重慶市永川中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)階段性檢測數(shù)學(xué)試題

永川中學(xué)高2023級高二上期數(shù)學(xué)階段性檢測一?單選題（共40分，每題5分）1.下列命題中，正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則2.在中，，則角的值為（）A.或B.或C.D.3.所有的頂點(diǎn)都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個面叫底面，其它面叫側(cè)面，兩底面之間的距離叫高，經(jīng)過高的中點(diǎn)且平行于兩個底面的截面叫中截面.似柱體的體積公式為，這里為兩個底面面積，為中截面面積，為高.如圖，已知多面體中，是邊長1為的正方形，且均為正三角形，，則該多面體的體積為（）A.B.C.D.4.如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（）A.B.C.D.5.已知是夾角為兩個單位向量，若向量在向量上投影向量為，則（）A.B.2C.D.6.如圖，在直三棱柱中，，為線段的中點(diǎn)，為線段（包括端點(diǎn)）上一點(diǎn)，則的面積的取值范圍為（）A.B.C.D.7.吸煙有害健康，小明為了幫助爸爸戒煙，在爸爸包里放一個小盒子，里面隨機(jī)擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”，且和爸爸約定，每次想吸煙時，從盒子里任取一支，若取到口香糖則吃一支口香糖，不吸煙；若取到香煙，則吸一支煙，不吃口香糖，假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同，則“口香糖吃完時還剩2支香煙”的概率為（）A.B.C.D.8.已知向量滿足，若，且，則的最大值為（）A.3B.2C.D.二?多選題（每題6分）9.對于四面體，以下命題中正確的命題是（）A.若，則與底面所成的角相等B.若，則點(diǎn)A在底面內(nèi)的射影是的內(nèi)心C.四面體的四個面中最多有四個直角三角形D.若四面體的6條棱長都為1，則它的內(nèi)切球的表面積為10.已知的外接圓半徑，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.的周長的最小值為D.的面積的最大值為11.定義：已知兩個非零向量與的夾角為.我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.則下列命題中正確的有（）A.若平行四邊形的面積為4，則B.在正中，若，則C.若，則的最小值為D.若，且為單位向量，則的值可能為三?填空題（每題5分）12.設(shè)全集，若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)形成圖形的面積為__________.13.從一堆產(chǎn)品（正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，則下列說法：①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件②“至少有1件正品”和“全是次品”是對立事件③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是對立事件④“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是對立事件其中正確的有__________（填序號）.14.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，如圖，三角形是底邊和腰長分別為和的等腰三角形的紙片，將它沿虛線（中位線）折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的四面體，若該四面體內(nèi)包一蛋黃（近似于球），則蛋黃的半徑的最大值為__________（用最簡根式表示）；在該四面體的所有棱和面所成的異面直線所成的角?二面角中最小的角的余弦值為四?解答題15.（13分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，（1）求；（2）若的面積為，求.16.（15分）如圖，在正三棱柱中，.點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接.（1）試問：線段上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.（15分）某停車場臨時停車按停車時長收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每輛汽車一次停車不超過半小時的免費(fèi)，超過半小時的部分每小時收費(fèi)3元（不足1小時的部分按1小時計算）.現(xiàn)有甲?乙兩人在該停車場停車.兩人停車時長互不影響且都不超過2.5小時.（1）若甲停車的時長在不超過半小時，半小時以上且不超過1.5小時，1.5小時以上且不超過2.5小時這三個時段的可能性相同，求甲停車的費(fèi)用不超過3元的概率；（2）若甲停車的時長在不超過半小時，半小時以上且不超過1.5小時，1.5小時以上且不超過2.5小時這三個時段的可能性相同，乙停車的時長在這三個時段的可能性也相同，求甲?乙兩人停車的費(fèi)用之和為9元的概率；（3）甲?乙停車不超過半小時的概率分別為，停車半小時以上且不超過1.5小時的概率分別為，求甲?乙兩人臨時停車的費(fèi)用不相同的概率.18.（17分）在空間幾何體中，平面，平面平面，.（1）求證：平面；（2）若平面，試比較三棱錐與的體積的大小，并說明理由.19.在四棱錐中，已知，是線段上的點(diǎn).（1）求證：底面；（2）是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：1.C2.D3.B4.C5.A【詳解】在向量上的投影向量為..故選：A6.B【詳解】如圖，連接，過作，垂足為.在直三棱柱中，平面平面，所以，異面直線間垂線段最短故.過作于點(diǎn)，連接，易得平面，則，又，所以.因為，，所以，則.當(dāng)與重合時，，當(dāng)與重合時，由，得平面，所以，所以.所以的面積的取值范圍為，故選：B7.D【解】由題：“口香糖吃完時還剩2支香煙”說明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有兩次口香糖一次香煙，記香煙為，口香糖為，進(jìn)行四次取物，基本事件總數(shù)為：種事件“口香糖吃完時還剩2支香煙”前四次取物順序分為以下三種情況：煙?糖?糖?糖：種糖?