高考物理(熱點(diǎn)+題型全突破)專題4.6-豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題(含解析)

PAGEPAGE1專題4.6豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題1.輕繩模型繩或光滑圓軌道的內(nèi)側(cè)，如圖所示，它的特點(diǎn)是：在運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)均沒有物體支撐著小球。下面討論小球(質(zhì)量為m)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)(半徑為R)通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的情況：(1)臨界條件小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)受到繩子的拉力恰好等于零，這時(shí)小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力僅由小球的重力來(lái)提供。根據(jù)牛頓第二定律得，mg＝meq\f(v\o\al(2,臨界),R)，即v臨界＝eq\r(Rg).這個(gè)速度可理解為小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)或恰好通不過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度，也可認(rèn)為是小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度，通常叫臨界速度。(2)小球能通過(guò)最高點(diǎn)的條件：當(dāng)v>eq\r(Rg)時(shí)，小球能通過(guò)最高點(diǎn)，這時(shí)繩子對(duì)球有作用力，為拉力。當(dāng)v＝eq\r(Rg)時(shí)，小球剛好能通過(guò)最高點(diǎn)，此時(shí)繩子對(duì)球不產(chǎn)生作用力。(3)小球不能通過(guò)最高點(diǎn)的條件：當(dāng)v<eq\r(Rg)時(shí)，小球不能通過(guò)最高點(diǎn)，實(shí)際上小球還沒有到達(dá)最高點(diǎn)就已經(jīng)脫離了軌道。（如圖）2.輕桿模型桿和光滑管道，如圖所示，它的特點(diǎn)是：在運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)有物體支撐著小球。下面討論小球(質(zhì)量為m)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)(半徑為R)通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的情況：(1)臨界條件由于硬桿的支撐作用，小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度是：v臨界＝0。此時(shí)，硬桿對(duì)物體的支持力恰等于小球的重力mg。(2)如上圖所示的小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，硬桿對(duì)小球的彈力情況為：當(dāng)v＝0時(shí)，硬桿對(duì)小球有豎直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN＝mg.當(dāng)0<v<eq\r(Rg)時(shí)，桿對(duì)小球的支持力豎直向上，大小隨速度的增加而減小，其取值范圍為0<FN<mg.當(dāng)v＝eq\r(Rg)時(shí)，F(xiàn)N＝0.這時(shí)小球的重力恰好提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。當(dāng)v>eq\r(Rg)時(shí)，硬桿對(duì)小球有指向圓心(即方向向下)的拉力，其大小隨速度的增大而增大。3.兩種模型分析比較如下：輕繩模型輕桿模型常見類型均是沒有支撐的小球均是有支撐的小球過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件由mg＝meq\f(v2,r)得v臨＝eq\r(gr)由小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)即得v臨＝0討論分析(1)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，v≥eq\r(gr)，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，繩、軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN(2)不能過(guò)最高點(diǎn)v＜eq\r(gr)，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道(1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心(2)當(dāng)0＜v＜eq\r(gr)時(shí)，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N背離圓心，隨v的增大而減小(3)當(dāng)v＝eq\r(gr)時(shí)，F(xiàn)N＝0(4)當(dāng)v＞eq\r(gr)時(shí)，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大4.分析物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的易錯(cuò)易混點(diǎn)（1）繩模型和桿模型過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件不同，其原因是繩不能有支撐力，而桿可有支撐力。（2）對(duì)桿模型，在最高點(diǎn)有時(shí)不知是支撐力或拉力，此時(shí)可用假設(shè)法，然后根據(jù)結(jié)果的正負(fù)再確定。（3）解答豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要搞清楚是什么模型，對(duì)不同模型的臨界條件分析受力，找到向心力的來(lái)源。5.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的求解思路【典例探究】1.輕繩模型【典例1】如圖所示，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，細(xì)線的一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球?，F(xiàn)使小球恰好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。已知水平地面上的C點(diǎn)位于O點(diǎn)正下方，且到O點(diǎn)的距離為1.9L(1)求小球通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度vA；(2)若小球通過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力FT恰好為小球重力的6倍，且小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的瞬間細(xì)線斷裂，求小球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離?！敬鸢浮浚?1)eq\r(gL)(2)3L【解析】：(1)若小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小球通過(guò)A點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力剛好為零，根據(jù)向心力公式有mg＝meq\f(v\o\al(2,A),L)解得vA＝eq\r(gL)?！镜淅?】為了研究過(guò)山車的原理，某物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為θ＝60°，長(zhǎng)為L(zhǎng)1＝2eq\r(3)m的傾斜軌道AB，通過(guò)微小圓弧與長(zhǎng)為L(zhǎng)2＝eq\f(\r(3),2)m的水平軌道BC相連，然后在C處設(shè)計(jì)一個(gè)豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道D，如圖所示。