云南省三校2025屆高三上學(xué)期高考備考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省三校2025屆高三上學(xué)期高考備考實(shí)用性聯(lián)考卷（五）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋傻?，解得，即集合，且所?故選：B．2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.5 C. D.2【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)可得，所以，則.故選：C．3.已知向量，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，因?yàn)?，所以，則，解得，所以，又，則向量與的夾角為，故選：B.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，又，所以，故，，又，解得，故選：B.5.已知圓錐的母線長(zhǎng)為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，在中，，所以，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則有，所以，又由，可得，則，故圓錐的體積為.故選：A．6.某市人民政府新招聘進(jìn)名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個(gè)部門，每人只去一個(gè)部門，每個(gè)部門必須有人，若甲部門必須安排人，則不同的方案數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】名應(yīng)屆大學(xué)畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個(gè)部門，甲部門必須安排人有種，剩余個(gè)人分配到乙、丙、丁三個(gè)部門有種，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，故選：A.7.已知M是雙曲線左支上的一個(gè)點(diǎn)，，是雙曲線的焦點(diǎn)，，的面積為8，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椤谩谩?∶，所以∶∶∶∶，設(shè)，由可得，因?yàn)?，解得，所以，解得，所以離心率，故選：C．8.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù)是奇函數(shù)，，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱D.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為，則【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B可知是奇函數(shù)，所以，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，即，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，代入得，解之得或，又正實(shí)數(shù)，，，所以，則矛盾，即不會(huì)有取的可能，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取“”），C正確；對(duì)于D，由，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，D正確.故選：ACD．10.已知，其中相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)的距離為，且經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.C.時(shí)，的值域?yàn)?D.時(shí)，與的交點(diǎn)數(shù)為個(gè)【答案】AB【解析】A選項(xiàng)：由已知相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)的距離為，可得，又，可得，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則，即，又，可得，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，則，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離有它到直線距離的比是常數(shù)，點(diǎn)的軌跡稱為曲線，直線y=kxk≠0與曲線交于、兩點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線的方程B.C.為曲線上不同于、的一點(diǎn)，且直線、的斜率分別為，，則D.為坐標(biāo)原點(diǎn)，的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)Px,y，則，即，即，化簡(jiǎn)得，故曲線的方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可知，曲線為橢圓，且，，，設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為，如圖，由為和中點(diǎn)可知四邊形為平行四邊形，所以，所以，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、Ax1,y因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，則，可得，同理，所以，C錯(cuò)；對(duì)D，由定義知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與它到定直線距離滿足，所以，其中為點(diǎn)到直線的距離，即求橢圓上一點(diǎn)到與到直線距離和的最大值，如下圖所示：顯然當(dāng)在橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，和同時(shí)取得最大值，所以，，D對(duì)，故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知是公比為2的等比數(shù)列，若，則______．【答案】【解析】記等比數(shù)列公比為，則.因，故．13.已知圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為，則原點(diǎn)到直線的距離為______．【答案】【解析】圓心與的焦點(diǎn)重合，由可得由點(diǎn)斜式方程可得：即：，原點(diǎn)到的距離．14.費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)．當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三個(gè)角都為．如圖，已知和都是正三角形，，，且，，三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【解析】如圖，由題設(shè)有，而，，由余弦定理可得，所以，故是直角三角形，且，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，即為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，取最小值，法一：幾何法因?yàn)椋?，所以，，故?dāng)且僅當(dāng)為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，取最小值且最小值為．法二：解析法如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，且A-2,0，，由費(fèi)馬點(diǎn)的定義知點(diǎn)滿足，故在以為弦且半徑為的劣弧上，設(shè)圓心為，而，故，故，故圓，同理也在以為弦且半徑為的劣弧上，其方程為，由，可得，再代入其中一式解得，（，舍），所以取最小值時(shí)，，，取最小值為．法三：代數(shù)法設(shè)，則，由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可得，（），由正弦定理可得且，故，整理得到，解得，即，，此時(shí)，而，同理，故的最小值為．四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且有，數(shù)列bn滿足，且，前11項(xiàng)和為220．（1）求數(shù)列，bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．解：（1），故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，.又，，數(shù)列為等差數(shù)列，令其前項(xiàng)和為，則，，公差，，.（2）由（1）知：，故，；．16.如圖，在梯形中，，，，且，現(xiàn)將沿翻折至，使得．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值．（1）證明：，且，易得翻折后，又，，平面，平面，平面，，，，，，即，又，，平面，平面；（2）解：連接，在梯形中，易得，，，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則為平面一個(gè)法向量，結(jié)合（1）易知平面，所以取平面的法向量，所以，即平面與平面所成角的余弦值為，平面與平面所成角的正弦值為.17.如圖，已知，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線交線段PM于點(diǎn)N，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)0,4且斜率為k的直線l與曲線C交于D，E兩點(diǎn)，求面積的最大值（O為原點(diǎn)）．解：（1）如圖，易知圓的圓心為，半徑為4，由題得，，所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以M、Q為焦點(diǎn)的橢圓，不妨設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距為，其中，所以的方程為（2）由題意得直線，由，，令，所以，即或．設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為．18.設(shè)．（1）求在處的切線方程；（2）證明：時(shí)，；（3）設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)都有，求的最小值．（1）解：已知，則，則，又，所以切線方程為，即；（2）證明：，，，令，解得，可知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（3）解：由（2）可知當(dāng)時(shí)：，即：，令可得，從而，即，當(dāng)，，所以，即的最小值為.19.有一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，游戲規(guī)定：每位參與者進(jìn)行次摸球，每次從袋中一次性摸出兩個(gè)球，如果每次摸出的兩個(gè)球顏色相同即為中獎(jiǎng)，顏色不同即為不中獎(jiǎng)，有兩種摸球方式：一是每次摸球后將球均不放回袋中，直接進(jìn)行下一次摸球，中獎(jiǎng)次數(shù)記為；二是每次摸球后將球均放回袋中，再進(jìn)行下一次摸球，中獎(jiǎng)次數(shù)記為.（1）求第一次摸球就中獎(jiǎng)的概率；（2）若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若，函數(shù)隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望.解：（