2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷17（A卷） (解析版)

2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷17（A卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓

名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜卜產(chǎn)+4%>0卜B={X|），=V7二1}則A（）

A.（-4,11B.（-4,0）C.[1,4）D.（0,4）

【答案】C

【解析】求解一元二次不等式求得集合A,求函數(shù)的定義域求得集合3,之后找出兩集合的交集即可.

【詳解】一元二次不等式-V+4x>0得0vx<4,

所以可得A=（0,4）,又8=）,故AB=[l,4）,

故選：C.

【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知以點有?元二次不等式的解法，函數(shù)的定義域，集合

的運算,屬于基礎(chǔ)撅目.

2.若二=（3,1）,匕二（一2,5）,（2。一〃）〃（3々+/汕），則〃?=（）.

?331

A.-B.—C.—D.—

2222

【答案】C

【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標(biāo)表示求得2d-〃，3a十〃心，存利用共線向量的坐標(biāo)表示解求解.

【詳解】解：2a—》=(&-3),34+/汕=(9-2〃7,3+5〃。，

因為(2a-人)〃(3〃+〃?力)，

所以8(3+5E)+3(9-2〃。=0,

3

懈得用=-1.

故選：C.

3.已知復(fù)數(shù)3+2i是方程/+辦+13=0的一個根，則實數(shù)〃=()

A.-5B.5C.-6D.6

【答案】C

【分析】將復(fù)數(shù)代入方程即可求得〃的值.

【詳解】由題意可得(3+2i)2+43+2i)+13=(),即3a+18+2(a+6)i=0,解得〃=一6.

故選：C.

4.如圖，在正方體ABCO-A8C。中，RM，N分別為"，陰，?？诘闹悬c，則與平面MNP垂直的直線可

以是()

A.A/B.4。C.AGD.A。

【答案】D

【分析】

試卷第2頁，共23頁

作出與平面MNP平行的平面A8Q,證明4。_1面442即可.

【詳解】

連接做如下圖所示:

因為P.M,N分別為48,明,。。的中點，故MPHAB、,B\D\IIMN,

乂MP?面AB】R,AB】u面ABQ,故MP〃面八B】R；

又WN(Z面ABQ],用Ru面ABQ]，故MN〃面ABR；

又MPcMN=M,MP,MNu面MNP,故面MNP〃面

則垂直于半間MN尸的直線一定垂直十面Agg;

顯然CG，面A4GA，8Q1U面A4GA，故8Q_LCG，

又B'DJAC，AGcCG=G，AG，CGU面AG。，

故8a_1面4?。，又ACu面ACC，故AC~L8Q；

同理可得A,ClABif又cgDi=B「AB1,8Qu面A8Q,

故AC1面ABQ,也即A。，面MN產(chǎn)；

若其它選項的直線垂直于平面MNP,則要與4c平行，顯然都不平行.

故選：D.

5.今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過8皿1天后是（）

A.星期二B.星期三C.星期四D.星期五

【答案】C

【分析】運用二項式展開式8的=（1+7）2=仁.+。17+片21++。第7的可得被7除得余數(shù)為I,即

可得結(jié)果.

【詳解】8.=（1+7嚴(yán)=t+?7+。7+-+C湍7加

所以82以被7除得余數(shù)為1,故經(jīng)過82以天后是星期四

故選：C

6.若斜率為I的直線，與曲線），=ln（八+〃）和圓都相切，則實數(shù)〃的值為（〉

A.?；?B.0或一1C.2D.-1

【答案】A

【分析】設(shè)直線/與曲線y=In（》+a）的切點為P（%為）,先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出y=In（x+〃）在切點

P（/.%）處的切線方程，再根據(jù)直線與圓相切和圓心到直線的距離關(guān)系列式求解即可.

【詳解】

設(shè)直線/與曲線）=ln（x+a）的切點為尸伍,%）,由y=[in（x+a）丫二」一,則占=1,

x+a為十〃

則馬=1一4%=（）,即切點為尸。一見0）,所以直線/為y=x—I+%

又直線/與圓Y+V都相切，

則有上爐=也，解得叱2或a=0.

