上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.若，則_____【答案】【解析】.2.設(shè)函數(shù)若則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)___________.【答案】或【解析】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得或，舍去，所以；當(dāng)時(shí)，，得.綜上，或.3.函數(shù)的值域是_____________．【答案】【解析】∵y＝的定義域?yàn)镽，∴方程y(1＋x2)＝x有實(shí)數(shù)解，即方程yx2－x＋y＝0有實(shí)數(shù)解，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝0，當(dāng)y≠0時(shí)，則≥0，即1－4y2≥0，解得≤y≤且y≠0，綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋?4.定義集合運(yùn)算:且．若集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)____．【答案】【解析】由題設(shè)中新集合定義可得：，，故，故其子集個(gè)數(shù)為，故答案為：.5.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則________【答案】【解析】，則由，有，即，的周期，故，又，故，則有，解得，又，故.6.已知平面向量，的夾角為，若，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由兩邊平方得，即，即，解得.7.設(shè)和是關(guān)于x的方程的兩個(gè)虛數(shù)根，若、、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則實(shí)數(shù)________.【答案】13【解析】設(shè)，由實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)定理可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，整理得，設(shè)、、在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、、，則，可知A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，若復(fù)平面上、、對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則，即，解得，所以.8.已知圓，直線，直線被圓所截的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)________【答案】【解析】圓的圓心，半徑，直線，由，解得，則直線過(guò)定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，直線被圓所截弦長(zhǎng)最短，而，所以最短弦長(zhǎng)為.9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為_(kāi)____．【答案】【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即在區(qū)間上恒成立，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以的最大值為.10.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________【答案】【解析】根據(jù)題意知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)橢圓的定義可知，所以，則，所以最小時(shí)，即最小，即定點(diǎn)到直線最短距離是過(guò)定點(diǎn)到直線的垂線段長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，所以.11.若曲線在處的切線也是曲線的切線，則______．【答案】【解析】設(shè)，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,化為．設(shè)，則，又設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由題，得，解得，則切點(diǎn)為．因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線上，則．12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋液蛯?duì)任意的都成立，若當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______【答案】【解析】令，則有，即當(dāng)時(shí)，，又，∴即當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椤喈?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?，∴?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，時(shí)，的值域?yàn)?，依此?lèi)推可知，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，的值域?yàn)橛?，?dāng)時(shí)，，∴綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?二、選擇題（本大題滿(mǎn)分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.“”是“直線和直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)，則直線分別為和直線滿(mǎn)足平行，即充分性成立，若直線和直線平行，當(dāng)時(shí)，直線分別為和，不滿(mǎn)足條件，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，即，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，故不滿(mǎn)足條件，故，即必要性成立，綜上“”是“直線和直線平行”的充要條件，故選：C．14.已知是定義域?yàn)镽的函數(shù)，，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以，所以成立，構(gòu)造，所以由上述過(guò)程可得在單調(diào)遞增，（1）若，則對(duì)稱(chēng)軸，解得；（2）若，在單調(diào)遞增，滿(mǎn)足題意；（3）若，則對(duì)稱(chēng)軸恒成立；綜上.故選：D.15.在正方體中，是底面的中心，是棱上的點(diǎn)，且，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為4，則，，，＝＝，平面的法向量，∴＝，∴＝，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，＝，∵，∴.故選：C.16.