2024屆吉林省白城市某中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆吉林省白城市一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何

體的表面積是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.16/+16不

B?16〃+8不

C.8五+16期

D.8加+87

2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的則①處應(yīng)填寫（）

A.k<3?B.鼠3?C.2,5?D.攵v5?

3.若函數(shù)〃x)=—lnx+x+兒在區(qū)間Le上任取三個實數(shù)〃，b,c均存在以“a),f(b),/(c)為邊長的

e

二角形，則實數(shù)/?的取值范圍是()

A.B.一一l,e一3C.一一l,+ooD.(e-3,+co)

\e)\e；J

4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()

C.32乃D.367r

5.已知拋物線C:/=8x的焦點為產(chǎn),4B是拋物線上兩個不同的點，若|A廠|+|8用=8,則線段A8的中點到丁

軸的距離為()

3

A.5B.3C.-D.2

2

6.定義在二上的函數(shù)二二二二滿足二二＜且二二二二十，為奇函數(shù)，則二二二二的圖象可能是()

7.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用

均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為2〃的正方形模

型內(nèi)均勻投點，落入陰影部分的概率為〃，則圓周率萬。（）

A.4p+2B.4/2+1

C.6-4/7D.4/?+3

8.己知“為拋物線C：V=8x的焦點，點在。上，若直線4尸與。的另一個交點為4,則|鉆卜（）

A.12B.10C.9D.8

9.下列選項中，說法正確的是（）

M

A.3x0e/?,片一用三0”的否定是咱x；-x>0”

B.若向量〃乃滿足〃.〃<（）,則〃與分的夾角為鈍角

C.若am2<bm2>則h

D.“1￡（/41）3）”是“工￡（4B）”的必要條件

10.己知集合4={x[x＜。},B=|x|x2+mx-12=01,若AIB={-2},則加二()

A.4B.—4C.8I).-8

11.過圓V+y2=4外一點M（4,—1）引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是（）.

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0C.4x+y+4=0D.4x-y+4=0

（、3

12.設(shè)。為銳角，若cosa+￡=-,貝Usin2a的值為（）

I5

177177

A.D.

25252525

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.定義在A上的函數(shù)/（可滿足：①對任意的X,），ER,都有=-②當(dāng)戈＜0時，/（x）＞0,

則函數(shù)/（X）的解析式可以是______________.

14.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且2s“=3（%+1）,若卬0=垢8,貝必=.

15.“北斗三號”衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設(shè)地球半徑為《若其近地點、遠地點離地面的距離大約分

別是§R,4R,則“北斗三號”衛(wèi)星運行軌道的離心率為.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形A3C的三個頂點都在橢圓0+），2=1（。＞1）上，其中A（0,1）為直角

27

頂點.若該三角形的面積的最大值為二，則實數(shù)。的值為____.

8

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+h|+|a-b|2|a|f（x）（a/ha、b￡R）恒成立.求實數(shù)x的取值范闈.

18.（12分）對于非負整數(shù)集合S（非空），若對任意x,），￡S,或者x+），wS,或者卜一y|eS,則稱s為一個好集

合.以下記網(wǎng)為s的元素個數(shù).

（1）給出所有的元素均小于3的好集合.（給出結(jié)論即可）

（2）求出所有滿足|5|=4的好集合.（同時說明理由）

（3）若好集合S滿足|5|=2019,求證：S中存在元素〃7,使得S中所有元素均為，〃的整數(shù)倍.

19.（12分）中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四

個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉脾”.在如圖所示的陽馬P-ABCO中，底面48。。是矩形.尸A_L平面A/?CO,

PA=AD=2fAB=叵，以AC的中點。為球心，AC為直徑的球面交尸。于M（異于點&）,交pc于N（異于

點C）.

（1）證明：平面PCO,并判斷四面體MCIM是否是鱉脯，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若

不是，請說明埋由；

(2)求直線QN與平面ACM所成角的正弦值.

