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文檔簡介
甘肅省蘭州市二十七中2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知甲、乙兩人獨立出行,各租用共享單車一次(假定費用只可能為、、元).甲、乙租車費用為元的概率分別是、,甲、乙租車費用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為()A. B. C. D.2.在等腰直角三角形中,,為的中點,將它沿翻折,使點與點間的距離為,此時四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.3.已知橢圓的左、右焦點分別為,,上頂點為點,延長交橢圓于點,若為等腰三角形,則橢圓的離心率A. B.C. D.4.自2019年12月以來,在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,研究表明,該新型冠狀病毒具有很強的傳染性各級政府反應迅速,采取了有效的防控阻擊措施,把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記,有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶,負責該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生,現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去,且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記,則不同的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.72種5.設遞增的等比數(shù)列的前n項和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.6.已知為兩條不重合直線,為兩個不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.7.如圖所示,在平面直角坐標系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于,兩點,且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.8.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為()A. B.C. D.9.如圖,在四邊形中,,,,,,則的長度為()A. B.C. D.10.記為數(shù)列的前項和數(shù)列對任意的滿足.若,則當取最小值時,等于()A.6 B.7 C.8 D.911.命題:的否定為A. B.C. D.12.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點,已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于()A. B.1 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.戊戌年結(jié)束,己亥年伊始,小康,小梁,小譚,小楊,小劉,小林六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人,分別奔赴四所不同的學校參加演講,則不同的分配方案有_________種(用數(shù)字作答),14.已知為正實數(shù),且,則的最小值為____________.15.正四棱柱中,,.若是側(cè)面內(nèi)的動點,且,則與平面所成角的正切值的最大值為___________.16.已知全集,集合則_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù).(1)當時,解不等式;(2)設,且當時,不等式有解,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)設拋物線的焦點為,準線為,為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過點.(1)求的值及該圓的方程;(2)設為上任意一點,過點作的切線,切點為,證明:.19.(12分)運輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時,每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元(),運輸?shù)穆烦虨镾(千米).設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用(包括運費和損耗費)分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、、的表達式;(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.20.(12分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于、兩點,且.(1)求拋物線的方程;(2)設為拋物線上任意一點(異于頂點),過做傾斜角互補的兩條直線、,交拋物線于另兩點、,記拋物線在點的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補.21.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)當時,要使恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)設函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若對任意都有,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為.故選:B.【點睛】本題考查獨立性事件的概率.掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎.2、D【解析】
如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點,這樣根據(jù)幾何關系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點,設幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時,一般可以用補形法,因正方體,長方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關于外接球半徑的方程求解.3、B【解析】
設,則,,因為,所以.若,則,所以,所以,不符合題意,所以,則,所以,所以,,設,則,在中,易得,所以,解得(負值舍去),所以橢圓的離心率.故選B.4、C【解析】
先將4名醫(yī)生分成3組,其中1組有2人,共有種選法,然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去,有種方法,由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選:C【點睛】此題考查的是排列組合知識,解此類題時一般先組合再排列,屬于基礎題.5、A【解析】
根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項,即得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因為.且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6、D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A,當,,時,則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯誤;對于B,當,,時,則,故不能作為的充分條件,故B錯誤;對于C,當,,時,則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯誤;對于D,當,,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點睛】本題考查了面面垂直的判斷問題,屬于基礎題.7、A【解析】
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標,然后利用向量垂直的坐標表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因為,所以,所以.所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點,考查了向量垂直的坐標表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎題.8、C【解析】
根據(jù)三視圖可知,該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成,由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為,故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計算,屬于基礎題.9、D【解析】
設,在中,由余弦定理得,從而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【詳解】設,在中,由余弦定理得,則,從而,由正弦定理得,即,從而,在中,由余弦定理得:,則.故選:D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.10、A【解析】
先令,找出的關系,再令,得到的關系,從而可求出,然后令,可得,得出數(shù)列為等差數(shù)列,得,可求出取最小值.【詳解】解法一:由,所以,由條件可得,對任意的,所以是等差數(shù)列,,要使最小,由解得,則.解法二:由賦值法易求得,可知當時,取最小值.故選:A【點睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項,采用了賦值法,屬于中檔題.11、C【解析】
命題為全稱命題,它的否定為特稱命題,將全稱量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.12、D【解析】
建立平面直角坐標系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標系,如圖所示,∵,,,∴,設拋物線,代入點,可得∴焦點為,即焦點為中點,設焦點為,,,∴.故選:D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點間的距離等基礎知識;考查運算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應用意識.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1080【解析】
按照先分組,再分配的分式,先將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,然后用分步計數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,則不同的分配方案有種.故答案為:1080【點睛】本題主要考查分組分配問題,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.14、【解析】
,所以有,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由已知,,所以,當且僅當,即時,等號成立.故答案為:【點睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問題,采用的是“1”的替換,也可以消元等,是一道中檔題.15、2.【解析】
如圖,以為原點建立空間直角坐標系,設點,由得,證明為與平面所成角,令,用三角函數(shù)表示出,求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖,以為原點建立空間直角坐標系,設點,則,,又,得即;又平面,為與平面所成角,令,當時,最大,即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題,考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題,一般是建立空間直角坐標,在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù),將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解,考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.16、【解析】
根據(jù)補集的定義求解即可.【詳解】解:.故答案為.【點睛】本題主要考查了補集的運算,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)通過分類討論去掉絕對值符號,進而解不等式組求得結(jié)果;(2)將不等式整理為,根據(jù)能成立思想可知,由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】(1)當時,可化為,由,解得;由,解得;由,解得.綜上所述:所以原不等式的解集為.(2),,,,有解,,即,又,,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題;關鍵是明確對于不等式能成立的問題,通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.18、(1),圓的方程為:.(2)答案見解析【解析】
(1)根據(jù)題意,可知點的坐標為,即可求出的值,即可求出該圓的方程;(2)由題易知,直線的斜率存在且不為0,設的方程為,與拋物線聯(lián)立方程組,根據(jù),求得,化簡解得,進而求得點的坐標為,分別求出,,利用向量的數(shù)量積為0,即可證出.【詳解】解:(1)易知點的坐標為,所以,解得.又圓的圓心為,所以圓的方程為.(2)證明易知,直線的斜率存在且不為0,設的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點的坐標為.所以,,.故.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和圓的方程,考查直線和拋物線的位置關系,利用聯(lián)立方程組、求交點坐標以及向量的數(shù)量積,考查解題能力和計算能力.19、(1),,.(2)當時,此時選擇火車運輸費最??;當時,此時選擇飛機運輸費用最??;當時,此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【解析】
(1)將運費和損耗費相加得出總費用的表達式.(2)作差比較、的大小關系得出結(jié)論.【詳解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比較與的大小關系即可,令,故當,即時,,即,此時選擇火車運輸費最省,當,即時,,即,此時選擇飛機運輸費用最省.當,即時,,,此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【點睛】本題考查了常見函數(shù)的模型,考查了分類討論的思想,屬于基礎題.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)題意,設直線方程為,聯(lián)立方程,根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)題意,設的方程為,聯(lián)立方程得,同理可得,進而得到,再利用點差法得直線的斜率,利用切線與導數(shù)的關系得直線的斜率,進而可得與互補.【詳解】(1)由題意設直線的方程為,令、,聯(lián)立,得,根據(jù)拋物線的定義得,又,故
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