32

故選：A

7.直角三角形的三個內(nèi)角的正弦值成等比.則該三角形的最小角等于.

試卷第4頁，共23頁

A-V5-1RVs-1

A.arcsin--------B.arccos--------

22

.x/5+1+1

Cr.arcsin--------nu.arccos--------

44

【答案】A

【詳解】設(shè)三邊為1、x、f（0＜工＜1）.則該三角形的最小角的正弦值就是

由F=4+（，）2,解得—=后;'.選A.

8.設(shè)直線/：x+y-l=0,一束光線從原點。出發(fā)沿射線）』h（x20）向直線/射出，經(jīng)/反射后與x軸交

于點M，再次經(jīng)x軸反射后與＞軸交于點N.若卜半，則女的值為（）

3?1

A.-B.-C.~D.2

【答案】B

【分析】

根據(jù)光學(xué)的性質(zhì)，根據(jù)對稱性可先求。關(guān)于直線/的對稱點A,后求直線人P,可得仞、N兩點坐標(biāo)，進而

由=W可得h

【詳解】

如圖，設(shè)點。關(guān)于直線/的對稱點為A&,y）,

五+/.-1=0

22

則得1即A(L1),

vE=i

?A

由題意知），=履（工20）與直線，不平行，故人工-1,

1

x=------

y=kx____k

由，得即p

K4+1k+1

y

k+\

故直線”的斜率為斷二嚀」一二7,

1?k

直線AP的直線方程為：y-l=l（x-l）,

令，=0得x=l-k,故

令“0得y=l-J故由對稱性可得N（o]-”,

由網(wǎng)=嚕得（1-汗+（川嗤,即伏+o邛+護7

解得女+；1=?13，得攵=23或女=39，

k632

若心^,則第二次反射后光線不會與＞軸相交，故不符合條件.

故上=：，

故選：B

二、多選題

9.為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，哈爾濱市某中學(xué)需要了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛

煉的經(jīng)常性有影響，隨機抽取了300名學(xué)生，對他們是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)經(jīng)常鍛煉

人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，繪制其等高堆積條形圖，如圖所示，則下列說法不正確的是（）

口女生

口男生

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉

試卷第6頁，共23頁

參考公式：z2=(a+o)(c+d)/+c)(Hd)'其中〃=〃+"?

/獨立性檢驗中常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：

a

,0.10.050.010.0050.001

X

2.7063.8416.6357.87910.828

A.參與調(diào)查的男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多

B.從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該生為女生，則該生經(jīng)常鍛煉的概率為:

C.依據(jù)a=0.1的獨立性檢驗，認為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯誤的概率不超過

().1

D.若經(jīng)常鍛煉人數(shù)與不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的比例不變，統(tǒng)計得到的等高堆積條形圖也不變，則無論參與調(diào)

查的男生、女生人數(shù)為多少，依據(jù)a=O.I的獨立性檢驗，都可以認為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性

無關(guān)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)數(shù)表計算人數(shù)判斷A選項，根據(jù)占典概型公式判斷B選項，根據(jù)爐的值及獨立性檢驗判斷

C,D選項.

【詳解】對于A,由題意知經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，

故經(jīng)常鍛煉人數(shù)為200人，不經(jīng)常鍛煉人數(shù)為100人.

故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為200x0.5=100人，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為100x0.6=60人，

故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多，A正確；

對干B,經(jīng)常鍛煉的女生人數(shù)為200x0.5=1(X)人，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為l(X)x().4=40人，

故從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該生為女生，則該生經(jīng)常鍛煉的概率為泊匚=￡,B錯誤；

100+407

對于c,由題意結(jié)合男女生中經(jīng)常鍛煉和不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)，可得列聯(lián)表:

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計

男10060160

女10040140

合計200100300

12

2_n(ad-bc)_300x(100x60-40x100)

人Z~(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~—140x160x2(X)x100?2.679<2.706,