20.(12分)設(shè)數(shù)列｛4｝,也｝的各項都是正數(shù)，S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，且對任意〃￡N“，都有%2=2S”-%,

b、=e,b..\=b3c”=?！?In%(e是自然對數(shù)的底數(shù))?

(1)求數(shù)列｛q｝,加〃｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛&｝的前〃項和

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=cos2x+2Gsinxcosx-sin2x.

(1)求函數(shù)y=/(x)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)已知A43C,若/(C)=l,c=2,sinC+sin(B-A)=2sin2A,求AA3C的面積.

22.(10分)設(shè)左eR,函數(shù)g(x)=k(x-e),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

X

(1)設(shè)函數(shù)/*)=「一?

1-Inx

①若k=-1,試判斷函數(shù)/5)與雙幻的圖像在區(qū)間(1,&)上是否有交點；

②求證：對任意的ZeR,直線y=gU)都不是y=/(x)的切線；

(2)設(shè)函數(shù)〃(尢)=2x—Wnx+煙-以x,試判斷函數(shù)〃(x)是否存在極小值，若存在，求出〃的取值范圍；若不

存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為

、4?4加+」乃乃26=8及+8),故選D.

222

2、B

【解析】

模擬程序框圖運行分析即得解.

【詳解】

攵=l,S=0;Z=2,S=0+-r5—=L

2-4-26

攵=3,S=」+~=-；Z=4,S=L-1------3-.

632+34442+41()

所以①處應(yīng)填寫“鼠3?”

故選：B

【點睛】

本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得了"）在區(qū)間~,e上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得〃的取值

范圍.

【詳解】

了（力的定義域為（0,+少），f（X）=~+\=~t

入.1

所以/（上）在上遞減，在（l,e）上遞增，/（R）在x=l處取得極小值也即是最小值，/⑴=-1討+1+〃=1+〃,

ff-|=-\n-+-+h=-+\+htf[e）=-\ne+e+h=e-\+htf-]＜f（e）,

所以/（x）在區(qū)間ke上的最大值為/（e）=e—l+〃.

要使在區(qū)間上任取三個實數(shù)a,b,。均存在以/（〃），）（0，為邊長的三角形，

一e■

則需/e）+/g）＞/（c）恒成立，且/（i）＞o,

也即[/⑷+/（切而//?皿，也即當(dāng)〃=力=1、c=e時，2/（l）＞/（e）成立，

即2（1+%）＞6—1+力，且/⑴＞0,解得〃＞e-3.所以〃的取值范不是（e-3,y）.

故選：D

【點睛】

本小題土要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.

4、C

【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為26,高為1的等腰三角形，側(cè)棱長為4,利用正弦定

理求出底面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，

即可求解球的表面積.

【詳解】

由三視圖可知，

幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是底邊為26,高為1的等腰三角形，

側(cè)棱長為4,如圖：

由底面邊長可知，底面三角形的頂角為120,

由正弦定理可得*=4,解得AD=2,

sin120

三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，

所以=港=2近，

該幾何體外接球的表面積為：S=41{20）2=32乃.

故選：C

【點睛】

本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

由拋物線方程可得焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程向拋物線的定義可知IAbI+1B用=玉+2+々+2=8，繼而可求出

X+%=4,從而可求出的中點的橫坐標(biāo),即為中點到）'軸的距離.

【詳解】

解：由拋物線方程可知，2/?=8,即〃=4,.?.尸（2,0）.設(shè)4（百,）［）,8（/，功）

則|A6=與+2,忸尸|=馬+2,即|A尸|+|6尸|=玉+2+/+2=8,所以玉+々=4.

所以線段AB的中點到）'軸的距離為空歪=2.

2

故選:D.

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得49兩點橫坐標(biāo)的和.

6、D

【解析】

根據(jù)二二二二+上為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于二為中心對稱，排除二二計算二..；『；！三、：排除二得到答案.

