高考數(shù)學二輪總復習專題突破練13空間幾何體的結(jié)構(gòu)表面積與體積

專題突破練13空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積一、單項選擇題1.某圓錐的母線長為2,底面半徑為3,則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為()A.2 B.3 C.2 D.12.阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學家,他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學家,他一生最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理,即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切,球的體積是圓柱體積的三分之二,球的表面積也是圓柱表面積的三分之二.今有一“圓柱容球”模型,其中圓柱的表面積為12π,則該模型中球的體積為()A.8π B.4π C.8π3 D3.(2023·海南學業(yè)水平診斷)如圖所示,某制藥廠以前生產(chǎn)的維C藥片的形狀是由一個圓柱和兩個直徑為12cm的半球組成的幾何體,總長度為2cm.現(xiàn)根據(jù)市場需求進行產(chǎn)品升級,要將藥片形狀改為高為12cm的圓柱,且升級前后藥片的表面積相同,則升級后的藥片體積相比升級前(A.減少了π48cm3 B.增加了π48C.減少了π96cm3 D.增加了π964.正多面體的各個面都是全等的正多邊形,其中,面數(shù)最少的正多面體是正四面體,面數(shù)最多的正多面體是正二十面體,它們被稱為柏拉圖多面體.某些病毒,如單純皰疹病毒的核衣殼就是正二十面體.如圖,正二十面體是由20個等邊三角形組成的.已知多面體滿足頂點數(shù)棱數(shù)+面數(shù)=2,則正二十面體的頂點的個數(shù)為()A.30 B.20 C.12 D.105.(2023·山東臨沂一模)古希臘亞歷山大時期的數(shù)學家帕普斯在《數(shù)學匯編》中記載著一個確定重心的定理:“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交,那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”,即V=Sl(V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積,S表示平面圖形的面積,l表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長).如圖,直角梯形ABCD,已知AB∥DC,AB⊥AD,AB=3CD,AD=3,則其重心G到AB的距離為()A.74 B.32 C.546.已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點,且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐OABC的體積為()A.212 B.312 C.247.(2023·廣西南寧二中模擬)已知體積為4π3的球O1與正三棱柱ABCA1B1C1的所有面都相切,則三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面積為(A.24π B.20π C.16π D.12π8.(2023·廣東惠州模擬)河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺為原型,經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型,冠部為“方斗”形,上揚下覆,取上承“甘露”、下納“地氣”之意.冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺.已知一個“方斗”的上底面與下底面的面積之比為1∶4,高為2,體積為563,則該“方斗”的側(cè)面積為(A.24 B.12 C.245 D.1259.(2023·廣東深圳一模)如圖,一個棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水,若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形,則V的取值范圍是()A.(16,56) BC.(12,23) D二、多項選擇題10.已知正四棱臺的上底面邊長為1,側(cè)棱長為2,高為2,則()A.棱臺的側(cè)面積為83B.棱臺的體積為132C.棱臺的側(cè)棱與底面所成的角為πD.棱臺的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為311.(2023·江蘇連云港模擬)折扇在我國有悠久的歷史,“扇”與“善”諧音,折扇也寓意“善良”“善行”.它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面,是運籌帷幄,決勝千里,大智大勇的象征(如圖①).圖②是一個圓臺的側(cè)面展開圖(扇形的一部分),若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3,且∠ABC=120°,則該圓臺()圖①圖②A.高為2B.表面積為34C.體積為52D.上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為1∶9∶24三、填空題12.將一個邊長為2的正三角形以其中一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的表面積為.

13.(2023·青海西寧模擬)已知A,B,C三點都在表面積為100π的球O的表面上,若AB=43,∠ACB=60°,則球心O到平面ABC的距離等于.

14.(2023·新高考Ⅱ,14)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為.

15.(2023·廣西梧州模擬)如圖所示的六面體由兩個棱長為a的正四面體MABC,QABC組合而成,記正四面體MABC的內(nèi)切球為球O1,正四面體QABC的內(nèi)切球為球O2,則O1O2=;若在該六面體內(nèi)放置一個球O,則球O的體積的最大值是.