故依據(jù)。=0.1的獨立性檢驗，認為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1,

C錯誤；

對FD,假設(shè)抽取60()名學(xué)生，由題意可得：

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計

男200120320

女20080280

合計400200600

則此時/=,=600x(200x80-200x12。):，5.357>3,841,

(a+〃)(c+d)(a+(?)(/)+d)400x320x2(X)x280

故依據(jù)a=0.05的獨立性檢驗，認為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05,

D錯誤，

故選：BCD

10.某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)，=」的圖象是雙曲線，設(shè)其焦點為M,N,若P為其圖

X

象上任意一點，則()

試卷第8頁，共23頁

A.丁=一1是它的一條對稱軸B.它的離心率為應(yīng)

C.點(2,2)是它的一個焦點D.||PM|-|P/V||=2V2

【答案】ABD

【分析】由題意可知反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，進?步分別計算出離心率以及即可逐?判斷求解.

【詳解】反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，故離心率為夜，

容易知道y=x是實軸，丁=一X是虛軸，坐標(biāo)原點是對稱中心，

聯(lián)立實軸方程產(chǎn)X與反比例函數(shù)表達式y(tǒng)2得實軸頂點(1,1),(-1,-1),

所以。=應(yīng)工=2,其中一個焦點坐標(biāo)應(yīng)為(a,&)而不是(2,2),

由雙曲線定義可知卜勿=2上.

故選：ABD.

11.關(guān)于函數(shù)/(x)=/n?-xhu,加為常數(shù)，則()

A.若〃7=?112,則/(2)=/(4)=0

B.若王＞聲＞0,總有恒成立，則〃?馬

C.當(dāng)勿＞1時，方程/(x)=V恰好只有一個實數(shù)根

D.若函數(shù)“力有兩個極值點，則實數(shù)〃w(0,￡|

【答案】ABD

【分析】直接代入數(shù)值可判斷A；利用函數(shù)單調(diào)性的定義，將問題轉(zhuǎn)化為2〃后1^也恒成立，由此判斷B；

x

將問題轉(zhuǎn)化為g(x)=l+也與)'=，〃的圖象只有一個交點，從而判斷C；將問題轉(zhuǎn)化為人(工)=1^^與丁=2/〃

的圖象在(0,+力)上有兩個交點，從而判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)〃2=]ln2時，/(x)=-x2ln2-^lnA-,

則f(2)=gx221n2—21n2=0J(4)=gx421n2—41n4=0,故A正確;

對于B,因為當(dāng)王>士>。時，總有/(%)>〃&)恒成立，

所以/(X)在(0,+m)上為增函數(shù)，即/'(x)之0恒成立,

因為/(x)=儂2-x\nx,所以/'(1)=2/nr-l-lnx,

由f'(x)N0恒成立，得2m>笑出在(0,一)上恒成立,

令妙)=皿里,則/?(幻=-學(xué),

令力'(x)>0,得Ovxvl；令/工)<0,得x>l；

所以h{x}在(0,1)上單調(diào)遞增，在內(nèi))上單調(diào)遞減，

則祗)皿=〃⑴=1，所以2〃點1,即，〃2；，故B正確；

對于C,由/(力一小,得如271nx=/,即加=1+竽

令晨x)=l+蛆，貝皂>0,,(刈=匕?),

.X.X

當(dāng)0cx<e時,g'(x)>0,g(?單調(diào)遞增;

當(dāng)"e時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

則g(*)a=g(c)=1/，且g口卜0,當(dāng)ce時，g(x)>。恒成立,

eIe/

所以g(x)與y=rn的大致圖象如下：

試卷第10頁，共23頁

因為方程/（X）=i恰好只有一個實數(shù)根，即8（%）與），="的圖象只有一個交點,

結(jié)合圖象可得，"0或〃?=1+L故C錯誤；

e

對于D,因為函數(shù)/（X）有兩個極值點，所以r（x）=0有兩個異號正零點，

由選項B可知其等價于力⑴與尸2rn的圖象在（0,+8）上有兩個交點，

而對于力（?=嶼］，當(dāng)Ovxv，時，h（x）<0,當(dāng)時，〃（幻>0,

xee

所以〃（x）與尸2切的大致圖象如下,

結(jié)合圖象可得0<2〃?<1,即故D正確.

