù)列題.12、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選：C【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、64【解析】

由題意先求得的值，再令求出展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與，，，由兩式可組成方程組，解得或，令，求得展開式中所有的系數(shù)之和為.故答案為：64【點睛】本題考查了二項式定理，考查了賦值法求多項式展開式的系數(shù)和，屬于基礎題.14、2【解析】

設切點由已知可得,即可解得所求.【詳解】設，因為，所以，即，又，.所以，即，.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度較易.15、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應用.16、【解析】

由已知可得、的坐標，求得的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標，再由導數(shù)求最值．【詳解】如圖，由已知條件可知，不妨設，則外心在的垂直平分線上，即在直線，也就是在直線上，聯(lián)立，得或，的中點坐標為，則的垂直平分線方程為，把代入上式，得，令，則，由，得（舍）或．當時，，當時，.當時，函數(shù)取極大值，亦為最大值．故答案為：.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應用，訓練了利用導數(shù)求最值，是中等題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取的中點，連接，易得，進而可證明四邊形為平行四邊形，即，從而可證明平面；（2）取中點，中點，連接，易證平面，平面，從而可知兩兩垂直，以點為坐標原點，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，進而求出平面的法向量，及平面的法向量為，由，可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖1，取的中點，連接.，，，，且，四邊形為平行四邊形，.又平面，平面，平面.（2）如圖2，取中點，中點，連接.，，平面平面，平面平面，平面，平面，兩兩垂直.以點為坐標原點，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系.由，可得，在等腰梯形中，，易知，.則，，設平面的法向量為，則，取，得.設平面的法向量為，則，取，得.因為，，，所以，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，利用空間向量法是解決本題的較好方法，屬于中檔題.18、（1）遞減區(qū)間為（-1，0），遞增區(qū)間為（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導函數(shù)，由是函數(shù)的極值點可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域，并根據(jù)導函數(shù)的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間.（2）當時，.代入函數(shù)解析式放縮為，代入證明的不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由函數(shù)單調(diào)性及零點存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函數(shù)的最小值，由對數(shù)式變形化簡可證明，即成立，原不等式得證.【詳解】（1）函數(shù)可求得，則解得所以，定義域為，在單調(diào)遞增，而，∴當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，此時是函數(shù)的極小值點，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為（2）證明：當時，，因此要證當時，，只需證明，即令，則，在是單調(diào)遞增，而，∴存在唯一的，使得，當，單調(diào)遞減，當，單調(diào)遞增，因此當時，函數(shù)取得最小值，，，故，從而，即，結(jié)論成立.【點睛】本題考查了由函數(shù)極值求參數(shù)，并根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導數(shù)證明不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應用，屬于難題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）結(jié)合圖表得到6人中有2個人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）求出滿足的成績有16個，求出滿足條件的概率即可．【詳解】解：（Ⅰ）設這名學生考核優(yōu)秀為事件，由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學中，有7名同學考核優(yōu)秀，所以所求概率約為（Ⅱ）設從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件，因為表中成績在的6人中有2個人考核為優(yōu)，所以基本事件空間包含15個基本事件，事件包含9個基本事件，所以（Ⅲ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足的成績有16個，所以所以可以認為此次冰雪培訓活動有效．【點睛】本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．20、（1）（2）【解析】

（1）將曲線的方程化成直角坐標方程為，當時，線段取得最小