【詳解】

二二二二十二為奇函數(shù)，即I二匚+.；二-二【一二+函數(shù)關(guān)于，。中心對稱，排除二二.

二。刈4—排除二.

故選：二

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)關(guān)于二⑼中心對稱是解題的關(guān)鍵.

7、A

【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.

【詳解】

S.,7icr-2a2乃-2..

由〃=-—=——?，開=4〃+2?

染444

故選：A

【點睛】

本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

求得A點坐標(biāo)，由此求得直線A尸的方程，聯(lián)立直線A尸的方程和拋物線的方程，求得8點坐標(biāo)，進而求得|A8|

【詳解】

拋物線焦點為尸（2,0）,令1=1,）3=8,解得），=±2拒，不妨設(shè)A（l,2拒），則直線A尸的方程為

y=^（A-2）=-2V2（A-2）,由]二一2五（x-2）,解得電2⑹,8（4,-4⑹，所以

1—2y"=8x

IAB|=^（4-1）2+{-Ay[2-272）'=9.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查拋物線的弦長的求法，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

對于A根據(jù)命題的否定可得：FxoWK,x（）2-x（￡0”的否定是“Vx￡K,Hr〉。”，即可判斷出；對于8若向量滿足

ab<0?則〃與〃的夾角為鈍角或平角；對于C當(dāng)，〃=0時，滿足。/出〃汽但是心。不一定成立：對于。根據(jù)元素

與集合的關(guān)系即可做出判斷.

【詳解】

選項4根據(jù)命題的否定可得：“mxoGR,KEXOWO”的否定是“VxGR,x2-x>0,\因此A不正確；

選項B若向量滿足〃為<（），則4與人的夾角為鈍角或平角，因此不正確.

22

選項C當(dāng)m=0時，滿足am<bmt但是a<b不一定成立，因此不正確；

選項。若“不￡（4。團”，則駕4且XWB,所以一定可以推出“X￡（AU8）”，因此“X?AU8）”是

的必要條件，故正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,

屬于簡單題.

10、B

【解析】

根據(jù)交集的定義，AIB={-2},可知一2w8,代入計算即可求出加.

【詳解】

由AIB={-2},可知—2w8,

又因為8={x|Y+znr-12=0|,

所以戈=一2時，(-2)2-2/n-12=0,

解得rn=-4.

故選：B.

【點睛】

本題考查交集的概念，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

過圓/+=r外一點(機,n),

引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為加丫+〃>-產(chǎn)=0,故選A.

12、D

【解析】

用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計算.

【詳解】

njrjr3f

sin2a=-cos(2cr+-)=-cos2(?+="[2cos2(?+—)-!]=-\2x(^)2~^=~^?

故選：D.

【點睛】

本題考杳誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式，解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、/(x)=-x(或/(x)=—2x,答案不唯一)

【解析】

由/(工-丁)="％)-〃丁)可得/(可是奇函數(shù)，再由x<0時，/⑴>0可得到滿足條件的奇函數(shù)非常多，屬于開

放性試題.

【詳解】

在=—f(y)中，令x=y=。，得/(0)=0；令x=0,

則/(一y)=/(。)—/()，)=—/(，)，故/(%)是奇函數(shù)，由工<。時，/(A-)>O,

知/(X)=「E或/(x)=-2x等，答案不唯一.

故答案為：/(x)=-x(或/(x)=-2x,答案不唯一).

【點睛】

本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及到由表達式確定函數(shù)奇偶性，是一道開放性的題，難度不大.

14、9

【解析】

用〃一1換2s.=3(%+1)中的〃，得2S.T=34T+3(〃22),作差可得%=(〃？2),從而數(shù)列｛〃“｝是等比數(shù)

列，再由攵=班=/即可得到答案.

。8

【詳解】

由2s“=3?！?3,得2sM=3%+35之2),兩式相減，得24=3凡-3%,

即4=加小(〃？2)；又2s1=3q+3,解得q=-3,所以數(shù)列｛叫為首項為?3、

公比為3的等比數(shù)列，所以左=孤=勺2=9.