故選：ABD.

【點睹】方法點睛：利用數(shù)形結(jié)合的思想解決方程根的個數(shù)問題或者函數(shù)的零點問題，準(zhǔn)確的畫出圖象是

解題的關(guān)鍵.

三、填空題

12.己知。=(2,sin。)，〃=(l,cosa),且〃〃人則tana-二=

【答案】-

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可求得lana；代入兩角和差正切公式即可求得結(jié)果.

【詳解】??-al/b2cosa=sinor/.tana=S^na=2

cosa

（吟tana—ta吟2-11

I4J1+tanatan—"23

4

本題正確結(jié)果：!

【點睛】本題考查兩角和差正切公式的應(yīng)用，涉及到向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知數(shù)列｛凡｝為正項等比數(shù)列，且4=5,則生+”的最小值為.

【答案】20

【分析】

設(shè)4+q=x,利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到%+%關(guān)于x的表達式，再利用基本不等式即可得解.

【詳解】

因為數(shù)列｛4｝為正項等比數(shù)列，為+4-％-4=5,

設(shè)4+q=x，則4+〃2=1_5>0,則工>5,

由于M是等比數(shù)列，所以％+%,6+%，牝+4也成等比數(shù)列，

因此4+4=心立=二25

a,+a2x-jx-5

=(x-5)+—+IO>2J(x-5)--+10=20,

x-5Vx-5

當(dāng)且僅當(dāng)x-5=二25，即x=10時等號成片故生+4的最小值為20.

x-5

故答案為；20.

試卷第12頁，共23頁

14.以maxM(minM)表示數(shù)集M中最大(小)的數(shù).設(shè)己知/。+從1，貝J

minmax/l.l1U=

[abc]]-

【答案】次

【分析】

由氏j得/+%,設(shè)亮撲

a+maxM則MNLMN:MNL再結(jié)合基本不等式求解即

abc

可.

【詳解】由/c+〃c.=i，得/+/=_1,

C

設(shè)max，=M,則"2',知2’,"2，="+622ab,

abc]abc

由3M=2\fM-VM"+M>2--4=?-J=+lab=—^=+—^=+2ab

&、仿\lcib4ab

23jj=j=24=3啦,

V4cib4ab

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=c=,時，取等號,

1

-=

明以min<max'9c

故答案為：0

二M,由已知得出加之,=/+//22",進而得出

【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)max<

c

3MN2.京?存+2ab是解決本題的關(guān)鍵.

四、解答題

15.己知,工8c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小b,c,KtanB+tanC=-^-

ccosB

⑴求角c；

（2）若CO是/AC8的角平分線，8=4g,/8C的面積為186，求。的值.

【答案】（1）C=?

Q）c=

【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和差角公式以及弦切互化可得tanC=G，即可求解,

（2）由5=5。加而。，可得必=72,根據(jù)等面積法可求a+/?=6,由余弦定理即可求。的值.

【詳解】（1）由ian5+tanC=1^-可得

ccosB

sin8sinCx/3sinAsinBcosC+cosBsinC_5/3sinAsin(B+C)_\/3sinA

---1---=--------------------------=----------------------=---------

cosBcosCsinCcosBcosBcosCsinCeosBcosBcosCsinCeosB

sinA5/3sinA,sinAhO.cos8w0,一!—=W?

=>---------=----------

cosBcosCsinCcosBcosCsinC

故sinC=>/5cosC,進而ianC=、6,

由于Cw（0,兀），所以。=方

(2)由面積公式得S詠=LbsinC」"x^=18\/5,解得H?=72,

5ABC=SBCD+SACD,/.\Syf3=-bCDsin3O0+-aCDsin3O°f

22

BPCD-sin30°(?+b)=\8\/3,.-.?+A=l8,

又ab=72,/.c2=a2+b2-2abcosC=a2+hz-ab=(a+b)2-36;/?=182-3x72=108,

c—6石.

