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2025屆浙江省余姚市高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知滿足,則的取值范圍為()A. B. C. D.2.已知為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.3.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.64.如圖,正四面體的體積為,底面積為,是高的中點(diǎn),過(guò)的平面與棱、、分別交于、、,設(shè)三棱錐的體積為,截面三角形的面積為,則()A., B.,C., D.,5.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.36.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的的值是()A.8 B.32 C.64 D.1287.已知橢圓:的左,右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若,且的三邊長(zhǎng),,成等差數(shù)列,則的離心率為()A. B. C. D.8.若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時(shí),在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.410.若實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C.3 D.211.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),滿足條件是偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則,,的大小關(guān)系是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,滿足約束條件,則的最小值為_(kāi)_________.14.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.15.某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知5號(hào)、31號(hào)、44號(hào)學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是__________.16.角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則的值是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)()(1)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),對(duì)于任意,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的極小值;(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19.(12分)已知函數(shù),設(shè)的最小值為m.(1)求m的值;(2)是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得,?并說(shuō)明理由.20.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別是,且.(1)求;(2)若,求.21.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.22.(10分)已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由圖可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線平行于軸時(shí),此時(shí)成立;取所有負(fù)值都成立;當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取正值中的最小值,,此時(shí);故的取值范圍為;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問(wèn)題,解題時(shí)作出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵.對(duì)于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.2、B【解析】
設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時(shí),取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過(guò)作交于點(diǎn),連接由拋物線定義,
,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取“=”號(hào),∴的最小值為.
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào).
答案:C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,“1”的應(yīng)用,利用基本不等式求最值時(shí),一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。?;三相等是最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
設(shè),取與重合時(shí)的情況,計(jì)算出以及的值,利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示,利用排除法,取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè),延長(zhǎng)到,使得.,,,,則,由余弦定理得,,,又,,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除B、D選項(xiàng);因?yàn)?,,此時(shí),,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除C選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法,考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.5、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【詳解】因?yàn)?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡(jiǎn)得,即令,所以,故選C?!军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。6、C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,逐次計(jì)算,結(jié)合判斷條件,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行上述程序框圖,可得第1次循環(huán),滿足判斷條件,;第2次循環(huán),滿足判斷條件,;第3次循環(huán),滿足判斷條件,;第4次循環(huán),滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計(jì)算,結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出,,,利用勾股定理列方程,結(jié)合橢圓的定義,求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式,化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】由已知,,成等差數(shù)列,設(shè),,.由于,據(jù)勾股定理有,即,化簡(jiǎn)得;由橢圓定義知的周長(zhǎng)為,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法,考查橢圓的定義,考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于中檔題.8、D【解析】
由題可知,可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為方程有兩解,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上,即曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn),即方程有兩解,即有兩解,令,則,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故時(shí)取得極大值,也即為最大值,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以滿足條件.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.9、C【解析】
逐一分析選項(xiàng),①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點(diǎn)必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn),根據(jù)平移知識(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為,正確.②由題意知.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因?yàn)?,,所以最大值?4,結(jié)論錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】
作出可行域,直線目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線,平移該直線可得最優(yōu)解.【詳解】作出可行域,如圖由射線,線段,射線圍成的陰影部分(含邊界),作直線,平移直線,當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,解題關(guān)鍵是作出可行域,本題要注意可行域不是一個(gè)封閉圖形.11、A【解析】
畫(huà)出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問(wèn)題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.12、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函數(shù),∴f(-x+1)=f(x+1),即函數(shù)f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱.
∵當(dāng)x≥1時(shí),為減函數(shù),∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故選C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出約束條件所表示的可行域,利用直線截距的幾何意義,即可得答案.【詳解】畫(huà)出可行域易知在點(diǎn)處取最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的最值,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、160【解析】
先求的展開(kāi)式中通項(xiàng),令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為:;令,可得;的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故答案為:160.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題.15、18【解析】
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)求出另一個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,已知其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)為5,31,44,故還有一個(gè)抽取的個(gè)體的編號(hào)為18,故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】試題分析:由三角函數(shù)定義知,又由誘導(dǎo)公式知,所以答案應(yīng)填:.考點(diǎn):1、三角函數(shù)定義;2、誘導(dǎo)公式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)極小值為,極大值為.(2)【解析】
(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù),再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),即可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)題意,對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行變形,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)是單調(diào)減函數(shù),分離參數(shù),求函數(shù)的最值即可求得結(jié)果.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,,,,可知,,解得,,可知在,時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,在時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,可知函數(shù)的極小值為,極大值為.(2)可以變形為,可得,可知函數(shù)在上單調(diào)遞減,,可得,設(shè),,可知函數(shù)在單調(diào)遞減,,可知,可知參數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查由切線的斜率求參數(shù)的值,以及對(duì)具體函數(shù)極值的求解,涉及構(gòu)造函數(shù)法,以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域;第二問(wèn)的難點(diǎn)在于對(duì)目標(biāo)式的變形,屬綜合性中檔題.18、(1);(2)極小值;(3)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【解析】
(1)求出和的值,利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值;(3)由當(dāng)時(shí),以及,結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1)因?yàn)?,所以.所以,.所以曲線在點(diǎn)處的切線為;(2)因?yàn)?,令,得或.列表如下?極大值極小值所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值;(3)當(dāng)時(shí),,且.由(2)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.19、(1)(2)不存在;詳見(jiàn)解析【解析】
(1)將函數(shù)去絕對(duì)值化為分段函數(shù)的形式,從而可求得函數(shù)的最小值,進(jìn)而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【詳解】(1);(2),若,同號(hào),,不成立;或,異號(hào),,不成立;故不存在實(shí)數(shù),,使得,.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)正弦定理到,得到答案.(2)計(jì)算,再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】(1)由,可得,因?yàn)?,所以,所?(2),又因?yàn)?,所?因?yàn)椋裕?【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21、,;,證明見(jiàn)解析【解析】
對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中,的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,
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