%

故答案為：9.

【點睛】

本題考杳已知知與S“的關(guān)系求數(shù)列通項的問題，要注意〃的范圍，考查學(xué)生運算求解能力，是一道中檔題.

1

15、-

2

【解析】

畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義和題設(shè)條件，求得的值，即可求得橢圓的離心率，得到答案.

【詳解】

如圖所示，設(shè)橢圓的長半軸為。，半焦距為。，

因為地球半徑為R,若其近地點、遠地點離地面的距離大約分別是gR，4R,

a-rc=4R+R

可得2n解得

(x~c——R+R33

3

-Rl

c

所以橢圓的離心率為e=-=-^2r—=-I

a為2

3

故答案為：1

本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求得的值是解答的關(guān)鍵,

著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16>3

【解析】

設(shè)直線43的方程為），=h+1,則直線AC的方程可設(shè)為'"I,（時0）,聯(lián)立方程得到8（二竺￡,匕安，

k\+a2k2\+a2k2

令f=k+—'得5一3+/,'利用均值不等式得到答案.

k

【詳解】

設(shè)直線A〃的方程為」=h+1,則直線AC的方程可設(shè)為（原0）

K

y=kx+\

2

12-2ak

由〈J,消去），得（1+“2”2）x+2akx=Qt所以1=0或工=

-9n2k-?n2k-?n2k\-n2k2

TA的坐標(biāo)（0,1）,的坐標(biāo)為（，-k*,,+D,即區(qū)（，）,

22

1+/&2\+ak1+/公1+/女2

因此3Mm+。2a2k

l+a2k2

2a2

~T

同理可得：AC=l+±.

.a~

1+F

2/k+—

工R3ABC的面積為S=-AB^AC=.2+k2+-^^2a*

27k2\+a4+cr(k2+-^z-\+a4+a~{k1+

Ik2)Ik-

2//2a4

令t=k-工，得5一i+a+a（7短工自

K

2a

<—

V/=k-￥->2,?,?SAABC宜工上。（八1）?

2.

2i27

當(dāng)且僅當(dāng)”,即，=IL二1時，A48C的面積S有最大值為

a(a2-l)8

解之得門或。=喑

嚕噌時,2-\

t=-a-^V2不符合題意，，a=3.

a

本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15

17、-<x<-

22

【解析】

\a-闿+,+同\a-b|+|a+￡>|

由題知,|x-l|+|x-2|<恒成立，故|xT|+|x—2|不大于——皆——1的最小值.

同

V|a+b|+|a-b|>|a+b+a-b|=2|a|,當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)-(a-b)=O時取等號,

???J——T-r——［的最小值等于2.

\a\

???x的范圍即為不等式卜一1|+|,—2區(qū)2的解，解不等式得;秘

18、(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}.(2){0,九?c}；證明見解析.(3)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果；

(2)設(shè)5={o,〃,c,〃},其中。vbvcvd,由OwS知。=0；由Ovd-cwS可知〃一c=c或d-c=Z?,分別討論

兩種情況可的結(jié)果；

(3)記〃=1009,貝11網(wǎng)=2〃+1,設(shè)5={(),不出產(chǎn).，9”}，由歸納推理可求得斗=加(1＜注〃)，從而得到

M=2xn=2nm,從而得到S,可知存在元素〃?滿足題意.

【詳解】

(1){0(,{0,1},{0,2},{0,1,2}.

⑵設(shè)S={a/,c,d},其中avhvcvd,

則由題意：d+dwS,故OES,即。=0,

考慮c,d,可知：2＜d-cwS,:.d-c=(^d-c=b,

若d-c=c,則考慮"c,

?：c＜b-\-c＜2c=d,:.c—beS,則c-Z?=〃，

:.S={a^2bAb}t但此時3〃，5b史S,不滿足題意；

若d-c=b,此時S={。/,c、,〃+c},滿足題意，

.?.S={O/,c/+c},其中Ac為相異正整數(shù).