現(xiàn)將一個(gè)小球從距A點(diǎn)高為h＝0.9m的水平臺(tái)面上以一定的初速度v0水平彈出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下。已知小球與AB和BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝eq\f(\r(3),3)。g取10m/s2，求：(1)小球初速度v0的大??；(2)小球滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速率vC；(3)要使小球不離開軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件。【答案】(1)eq\r(6)m/s(2)3eq\r(6)m/s(3)0＜R≤1.08m【解析】(1)小球做平拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律知豎直方向有：veq\o\al(2,y)＝2gh，即：vy＝3eq\r(2)m/s因?yàn)樵贏點(diǎn)的速度恰好沿AB方向，所以小球初速度：v0＝vytan30°＝eq\r(6)m/s(2)從水平拋出到C點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：mg(h＋L1sinθ)－μmgL1cosθ－μmgL2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得：vC＝3eq\r(3)小球剛好能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律有：mg＝meq\f(v2,R1)小球做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：－2mgR1＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)解得：R1＝eq\f(veq\o\al(2,C),5g)＝1.08m當(dāng)小球剛好能到達(dá)與圓心等高時(shí)有：mgR2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)解得：R2＝eq\f(veq\o\al(2,C),2g)＝2.7m當(dāng)圓軌道與AB相切時(shí)：R3＝L2tan60°＝1.5m，即圓軌道的半徑不能超過(guò)1.5m綜上所述，要使小球不離開軌道，R應(yīng)該滿足的條件是：0＜R≤1.08m。2.輕桿模型【典例3】如圖甲所示，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其F－v2圖象如圖乙所示，則()A．小球的質(zhì)量為eq\f(aR,b)B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮閑q\f(R,b)C．v2＝c時(shí)，小球?qū)U的彈力方向向上D．v2＝2b時(shí)，小球受到的彈力與重力大小相等【答案】：ACD【典例4】如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，內(nèi)側(cè)壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說(shuō)法正確的是()A.小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度vmin＝eq\r(g（R＋r）)B.小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度vmin＝0C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無(wú)作用力D.小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力【答案】BC【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長(zhǎng)略大于球的直徑．某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無(wú)作用力，則()A．在最高點(diǎn)小球的速度水平，小球既不超重也不失重B．小球經(jīng)過(guò)與圓心等高的位置時(shí)，處于超重狀態(tài)C．盒子在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)小球彈力大小等于2mg，方向向上D．該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期一定等于2πeq\r(\f(R,g))【答案】CD【解析】在最高點(diǎn)小球的加速度為g，處于完全失重狀態(tài)，A錯(cuò)誤；小球經(jīng)過(guò)與圓心等高的位置時(shí)，豎直加速度為零，既不超重也不失重，B錯(cuò)誤；在最高點(diǎn)有mg＝mv2r解得該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度v＝eq\r(gR)該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝eq\f(2πR,v)＝2πeq\r(\f(R,g))選項(xiàng)D正確；在最低點(diǎn)時(shí)，盒子與小球之間的作用力和小球重力的合力提供小球運(yùn)動(dòng)的向心力，由F－mg＝mv2r，解得F＝2mg，選項(xiàng)C正確。2.(多選)如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r＝0.4m，最低點(diǎn)處有一小球(半徑比r小很多)，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動(dòng)，v0應(yīng)當(dāng)滿足(g＝10m/s2)()A.2m/sB.4m/sC.6m/sD.8m/s【答案】ACD3.(多選)如圖所示，長(zhǎng)為l的細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴住一個(gè)小球，在O點(diǎn)的正下方與O點(diǎn)相距eq\f(l,2)的地方有一枚與豎直平面垂直的釘子；把小球拉起使細(xì)繩在水平方向伸直，由靜止開始釋放，當(dāng)細(xì)繩碰到釘子的瞬間，下列說(shuō)法正確的是()A．小球的線速度不發(fā)生突變B．小球的角速度不發(fā)生突變C．小球的向心加速度突然增大到原來(lái)的2倍D．繩子對(duì)小球的拉力突然增大到原來(lái)的2倍【答案】AC4.在質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)飛輪上，固定著一個(gè)質(zhì)量為m的重物，重物到轉(zhuǎn)軸的距離為r，如圖所示。為了使電動(dòng)機(jī)不從地面上跳起，電動(dòng)機(jī)飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不能超過(guò)()A.eq\f(M＋m,mr)gB.eq\r(\f(M＋m,mr)g)C.eq\r(\f(M－m,mr)g)D.eq\r(\f(Mg,mr))【答案】B【解析】當(dāng)重物轉(zhuǎn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)電動(dòng)機(jī)的向上的拉力最大，要使電動(dòng)機(jī)不從地面上跳起，電動(dòng)機(jī)對(duì)重物的拉力的最大值為FT＝Mg；對(duì)重物來(lái)說(shuō)，隨飛輪一起做圓周運(yùn)動(dòng)，它的向心力是重力和飛輪對(duì)重物的拉力FT′的合力，F(xiàn)T′和FT是一對(duì)作用力和反作用力。由牛頓第二定律，得FT′＋mg＝mω2r，代入數(shù)值，解得ω＝eq\r(\f(M＋m,mr)g).5.用長(zhǎng)L＝0.6m的繩系著裝有m＝0.5kg水的小桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，成為“水流星”。G＝10m/s2。求：(1)最高點(diǎn)水不流出