煙?糖?糖：種糖?糖?煙?糖：種包含的基本事件個數(shù)為：54，所以，其概率為8.D【解】如圖：令，則，故.因為，所以，記的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.設(shè)，連接，因為，所以點(diǎn)在直線上.因為，所以，即，所以.結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，即取得最大值，且.故選：D9.ACD【解】解：A項：因為，設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影是，因為，所以，則與底面所成的角相等；故A正確；B項：設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影是，則是在平面內(nèi)的射影，因為，根據(jù)三垂線定理的逆定理可知：同理可證，所以是的垂心，故B不正確；C項：如圖：直角三角形的直角頂點(diǎn)已經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個數(shù)是4.故C正確D項：如圖，為正四面體的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為1；所以為內(nèi)切球的半徑，，所以，因為，所以，所以，所以球的表面積為：，故D正確.故選：ACD.10.ABD【詳解】在中，設(shè)角所對的邊分別記作，，又的外接圓半徑，由正弦定理得：，又不會同為鈍角，故，又，故B選項對.由上得：，由余弦定理得：的最小值為，故A選項對，C選項錯.由上得：，又的面積的最大值為，故D選項對，故選：ABD.11.ACD解1解：對于A，因為平行四邊形的面積為4，所以，所以，故A正確；對于B，設(shè)正的邊邊上的中點(diǎn)為，則，因為，所，所以，所以B錯誤；對于C，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，所以C正確；對于D，若，且為單位向量，則當(dāng)時，可以等于，此時，所以D正確.故選：ACD.12.【詳解】設(shè).由，可知，即，即.因為，，所以，則可化為，解得.即集合在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為圓及其內(nèi)部，集合在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為直線的左側(cè)，集合在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為直線的右側(cè)（包括直線），如圖所示.所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)形成的圖形即為圖中的弓形部分.弓形的面積為扇形的面積減去的面積，易知扇形的圓心角，圓的半徑，則扇形的面積，所以弓形的面積為.故答案為：.13.①②④①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同時發(fā)生，是互斥事件，故①正確；②“至少有1件正品”和“全是次品”，不能同時發(fā)生，是互斥事件也是對立事件，故②正確；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”存在恰有一件正品和一件次品，不是互斥事件但不是對立事件，故③不正確；④“至少有1件次品”和“全是正品”不能同時發(fā)生，是互斥事件也是對立事件，④正確.故答案為①②④.14.；【詳解】如圖所示，對折疊之前的平面圖形中各點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記，同時將折疊后的幾何體置于長方體中.設(shè)長方體的長寬高分別為.，解得四面體為，四面體的全面積為，內(nèi)切球半徑，則，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則，故長為6的兩組對棱所成的角的余弦值都是.長為4的兩組對棱所成的角為直角；由于四面體各個面的面積都是，所以各個面上的高都是相等的，設(shè)為，則，當(dāng)棱的長選取最長為6時，該棱與相應(yīng)各面所成的角最小，其正弦值為，余弦值各異面直線所成的角，線面所成的角中最小的角的余弦值是，故答案為：.15.【解】（1）由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，又因為，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，從而，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.16如圖，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則.在正三棱柱中，平面平面，又平面平面平面，所以平面，即平面.因為平面，所以.因為平面所以平面，因為平面，所以.在中，設(shè)，則.易得，所以，所以.所以線段上存在一點(diǎn)，且當(dāng)時，.（2）取的中點(diǎn)，連接.由題意可得兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.設(shè)平面的法向量為.由，得，令，得，則.設(shè)直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.17.【詳解】（1）由題意，甲停車的時長在不超過半小時，半小時以上且不超過1.5小時，1.5小時以上且不超過2.5小時這三個時段的可能性相同均為，且三段時間費(fèi)用分別為0，3，6元.故甲停車的費(fèi)用不超過3元的概率為.（2）設(shè)甲停車付費(fèi)元，乙停車付費(fèi)元，其中.所以甲?乙兩人停車付費(fèi)的所有可能情況為：，共9種，且概率相等.其中事件“甲?乙兩人停車付費(fèi)之和為9元”包含，共2種情況，故甲?乙兩人停車付費(fèi)之和為9元的概率為.（3）設(shè)甲停車的時長不超過半小時?乙停車的時長不超過半小時分別為事件，甲停車的時長在半小時以上且不超過1.5小時?乙停車的時長在半小時以上且不超過1.5小時分別為事件，甲停車的時長為1.5小時以上且不超過2.5小時，乙停車的時長在1.5小時以上且不超過2.5小時分別為事件，則，所以甲?乙兩人臨時停車付費(fèi)相同的概率為.所以甲?乙兩人臨時停車付費(fèi)不相同的概率為.18【詳解】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連，由得，平面平面，又平面，平面平面，平面，又平面，又平面平面平面.（2）解：連接.平面平面