⑶記拉=1009,則網(wǎng)=2九+1,

首先，OwS,設(shè)5={(),%,電,…,毛〃}，其中。＜玉＜…＜勺”=M,

分別考慮M和其他任一元素匹，由題意可得：加-七也在S中，

而0VM7VM一工2"_2<???,<A/-X)<M,:.M-xi=^_.(1<z<??),

M

-Xn=-r

對于考慮々,1，xm-j，其和大于M,故其差々,1一々I=Xj-EeS,

特別的，x2-xxeSfx2=2x)=2m,

由X3-X|￡S,且X1<X3-X]<X3,.?.芻=W+X=3加，

以此類推：X.=//7/(1</</?),

M=2xn=2nm,此時S={O,幾2〃i,…,nm、(〃+1)〃7,…,2〃〃?},

故S中存在元素〃?，使得S中所有元素均為〃7的整數(shù)倍.

【點睛】

本題考查集合中的新定義問題的求解，關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求，根據(jù)集合元素的要求進行推理說

明，對于學(xué)生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求，屬于較難題.

19、(1)證明見解析，是，ZAMC,ZAMD,ZADC,ZMDC；(2)直

【解析】

(D根據(jù)AC是球的直徑，則又PAJ_平面ABC。，得到CQJ.B4,再由線面垂直的判定定理得到

。。3_平面總。，，進而得到CDJ_4W,再利用線面垂直的判定定理得到A”_L平面PCO.

(2)以4為原點，AB,AD,AP所在直線為x,山z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)CN=2CP=t0Z-2422),由

AN1CN,解得4,得到CN，從而得到ON=OC+CN，然后求得平面ACM的一個法向量，代入公式

ONF

求解.

ON?同

【詳解】

(1)因為4C是球的直徑，則AW_LMC,

又PA_L平面ABCD,

；?CD1PA,?！?gt;_1_/10.???。/)_1平面抬。，

，C￡>_LAM,???AM_L平面PCQ.

根據(jù)證明可知，四面體MCD4是鱉膈.

它的每個面的直角分別是NAMC,ZAMD,ZADC,ZMDC.

(2)如圖,

y

以A為原點，AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,

則網(wǎng)0,0,0),C(V2,2,0),0(020),*0,0,2),O與1,0.

\/

M為PD中點,從而例(0,1,1).

所以CP=(-72,-2,2),設(shè)CN=4CP=(-722,-2/1,2必

則A^=AC+C?/-(V2-722,2-22,2/1).

由4V1CN,

得AN-CN=挺；1(&一夜)-2/1(2—24)+4/12=1()22-64=().

由4工0得力="1,即CN=-一

D\DD3/

(/y]6、)

所以O(shè)N=OC+CN=.

\1V/JJ/

設(shè)平面ACM的一個法向量為n=(x,j,z).

AM?〃=y+z=()

由《

ACn->/2x+2y-0

取x=3，y=-i>z=b得到〃=(加,一1』).

記ON與平面AMC所成角為仇

x及+"

ONn_76

貝！]sin0=1()55

ON?同2136c---一5

——+——+——12+1+1

10()2525

所以直線ON與平面AMC所成的角的正弦值為四.

5

【點睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.

20、(1)c"=n,(2)7；=]〃—1>2"+1

【解析】

(1)當(dāng)〃22時,=2S”_1一a,-，與a；=2s“一〃”作差可得為-6%=1(〃22)，即可得到數(shù)列｛an｝是首項為I,公差

為1的等差數(shù)列，即可求解；對〃什產(chǎn)反取自然對數(shù)，則In%[=21n%即｛ln〃J是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)歹U,

即可求解；

(2)由(1)可得c“二/hi"二〃.Z"",再利用錯位相減法求解即可.