16.如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點。出發(fā)，隨機移動〃次，每次等可能地向左或向右移動一

個單位長度，〃次移動結(jié)束后，質(zhì)點到達的位置的數(shù)字記為X.

試卷第14頁，共23頁

-6-5-4-3-2035

⑴若〃=2,求P（X=O）；

（2）若〃=6,求X的分布列和￡（X）的值.

【答案】⑴；

（2）分布列見解析，0

【分析】（1）由P（X=O）=￡可直接得到結(jié)果；

（2）首先求出X的所有可能取值以及對應(yīng)的概率，再結(jié)合離散型隨機變量的期望公式求答案即可.

【詳解】（1）P（X=O）=-^-=-；

'72x22

（2）設(shè)丫表示6次移動中向左移動的次數(shù)，則丫~8（6,；）,E（r）=6xl=3,

質(zhì)點最后到達的數(shù)字X=6-2K,

I15

P（X=2）=P（r=2）=C：l-

64

1

P（X=-6）=P（X=6）=

64，

3

P（X=-4）=P（X=4）=-，

J/*

P（X=-2）=P（X=2）哈

E（X）=E（6-2r）=6-2E（y）=0.

17.在幾何體中，底面ABC是邊長為2的正三角形.AEJ_平面ABC,若

AE//CD//I3FyAE=5,CD=4,BF=3.

(1)求證：平面。所_L平面4HE；

⑵是否在線段AE上存在一點〃，使得二面角尸-OF-石的大小為若存在，求出4,的長度，若不存在,

請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵存在；AP=3j5-4

試卷第16頁，共23頁

【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，進而根據(jù)線面垂直即可求證,

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)M.N分別為EEA3邊的中點，連接MN、DM、CN,

因為AE_L平面ABC,AE〃CZ）〃8￡A￡：=5,Cr）=4,8/=3,

AF+RF

所以m％=上笠—=4=8,

即四邊形CNMD為平行四邊形，可得MD〃CN,

在底面正三角形A8C中，N為AB邊的中點，則CN_LA8,

又AE_L平面A8C,且CNu平面A8C,所以AE_LCN.

由干AEcA8=A,且AE、A4u平面ABFE,所以CN_L平面45莊.

因為MD〃CN,CNJ.平面ABFE,則MD_L平面ABFE,

又WDu平面DE尸,則平面DE“上平面AEFB.

（2）如圖，以點A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

則E（0,0,5）,0（0,2,4）,尸（石」,3）.

設(shè)點P(0,0/),則。尸=(75,-1,—1),。E=(0,—2,1),。0=(0,-2,1—4).

設(shè)平面PDF的法向量為勺=(N，y,zJ,平面EQF的法向量為%=(x2,>,2^2).

n.-DF=0,-y—4=0,

由題意知，即

〃1?DP=0,-2y1+(/-4)z,=0,

令4=2,則>1=/-4,X],即q=(/^,f_4,2),

H即巧f-=0,取z-

2DF=0,則〃2=(6l,2),

&DE=0,-2y2+z2=0,

r+8-29=0，解得：/=±36-4,由于點P為線段AE上一點，故0KY5,所以/=3石-4,

當(dāng)/=36-4時，二面角P-OF-E所成角為銳角，即存在點尸滿足，此時”=3石-4.

v-22

18.已知雙曲線C:―-與=1(。>0/>0)的左、右焦點分別為耳、心，直線/過右焦點B且與雙曲線C交

于A、R兩點.

(I)若雙曲線。的離心率為G，虛軸長為2夜，求雙曲線C的焦點坐標(biāo)；

(2)沒a=l,b=6,若/的斜率存在，且("A+耳可?"=(),求/的斜率；

⑶設(shè)/的斜率為J|，河+叫=向一期=4,求雙曲線C的方程.

【答案】(1)(-4,0),(6,0)

⑵土孚

⑶入白

試卷第18頁，共23頁

【分析】（1）由離心率公式和。，8c的關(guān)系，即可得到結(jié)果;

（2）求出右焦點的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達定理結(jié)合已知條件，即可求出直線的

斜率.

