云南省昆明市西山區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省昆明市西山區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋曰?，所以或，又因?yàn)?，所以，故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意知，，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B4.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水問題較為突出.某市政府為了制定居民節(jié)約用水相關(guān)政策，抽樣調(diào)查了該市200戶居民月均用水量（單位：），繪制成頻率分布直方圖如圖1，則下列說法不正確的是（）A.圖中小矩形的面積為0.24B.該市居民月均用水量眾數(shù)約為C.該市大約有85%的居民月均用水量不超過D.這200戶居民月均用水量的中位數(shù)大于平均數(shù)【答案】D【解析】由，可得，所以，故A正確；由題意可知該市居民月均用水量眾數(shù)約為，故B正確；由題意可得該市居民月均用水量不超過的頻率為：，故C正確；設(shè)200戶居民月均用水量的中位數(shù)為，因?yàn)榈谝粋€(gè)矩形的面積為0.04，第二個(gè)矩形的面積為0.3，第三個(gè)矩形的面積為0.24，所以中位數(shù),則，這200戶居民月均用水量的平均數(shù)因?yàn)椋赃@200戶居民月均用水量的中位數(shù)小于平均數(shù)，故D不正確．故選：D．5.已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，拋物線：（）的焦點(diǎn)與的右焦點(diǎn)重合，為上的點(diǎn)，三角形的周長(zhǎng)為5，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】根據(jù)橢圓方程可得，的周長(zhǎng)為，可得；所以的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，即，解得.故選：C6.已知定義在上的函數(shù)，滿足，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由，知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由，知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的周期為.又，所以，，所以，又，所以，所以.故選：D7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，因?yàn)?，且，解得或，所以，，所?故選：A8.一支運(yùn)輸車隊(duì)某天上午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)，第一輛車于早上8時(shí)出發(fā)，以后每隔15分鐘發(fā)出一輛車.假設(shè)所有司機(jī)都連續(xù)開車，并都在中午12時(shí)停下來休息.每輛車行駛的速度都是80千米/小時(shí)，截止到12時(shí)這個(gè)車隊(duì)所有車輛一共行駛了2660千米，則該車隊(duì)一共發(fā)出（）輛車A.14 B.14或19 C.15 D.15或16【答案】A【解析】設(shè)共發(fā)出n輛車，第n輛車行駛時(shí)間為，其中.因第一輛車于早上8時(shí)出發(fā)，以后每隔15分鐘發(fā)出一輛車，則，即為等差數(shù)列.又設(shè)前n項(xiàng)和為，則.但注意到，，則.故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知正四面體的棱長(zhǎng)等于2，則（）A.點(diǎn)到平面的距離為B.直線與所成角為C.直線與平面所成角的余弦值為D.若點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】對(duì)于AC選項(xiàng)，取三角形的中心為D，連接OD，連接AD至E，則平面ABC，則點(diǎn)到平面的距離為OD.又D為三角形重心，則E為CB中點(diǎn)，則，，故OD，故A錯(cuò)誤；即為直線與平面所成角，則，故C正確；對(duì)于BD選項(xiàng)，如圖將正四面體放置于一正方體內(nèi)部，則正方體棱長(zhǎng).如圖，因，//，則四邊形為平行四邊形，則//，則直線與所成角即為與所成角，故夾角為，故B正確；因分別為正方體上下底面中心，則長(zhǎng)度等于正方體棱長(zhǎng)，故D正確.故選：BCD10.設(shè)，為橢圓：的左右頂點(diǎn)，，為的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則（）A.當(dāng)橢圓與直線相切時(shí)，B.在橢圓上任意取一點(diǎn)，過作軸的垂線段，為垂足，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為圓C.若點(diǎn)不與，重合，則直線，的斜率之積為D.不存在點(diǎn)，使得【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，由消去并化簡(jiǎn)得，，得，解得，A選項(xiàng)正確B選項(xiàng)，設(shè)，由于，所以，代入并化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡是圓，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，設(shè)，，則，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB11.已知，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，記，，則（）A.當(dāng)，時(shí)，則在方向上的投影向量為B.當(dāng)，時(shí)，為銳角的充要條件是C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線D.當(dāng)，時(shí)，動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過的重心【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則在方向上的投影向量為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，角為銳角且、不共線，即，解得且，所以，為銳角的充要條件是，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，所以，，即，又因?yàn)?