【詳解】

解：⑴因為4.>(),4=2S”-a〃,①

當(dāng)〃=1時,a；=2S]-a]，解得q=1；

當(dāng)〃N2時,有=2S〃_]-a,-，②

由①一②得,一eg=2⑸一S“J一(可一%)=4+art_1(n>2),

又%>0,所以％-=1(\之2),

即數(shù)列｛a?｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，故%=〃，

又因為心產(chǎn)b；，且bit>。,取自然對數(shù)得In2用=2Inbn，所以不產(chǎn)=2,

H

又因為=lne=1,

所以｛In%｝是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

所以如a=2〃,即〃=e"

(2)由(1)知,c“=411也=小2"\

所以7；=lxl+2x(2)i+3x(2)2+十(〃一1)x(2)〃-2+〃x(2)”T,③

2x7；,=lx(2)'+2x(2產(chǎn)+3x(2)3+…+(〃-1)x(2)M-l+/?x(2)n，④

③減去④得:=1+2+2?+…+2”馬-〃x2”

1(2"T)、

\J—〃x2〃=2〃—l—八2”=(1—〃)2"-1，

所以7；=(〃-1)?2"+1

【點睛】

木題考查由4與S”的關(guān)系求通項公式，考查錯位相減法求數(shù)列的和.

21、(D最小正周期為不，單調(diào)遞增區(qū)間為版■-1,丘+￡(AwZ)；(2)空.

L36JV73

【解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)y=/(x)的解析式為“X)=2sin(2x+￡),利用正弦型函數(shù)的周期公式可求

得函數(shù)的最小正周期，解不等式2&4一￡?2工+￡?20+￡化￡2)可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

262

(2)由/(c)=l求得c=工，由sinC+sin(3—A)=2sin2A得出4=工或〃=2。，分兩種情況討論，結(jié)合余弦

32

定理解三角形，進行利用三角形的面積公式可求得AA3C的面積.

【詳解】

(1)f(x)=2>/3sinx-cosx4-cos2^-sin2x=V3sin2x+cos2x=2sin2x+—,

6

所以，函數(shù)y=/(x)的最小正周期為7=春=萬，

由2A乃一/<2x+-^<2k4+/(&wZ)得上兀一］WxW左兀+已(攵EZ),

因此，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k兀-+J(旌Z)；

36

(2)由/(C')=l,得2sin(2C+/1=l,.?.2C+E=C+2版■或2。+.=也+2氏，」.Cj7或

k676666

C=^+k/r(攵wZ),

CG(O,TT),C=y,

又,.?sinC+sin(8-A)=sin(8+A)+sin(8-A)=2sinBcosA,

2sin3cosA=2sin2A,即sinBcosA=2sinAcosA.

①當(dāng)cosA=0時，即A=C,則由C=工，c=2,得〃=」_=九3,則力=2_〃=冬叵，此時，A4BC的面積

23sinC323

為S，心當(dāng)

Q~ryOC~3

②當(dāng)cosAwO時，則sin3=2sinA,即〃=2。，

「a2+h2-c21獨殂2出卜4也1,.2x/3

貝mi!JI由tbcosC=----------=—>解得〃=-----,b=----,Sc.=—ahs\nC=----?

2ab233質(zhì)Aftr23

綜上，AABC的面積為S,“二口3.

A*3

【點睛】

本題考杳正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解，同時也考查了三角形面積的計算，涉及余弦定理解三角形的應(yīng)用，考

查計算能力，屬于中等題.

22、(1)①函數(shù)/(x)與g(x)的圖象在區(qū)間(1,五)上有交點：②證明見解析；(2)%>0且女工1；

2e

【解析】

(1)①令2x)=/(x)—g(x),結(jié)合函數(shù)零點的判定定理判斷即可；②設(shè)切點橫坐標(biāo)為方,求出切線方程，得到

x.=2e-ebix^f根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

(2)求出屈幻的解析式，通過討論攵的范圍，求出