2025屆廣東省清遠(yuǎn)市高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆廣東省清遠(yuǎn)市高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)（，）的一個(gè)零點(diǎn)是，函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）3．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．4．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．5．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線的右支上，且點(diǎn)不共線.若的周長的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．6．函數(shù)（）的圖像可以是（）A． B．C． D．7．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A． B． C．4 D．9．在中，為上異于，的任一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．4 D．511．展開式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．128012．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件，則的最大值為__________．14．設(shè)向量，，且，則_________.15．已知點(diǎn)M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時(shí)，該切線的方程為_______．16．在平行四邊形中，已知，，，若，，則____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點(diǎn)，與平面所成的角的正弦值為，求的長.18．（12分）已知（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）記，若存在實(shí)數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)，求證：．19．（12分）在中，內(nèi)角的邊長分別為，且．（1）若，，求的值；（2）若，且的面積，求和的值．20．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.21．（12分）已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，，，且，，依次成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.22．（10分）“綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識，高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組，分為兩組，討論學(xué)習(xí)．甲組一共有人，其中男生人，女生人，乙組一共有人，其中男生人，女生人，現(xiàn)要從這人的兩個(gè)興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.（1）設(shè)事件為“選出的這個(gè)人中要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須來自不同的組”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和期望

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，得出，再根據(jù)是對稱軸，得出，求出的最小值與對應(yīng)的，寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因?yàn)椋裕ǎ?又，所以，所以，令（），則（）.因此，當(dāng)取得最小值時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn)，在對稱軸處取得最值，對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.3、C【解析】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計(jì)算得到答案.【詳解】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.4、C【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點(diǎn)睛】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．5、A【解析】

依題意可得即可得到，從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；【詳解】解：依題意可得如下圖象，所以則所以所以所以，即故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)，可排除，然后采用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，所以當(dāng)時(shí)，，又，令，則令，則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調(diào)性；（5）值域，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，則或，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以0或是函數(shù)y的極值點(diǎn)，函數(shù)的極值為：，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，難度不大.8、B【解析】由，可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，則，則，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.9、A【解析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，又，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為：化簡求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個(gè)括號里出項(xiàng)，第二個(gè)括號里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號里出，第二個(gè)括號里出，具體為：化簡得到-1280x2故得到答案為：A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).12、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標(biāo)函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，.14、【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的計(jì)算，以及向量的平方，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：且由所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)計(jì)算，主要考查計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，利用基本不等式可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可得切線方程.【詳解】，，＝1時(shí)有最小值1，此時(shí)M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、【解析】

設(shè)，則，得到，，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，設(shè)，則，又由，，所以為的中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)，則，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則，以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設(shè)，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，由是中點(diǎn)，得到到平面的距離，然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設(shè)，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以為到平面的距離，因?yàn)榕c平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）沒有極值點(diǎn)；（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)可得,再求導(dǎo)可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷；（2）轉(zhuǎn)化問題為存在且,使,可得,由（1）可知,即,則,整理可得,則,設(shè),則可整理為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,即可求證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點(diǎn).（2）由題,,若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn),即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面證明,只需證明：,令,則證,即．設(shè),那么,所以,所以,即【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),考查利用導(dǎo)函數(shù)解決雙變量問題,考查運(yùn)算能力與推理論證能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理計(jì)算即可得到所求值；

（2）運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡可得sinA+sinB=5sinC，運(yùn)用正弦定理和三角形的面積公式可得a，b的方程組，解方程即可得到所求值．【詳解】解：（1）由余弦定理由正弦定理得（2）由已知得：所以------①又所以------②由①②解得【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的恒等變換，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來進(jìn)行分類討論即可【詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，所以.所以當(dāng)時(shí)，.解：（2）因?yàn)?，所?討論：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時(shí)，有.又，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點(diǎn)問題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類討論，本題屬于難題21、（1）（2）【解析】

（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)求出公差，從而求出，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可