4.1數(shù)列的概念-【新教材】人教A版（2019）高中 數(shù)學選擇性必修二同步講義

淘寶唯一店鋪：知二教育倒賣拉黑不更新PAGE淘寶唯一店鋪：知二教育倒賣拉黑不更新4.1數(shù)列的概念知識梳理知識梳理1、數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．（2）數(shù)列與函數(shù)的關系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性.（4）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．2、數(shù)列的分類(1)按照項數(shù)有限和無限分：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有限數(shù)列：項數(shù)有限個；,無限數(shù)列：項數(shù)無限個；))(2)按單調性來分：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(遞增數(shù)列：an＋1\a\vs4\al(>)an，,遞減數(shù)列：an＋1\a\vs4\al(<)an，,常數(shù)列：an＋1＝an＝C常數(shù)，,擺動數(shù)列.))3、數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．①并不是所有的數(shù)列都有通項公式；②同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一（2）遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項與它的前一項(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．通項公式和遞推公式的異同點不同點相同點通項公式可根據(jù)某項的序號n的值，直接代入求出an都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項遞推公式可根據(jù)第一項(或前幾項)的值，通過一次(或多次)賦值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的an4、常用結論匯總——規(guī)律多一點（1）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.))（2）在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))（3）型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項；（4）形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項；知識典例知識典例題型一規(guī)律猜想例1數(shù)列的一個通項公式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列分子分母的規(guī)律求得通項公式.【詳解】由于數(shù)列的分母是奇數(shù)列，分子是自然數(shù)列，故通項公式為.故選：D已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）A．第10項 B．第11項 C．第12項 D．第21項【答案】B【分析】根據(jù)題中所給的通項公式，令，求得n=11，得到結果.【詳解】令，解得n=11，故是這個數(shù)列的第11項.故選：B.題型二遞推公式例2在數(shù)列中，，（，），則（）A． B．1C． D．2【答案】A【分析】通過遞推式求出數(shù)列前幾項可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.【詳解】，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故選：A.已知為數(shù)列的前項和，若，且，則________.【答案】【分析】求得數(shù)列的周期，由此求得.【詳解】由題意，，，，∴數(shù)列是周期數(shù)列，且周期為4.．故答案為：題型三累加法例3在數(shù)列中，，，則的通項公式為（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】先將變形整理為，再分別用，，，2，1替換上式中的，得到個等式，將上述這些式子相加整理，從而求出的通項公式.【詳解】由已知得，所以將上述個式子相加，整理的又因為，所以．故選A．在數(shù)列中，且，，則的通項公式為__________．【答案】【解析】在數(shù)列中，，，上式相加：題型四累乘法例4已知正項數(shù)列{an}中，a1＝1，(n＋2)·aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，n∈N*，則它的通項公式為()A．an＝eq\f(1,n＋1) B．an＝eq\f(2,n＋1)C．an＝eq\f(n＋1,2) D．an＝n【答案】B【解析】由(n＋2)aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，得(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))2＋eq\f(an＋1,an)－(n＋1)＝0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)＋1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n＋2·\f(an＋1,an)－n＋1))＝0，因為{an}是正項數(shù)列，所以eq\f(an＋1,an)＋1>0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n＋2)，則an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n－1,n)·…·eq\f(2,3)×1＝eq\f(2,n＋1).故選B.若數(shù)列滿足，，則______.【答案】【分析】由已知得，，由此利用累乘法能求出an．【詳解】數(shù)列{an}滿足，∴∴，，∴an＝，又時也滿足；故答案為．題型五數(shù)列與函數(shù)例5已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列中的最大項為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，當n2時，an＋1－an0，當n2時，an＋1－an0，從而可得到n＝2時，an最大.【詳解】解：，當n2時，an＋1－an0，即an＋1an；當n＝2時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n2時，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以數(shù)列中的最大項為a2或a3，且.故選：A.已知數(shù)列的通項公式是，那么這個數(shù)列是A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．擺動數(shù)列【答案】A【詳解】因為因為函數(shù)單調遞增，所以數(shù)列是遞增數(shù)列．故選A．鞏固提升鞏固提升1、數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由遞推關系，可求出的前5項，從而可得出該數(shù)列的周期性，進而求出即可.【詳解】由，可得，由，可得，，，，由，可知數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，所以.故選：B.2、在數(shù)列中，，則＝（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：由題意得，，所以．3、在數(shù)列中，已知，則______.【答案】【分析】令，根據(jù)換元法求通項，即可得出結果.【詳解】令，則，所以，所以，當時，上式也成立，所以.故答案為：.4、已知數(shù)列滿足:,則___________.【答案】0【分析】先由條件得，然后【詳解】因為所以因為，且所以，即故答案為：05、數(shù)列，，，，中，開始出現(xiàn)負值的項是第______項.【答案】16【分析】根據(jù)數(shù)列特點得到數(shù)列的通項公式，再解不等式，求出的值.【詳