天津市寧河區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市寧河區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題參考公式：圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高．圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．第Ⅰ卷一、選擇題1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，則.故選：D.2.設(shè)，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，故充分性滿(mǎn)足；由不一定得到，比如，故必要性不滿(mǎn)足，所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.3.2023年7月28日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)大運(yùn)會(huì)）在四川成都開(kāi)幕，這是繼2001北京大運(yùn)會(huì)，2011深圳大運(yùn)會(huì)之后，中國(guó)第三次舉辦夏季大運(yùn)會(huì)；在成都大運(yùn)會(huì)中，中國(guó)代表團(tuán)取得了驕人的成績(jī)．為向大學(xué)生普及大運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí)，某高校進(jìn)行“大運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽”，并隨機(jī)從中抽取了200名學(xué)生的成績(jī)（滿(mǎn)分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績(jī)均在內(nèi)，將其分成5組：，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為（）A.20 B.40 C.60 D.80【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可得，解得，所以成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.故選：C.4.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，易知函?shù)是增函數(shù)，又，所以，又易知是減函數(shù)，所以，得到，故選：B.5.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤，又，，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：D.6.如圖，在直角梯形中，，，，，，以所在直線(xiàn)為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐的組合體，如圖所示：其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于圓柱的高等于，圓錐的高等于，底面圓的面積為，圓錐的體積為，圓柱的體積為，所以所得幾何體的體積為．故選：C.7.已知數(shù)列滿(mǎn)足：，若，則（）A.48 B.24 C.16 D.12【答案】A【解析】由得，所以數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.8.已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以，得到，又拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以，又，得到，所以雙曲線(xiàn)的方程為，故選：D.9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，它的最小正周期為，關(guān)于該函數(shù)有下面四個(gè)說(shuō)法：①的圖象過(guò)點(diǎn)②在區(qū)間上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；④把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象．以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】的最小正周期為，所以，得，由關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，所以，解得，又，所以，所以，對(duì)于①：，①錯(cuò)誤；對(duì)于②：由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，②正確；對(duì)于③：由得，函數(shù)在上的值域?yàn)?，所以的取值范圍為，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得，④正確；故選：B.第Ⅱ卷二、填空題10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)________．【答案】【解析】.故答案為：11.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是________．【答案】【解析】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以的系數(shù)為，故答案為：.12.過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)和圓相交于A，B兩點(diǎn)，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以直線(xiàn)方程為，即，圓心到直線(xiàn)的距離為，故，故答案為：13.甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有大小質(zhì)地完全相同的個(gè)球，其中甲箱中有個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球．若從甲箱中不放回地依次隨機(jī)取出個(gè)球，則兩次都取到紅球的概率為_(kāi)_________；若先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的球是紅球的概率為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)閺募紫渲胁环呕氐匾来坞S機(jī)取出個(gè)球，共有種取法，又兩次都取到紅球，共有種取法，由古典概率公式知，兩次都取到紅球的概率為，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是紅球，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是白球，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是黑球，記事件：從乙箱中取出的球是紅球，則，，所以.故答案為：；.14.在平行四邊形中，，是的中點(diǎn)，，若設(shè)，則可用，表示為_(kāi)_________；若的面積為，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，可得，即，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為.故答案為：；.15.已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】.【解析】數(shù)形結(jié)合，由直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系可得當(dāng)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).三、解答題16.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）根據(jù)為三角形的內(nèi)角可得，根據(jù)正弦定理得；（2）根據(jù)余弦定理，解得，（負(fù)值舍去）；（3）因?yàn)?，所以為銳角，所以，所以，，所以.17.如圖，且，，且，且，平面，，M為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由平面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)面的法向量為，則，取可得，此時(shí)，所以，又面，所以平面；（2）解：設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，，所以，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為；（3）解：設(shè)面的法向量為，，則，取可得，設(shè)平面與平面夾角為，所以.即平面與平面夾角的余弦值.18.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，且滿(mǎn)足，，，．（1）求和通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以；（2）由（1）得，（3）由（1）得，則，所以?xún)墒较鄿p得.所以.19.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，直線(xiàn)，的斜率分別為，，且，求證：（i）；（ii）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：由題知，，，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）證明：（i）由（1）知，設(shè)直線(xiàn)，直線(xiàn)，由，消得到，得到，，所以，由，消得到，得到，，所以，故，，所以，故，（ii）由（i）知，所以直線(xiàn)的方程為，整理得到，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為.20.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，得，則，，所以切線(xiàn)方程為，