專題突破練13空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積一、單項選擇題1.A解析如圖,設截面為△SMN,P為MN的中點,O為底面圓的圓心,OP=x(0≤x<3),由題意可知SB=2,OB=3,則SO=1,SP=x2+1,MN=2所以S△SMN=12MN·SP=因為0≤x<3,所以當x2=1,即x=1時,(S△SMN)max=2.故選A.2.D解析由題意可知球的表面積為12π×23=8π,設球的半徑為r,則4πr2=8π,解得r=2,所以球的體積為43πr3=43π×(3.D解析以前的藥片表面積為4π×(14)2+π×12×32=π(cm2),體積為43π×(14)3+π×(14)2×32=11π96(cm3).設升級后的藥片底面半徑為r,則2πr2+2πr×12=π,得2r2+r1=0,解得r=14.C解析依題意,正二十面體的棱的條數(shù)為20×32=30,所以正二十面體的頂點的個數(shù)為3020+2=125.C解析設CD=x,AB=3x,直角梯形繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為V=π·32·x+13·π·32·(3xx)=15πx.梯形ABCD的面積S=12×(x+3x)×3=6x,故記重心G到AB的距離為h',則重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長為l=2πh',則15πx=(2πh')·66.A解析如圖,AC⊥BC,AC=BC=1,設O1為AB的中點,連接CO1,OO1,則CO1=22,由題意OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=OC2-CO127.B解析因為球O1的體積為4π3,所以球O1的半徑為1,又因為球O1與正三棱柱ABCA1B1C1的所有面都相切,所以正三棱柱ABCA1B1C1底面內(nèi)切圓的半徑為1,棱柱高為2.設正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心為O,底面ABC內(nèi)切圓的圓心為O',設BC的中點為D,則O'在AD上,且O'D=1,所以AO'=2,又因為OO'=1,所以三棱柱ABCA1B1C1外接球的半徑為OA=12+22=5,即外接球的表面積為4π×8.D解析由題意可知,記正四棱臺為ABCDA1B1C1D1,其底面為正方形,側(cè)面為四個等腰梯形,把該四棱臺補成正四棱錐PABCD如圖,設M是底面ABCD上AC與BD的交點,N是底面A1B1C1D1上A1C1與B1D1的交點,則PM是正四棱錐PABCD的高,MN為正四棱臺ABCDA1B1C1D1的高,設A1B1=a,AB=b,則上、下底面的面積分別為a2,b2,由題意知a2∶b2=1∶4,所以b=2a.在△PAB中,PA1PA=A1在△PAM中,PA1PA=PNPM=1又因為VABCD-A1B1C1D1=13×(a2所以PA=PM2+AM2=42+(2所以側(cè)面積S=4×12×(2+4)×9.A解析將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形,如圖,水最少的臨界情況是水面為平面A1BD,水最多的臨界情況為多面體ABCDA1B1D1,水面為平面B1CD1.因為VA-A1BD=13×12×1×1×1=16,VABCD-A1B1二、多項選擇題10.AC解析如圖,過點A1作A1H⊥AB于點H,過點A1作A1M⊥AC于點M,則A1M⊥平面ABCD,AH⊥MH,所以AM=A又因為AH=MH,所以AH=1,所以A1H=22-12=3,AB=2×1+1=3.所以棱臺的側(cè)面積為4因為上底面面積S'=1,下底面面積S=9,所以棱臺的體積為13(S+S'S+S')·A1M=13×13因為∠A1AM為側(cè)棱A1A與底面所成的角,cos∠A1AM=AMA1A=22,所以∠因為∠A1HM為側(cè)面AA1B1B與底面所成二面角的平面角,sin∠A1HM=A1M故選AC.11.BCD解析對于A,設圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為R,則2πr=13·2π·1,2πR=13·2π·3,解得r=13,R=1,所以圓臺的母線長為31=2,高為h=22-(1-13)

2=423,選項A錯誤;對于B,圓臺的上底面積為π9,下底面積為π,側(cè)面積為12×(2π3+2π)×2=8π3,所以圓臺的表面積為S=π9+π+8三、填空題12.43π解析由題意可知所得幾何體為兩個同底的圓錐組成的組合體,圓錐的底面半徑為3,母線長為2,則所求表面積為2×π×3×213.3解析如圖所示,設△ABC的外接圓的圓心為O',球O半徑為R.根據(jù)正弦定理可知BO'=AB2sin∠ACB=432×32=4.由球O的表面積為100π得4πR2=100π,解得R=5.由球的性質(zhì)可知,△OBO'14.28解析如圖所示,在正四棱錐PABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.點O',O分別為正四棱臺ABCDA'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,點H',H為垂足.由題意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知△PO'H'∽△POH,所以PO'PO=O'H'OH,即3PO=12,解得PO=6,所以OO'=POPO'=3,所以該正四棱臺的體積是V=1315.6a686πa3729解析如圖,取BC的中點D,連接由四面體MABC是正四面體,知N為△ABC的中心,且N在線段AD上,AD⊥BC.由正四面體的棱長為a,可得AD=3a2,MN=AM2-A設球O1的半徑為r,由等體積法可得VMABC=13×3a24根據(jù)該六面體的對稱性可知正四面體MABC的內(nèi)切球和正四面體QABC的內(nèi)切球均與平面ABC相切于N點,可得O1O2=2r=6當球O的體