（3）設(shè)直線/的方程為y=A（x-c）,與雙曲線方程聯(lián)立，消元，運用韋達定理，結(jié)合由題意得出的0408=0,

U11C

A6=4兩個條件，即可求得雙曲線的方程.

【詳解】（1）由題意得力=2&,e=￡=VJ,c2=/+〃

a

解得a=l,b=V2,c=x/3

故雙曲線C的焦點坐標(biāo)為（一0,0）,（石,0）.

（2）雙曲線/一旦=1,可得瑪（2.0）

3

設(shè)A（x，y）,8（w，y2），直線/的斜率為：人三?

X2一%

設(shè)直線/的方程為廣總-2）

y=kx-2k

聯(lián)立直線與雙曲線的方程，）尸,

3

消去）'得：（3-攵2卜2+4公1―4d_3=0

由直線與雙曲線有兩個交點，則3-A2Ho且4=36（1+公）＞0,

可得用+為二廠~；,則M+%=A（玉+$-4）=々-2—7-4=-3—7

k~-3-37k-3

p=（X+2,yJ,￡B=（w+2M

（耳A+43）?A3=0,可得：（N+Q+4,y+%＞（工2-5，，2―蘆）=°

(%+室+4)(/-xJ+(y+%)(%-X)=。

將代入上式，可得內(nèi)+/+4+回+%伙=0

入2一玉

*4/I2我,八-r，H,23

得力——+4+—------k=6,可得人~==

k2-3k2-35

解得4=±叵，即/的斜率為土屏.

55

(3)右焦點為鳥(c,0),設(shè)直線/的方程為y=&(x-c),4(%,)。3(七,)、2)

y=k(x-c)

聯(lián)立直線與雙曲線的方程Ldy，

b-F=1

消去＞得：(〃一=。

A=4c1”4+4伊-a%?)(a%2c2+片/)＞。

-2ca2k2_-a2k2c2-crlr

X

b2_a2k2^2=b2_a2k2

a2h2-b:c2

則K%=公(%-C)(%2-c)=[內(nèi)七+C1-C(x)+工2)]=女2?

a2k2-b2

由a+O,=|OA-O@,得(OA+O域=(OA-O8)」

整理得OA-OB=0，則x/2+紂2=。

即a2b~+a2k2c2+k1[crb--Ire1)=0

則/〃+〃)+K|~4，/一/(/+b~)~|=0

a2b2

整理得k2=

b4-a4-a2b2

因為，的斜率人g，所以9總」，整理得〃3

則c2-a2=3a2,c2=4a2,c=2a

試卷第20頁，共23頁

-2ca2k2-a2k2c2-a2b292

所以X1+x222=a，XX2=222—cr

2b-ak~'b-ak4

min

由M=4,得A8=4,gp|AB|=4

a2-4x-'/)卜曲

又IA4|=J(1+K)[(N+X21_4XM

則4。=4,解得a=l

所以/=],〃=3,C2=4,經(jīng)檢驗△>()

所以雙曲線C的方程為丁-工=1.

3

19.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如卜.特殊形式：當(dāng)在x=0處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，

/(x)=/(O)+/"(O)x+4^x2+Z事/+..+/平/+、.注：/("表示/(X)的2階導(dǎo)數(shù)，即為

/'("的導(dǎo)數(shù)，/W(x)(〃N3)表示/(x)的〃階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.

(1)根據(jù)該公式估算sin；的值，精確到小數(shù)點后兩位:

(2)由該公式可得：cosx=l-—+—-—+.當(dāng)x之0時，試比較cosx與]_工的大小，并給出證明;

2!4!6!2

⑶沒"E證明：為

【答案】(1)0.48；

(2)cosx>1--,證明見解析;

2

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)麥克勞林公式求得sinx=x-2+[-]+,賦值即可求得近似值;

J?J?/■

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=cos%-l+5,x20,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)哇和最值，即可證明;

1

（3）根據(jù)（2）中所得結(jié)論，將?目標(biāo)式放縮為i-再裂項求和

?(〃~+~k