如圖，將線段AB，CD用一條連續(xù)不間斷的曲線連接在一起，需滿(mǎn)足要求：曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，并且在點(diǎn)B，C處的切線分別為直線AB，CD，那么下列說(shuō)法正確的是（）命題甲：存在曲線滿(mǎn)足要求命題乙：若曲線和滿(mǎn)足要求，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，曲線滿(mǎn)足要求A.甲命題正確，乙命題正確 B.甲命題錯(cuò)誤，乙命題正確C.甲命題正確，乙命題錯(cuò)誤 D.甲命題錯(cuò)誤，乙命題錯(cuò)誤【答案】B【解析】由圖知點(diǎn)，直線的斜率分別為，則直線AB的方程為，直線CD的方程為，對(duì)于命題甲：曲線的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，代入得，即，又由，得，而的取值集合為，要，必有，又當(dāng)時(shí)，，，因此不存在，即方程組中a，b沒(méi)有解，命題甲不正確；對(duì)于命題乙：當(dāng)時(shí)，由，求導(dǎo)得，有，即，即當(dāng)時(shí)，曲線滿(mǎn)足要求，命題乙正確.故選：B.三、解答題（本大題滿(mǎn)分78分）17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD中點(diǎn)，．（1）求證：平面PBC；（2）求四面體的體積．解：（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，因平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)?，所以是等邊三角形，取的中點(diǎn)，面內(nèi)連結(jié)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，，且，所?18.已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）已知在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，且，求面積的最大值．解：（1），，又，則，故，因此可得，即函數(shù)的值域?yàn)椋?）由（1）可知，又，所以，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，由可知，，由基本不等式得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故三角形面積，即面積最大值為1．19.某中學(xué)新建了學(xué)校食堂，每天有近2000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐，午餐開(kāi)放時(shí)間約40分鐘，食堂制作了三類(lèi)餐食，第一類(lèi)是選餐，學(xué)生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購(gòu)；第二類(lèi)是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐；第三類(lèi)是面食，如煮面、炒粉等，為了更合理地設(shè)置窗口布局，增加學(xué)生的用餐滿(mǎn)意度，學(xué)校學(xué)生會(huì)在用餐的學(xué)生中對(duì)就餐選擇、各類(lèi)餐食的平均每份取餐時(shí)長(zhǎng)以及可接受等待時(shí)間進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并得到以下的統(tǒng)計(jì)圖表.類(lèi)別選餐套餐面食選擇人數(shù)503020平均每份取餐時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）20.51已知飯?zhí)玫氖埏埓翱谝还灿?0個(gè)，就餐高峰期時(shí)有200名學(xué)生在等待就餐.（1）根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，如果設(shè)置12個(gè)選餐窗口，4個(gè)套餐窗口，4個(gè)面食窗口，就餐高峰期時(shí)，假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待（即各類(lèi)餐食的窗口前隊(duì)伍長(zhǎng)度各自相同），問(wèn)：選擇選餐的同學(xué)最長(zhǎng)等待時(shí)間是多少？這能否讓80％的同學(xué)感到滿(mǎn)意（即在接受等待時(shí)長(zhǎng)內(nèi)取到餐）？（2）根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，從等待時(shí)長(zhǎng)和公平的角度上考慮，如何設(shè)置各類(lèi)售飯窗口數(shù)更優(yōu)化，并給出你的求解過(guò)程.解：（1）由題意得，就餐高峰期時(shí)選擇選餐的總?cè)藬?shù)為人；這100人平均分布在12個(gè)選餐窗口，平均每個(gè)窗口等待就餐的人數(shù)為人，所以選擇選餐同學(xué)的最長(zhǎng)等待時(shí)間為分鐘，由可接受等待時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖可知，分組為的頻率分別為，所以可接受等待時(shí)長(zhǎng)在15分鐘以上的同學(xué)占，故設(shè)置12個(gè)選餐窗口，4個(gè)套餐窗口，4個(gè)面食窗口，不能讓80％的同學(xué)感到滿(mǎn)意；（2）假設(shè)設(shè)置m個(gè)選餐窗口，n個(gè)套餐窗口，k個(gè)面食窗口，則各隊(duì)伍的同學(xué)最長(zhǎng)等待時(shí)間如下：類(lèi)別選餐套餐面食高峰期就餐總?cè)藬?shù)1006040各隊(duì)伍長(zhǎng)度（人）最長(zhǎng)等待時(shí)間（分鐘）依題意，從等待時(shí)長(zhǎng)和公平的角度上考慮，則要求每個(gè)隊(duì)伍的最長(zhǎng)等待時(shí)間大致相同，即得，即有，而，故，因此建議設(shè)置選餐、套餐、面食三個(gè)類(lèi)別的窗口數(shù)分別為個(gè).20.設(shè)橢圓的離心率，過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓被直線截得的弦長(zhǎng).（3）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求值.（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）解：（1）由題意可知，解得，橢圓的方程為．（2）設(shè)橢圓與直線的交點(diǎn)為，，，，聯(lián)立方程，消去得，，，因此（3）設(shè)，，聯(lián)立方程，消去得，所以，，，得由，即，，均符合，故21.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱(chēng)與gx為“互補(bǔ)函數(shù)”，為“互補(bǔ)數(shù)”.（1）判斷函數(shù)與是否為“互補(bǔ)函數(shù)”，并說(shuō)明理由.（2）已知函數(shù)為“互補(bǔ)函數(shù)”，且為“互補(bǔ)數(shù)”.（i）是否存在，使得？說(shuō)明理由.（ii）