、有公共點(diǎn)，故點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，則，此時(shí)，動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過的重心，D對(duì).故選：ACD.12.已知直線：與圓：，若存在點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，，使得，則可能的取值為（）A.2 B.0 C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)榧?，令，解得，所以過定點(diǎn)，圓，圓心為，半徑為，由切線性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)榇嬖谑沟?，所以，記到的距離為，又因?yàn)?，?dāng)最大時(shí)，此時(shí)，所以，所以，所以，解得，又因?yàn)椋钥扇?，故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則______.【答案】15【解析】，，又，解得，.故答案為：15.14.米斗是稱量糧食的量器，它有著吉祥的宮意，是豐饒富足的象征，是古代官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具.某課外興趣小組為了解米斗的幾何結(jié)構(gòu)，在通用技術(shù)教師的指導(dǎo)下，用木制榫卯結(jié)構(gòu)的方式制作了一個(gè)米斗如圖，上寬下窄呈方形，近似于一個(gè)正四棱臺(tái)，斗口邊長(zhǎng)為3米，斗底邊長(zhǎng)為2米，斗高3米，則該米斗能裝米______升（忽略木板厚度，1升立方米）.【答案】【解析】由題意可得，上底面面積，下底面面積，高，則米斗的體積，則該米斗能裝米升.故答案為：15.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)為，，過的直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足，，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】如圖，設(shè)，，，，其中.由，則，則.又，則，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得則，又因，則.故答案為：16.已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)恰有4個(gè)零點(diǎn)和三條對(duì)稱軸，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由，可得，根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知若在區(qū)間內(nèi)恰有4個(gè)零點(diǎn)和三條對(duì)稱軸，可得，解得，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在中，角，，對(duì)應(yīng)邊分別為,,且.（1）求角；（2），，點(diǎn)在上，，求的長(zhǎng).解：（1）由題意知，，得，由余弦定理，得，即，所以，由，得.（2）由（1）知，，所以，即，由，解得，即，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，即，解得，所以.18.已知函數(shù)為奇函數(shù)，.（1）求的值；（2）若，，證明：.解：（1）由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?，利用奇函?shù)可知，解得，此時(shí)為奇函數(shù)；所以（2）易知，由可得，即滿足，易知在上是單調(diào)遞增，且，，即可得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，所以，所以，由可令，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，；即可得.19.已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，則，即，且，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，則，所以，則.20.某電商專門生產(chǎn)某種電子元件，生產(chǎn)的電子元件除編號(hào)外，其余外觀完全相同，為了檢測(cè)元件是否合格，質(zhì)檢員設(shè)計(jì)了圖甲、乙兩種電路.（1）在設(shè)備調(diào)試初期，已知該電商試生產(chǎn)了一批電子元件共5個(gè)，只有2個(gè)合格，質(zhì)檢員從這批元件中隨機(jī)抽取2個(gè)安裝在甲圖電路中的，處，請(qǐng)用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間，并求小燈泡發(fā)亮的概率；（2）通過設(shè)備調(diào)試和技術(shù)升級(jí)后，已知該電商生產(chǎn)的電子元件合格率為0.9，且在生產(chǎn)過程中每個(gè)電子元件是否合格互不影響，質(zhì)檢員從該電商生產(chǎn)的一批電子元件中隨機(jī)抽取3個(gè)安裝在乙圖電路中的，，處，求小燈泡發(fā)亮的概率.解：（1）由題意可得{（合格，合格），（合格，不合格），（不合格，不合格）}；設(shè)事件：小燈泡發(fā)亮，則，則，即小燈泡發(fā)亮的概率為.（2）當(dāng)小燈泡亮的時(shí)候，元件一定是合格的，元件中至少有一個(gè)是合格的，第一種情況：元件合格，元件合格，元件不合格，則；第二種情況：元件合格，元件不合格，元件合格，；第三種情況：元件合格，元件合格，元件合格，；則小燈泡發(fā)亮的概率.21.已知平行四邊形如圖甲，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，且，連接得三棱錐，如圖乙.（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，則，因?yàn)?，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面法向量為，則，取，則，，所以，，易知平面的一個(gè)法向量為，則，整理可得，因?yàn)?，解得，因此，線段上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，且.22.已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.