4.2.1 等差數(shù)列的概念（基礎知識+基本題型）（含解析）-【一堂好課】2022-2023學年高二數(shù)學同步名師重點課堂（人教A版2019選擇性必修第二冊）

倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.2.1等差數(shù)列的概念（基礎知識+基本題型）知識點一等差數(shù)列的概念1．文字語言敘述一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.2．符號語言敘述在數(shù)列中，若或，為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列，常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.3．作用（1）用于證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列.提示（1）定義中“從第2項起”這一前提條件有兩層含義：其一，第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合；其二，定義中包括首項這一基本量，且必須從第2項起保證使數(shù)列中各項均與其前面一項作差.（2）定義中“每一項與它的前一項的差”也有兩層含義：其一，強調(diào)作差的順序，即后面的項減前面的項；其二，強調(diào)這兩項必須相鄰.（3）注意定義中的“同一常數(shù)”這一要求，否則這個數(shù)列不能稱為等差數(shù)列.知識點二等差中項1．概念如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項.若是，的等差中項，則，反之亦然.2．等差數(shù)列中的通項公式：3．作用：證明數(shù)列是等差數(shù)列.拓展（1），，成等差數(shù)列.（2）若，則數(shù)列為等差數(shù)列，反之也成立，所以數(shù)列為等差數(shù)列.這種判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法稱為“等差中項法”.（3）在有窮等差數(shù)列中，除首、末兩項外，任何一項都是前后兩項的等差中項；在無窮等差數(shù)列中，除首項外，任何一項都是前后兩項的等差中項知識點三等差數(shù)列的通項公式1．通項公式首項為，公差為的等差數(shù)列的通項公式：.2．對通項公式的理解通項公式中含有四個基本元素，即首項、序號、公差、第項.如果知道其中三個，那么就可以求出另一個.具體變形如下：（1）若已知，，（），則；（2）若已知，，，則；（3）若已知，，，則.解此類問題時，要充分挖掘題設條件，建立關于基本量的方程或方程組，從而將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為方程問題.拓展（1）等差數(shù)列的通項公式的推導方法名稱證明過程歸納法因為是等差數(shù)列，則有：……所以由此猜測.當時，上面的等式兩邊均為，所以等式也是成立的.這就說明當時，累加法因為是等差數(shù)列，所以，，，……，.以上各式兩邊分別相加，得，所以迭代法因為是等差數(shù)列，所以（2）等差數(shù)列的通項公式的變形對于任意正整數(shù)，有：3．等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的關系等差數(shù)列一次函數(shù)解析式不同點定義域為，圖象是一系列均勻分布在同一直線上的孤立的點定義域為R，圖象為一條直線相同點通項公式與函數(shù)的解析式都是關于自變量的一次整式，是最簡單的，也是最基本的數(shù)列和函數(shù)警示公差與等差數(shù)列單調(diào)性的關系：（1）當時，是遞增數(shù)列；（2）當時，是遞減數(shù)列；（3）當時，是常數(shù)列；知識點四等差數(shù)列的常用性質(zhì)等差數(shù)列的常用性質(zhì)性質(zhì)1通項公式的推廣：性質(zhì)2若為等差數(shù)列，且，則性質(zhì)3若為等差數(shù)列，公差為，則也是等差數(shù)列，公差為性質(zhì)4若，分別是以，為公差的等差數(shù)列，則是以為公差等差數(shù)列性質(zhì)5若是等差數(shù)列，則，，，…組成公差為的等差數(shù)列拓展（1）性質(zhì)2可推廣到三項的情形，即“，且”，還可以推到四項乃至更多項的情形，只要兩邊項數(shù)一樣，且下標的和相等即可.（2）若，則，此性質(zhì)實質(zhì)上是上述性質(zhì)2的特例.（3）若是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和，即.（4）項數(shù)間隔相等或連續(xù)等長的片段和仍構成等差數(shù)列.例如，構成等差數(shù)列，也構成等差數(shù)列.考點一等差數(shù)列的通項公式及應用例1在等差數(shù)列中，已知，，求.解：設數(shù)列的公差為，由題意，得，解得.故.所以.（1）在等差數(shù)列中，首項與公差是兩個最基本的元素.（2）有關等差數(shù)列的問題，如果條件與結(jié)論間的關系不明顯，則均可化成關于，的方程組求解，但是要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量.例2已知等差數(shù)列6，3，0，….（1）試求此數(shù)列的第100項；（2）－30是不是這個數(shù)列中的項？－40是不是這個數(shù)列中的項？若是，分別是第幾項？解：（1）設此數(shù)列為，則首項，公差，所以通項公式為，所以.（2）令，解得，所以－30是這個數(shù)列中的項，是第13項.令，解得，因為不是正整數(shù)，所以－40不是這個數(shù)列中的項.判斷某數(shù)是否為數(shù)列中的項的方法：將此數(shù)代入通項公式，若得到的是正整數(shù)，則該數(shù)是數(shù)列中的項，否則不是.考點二等差數(shù)列的判定與證明例3已知數(shù)列滿足，.（1）數(shù)列是否為等差數(shù)列？說明理由；（2）求.解：（1）數(shù)列是等差數(shù)列.理由如下：因為，，所以，所以，即是首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，所以（1）判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的基本方法是緊扣定義：（為常數(shù)）.此外，也可以用（）進行判斷.（2）本題屬于“生成數(shù)列問題”，關鍵是要整體代換，進而求通項公式.例4已知成等差數(shù)列，求證：也成等差數(shù)列.證明：因為成等差數(shù)列，所以，即.因為，所以也成等差數(shù)列.總結(jié)：等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：（為常數(shù)，）是等差數(shù)列.（2）等差中項法：（）是等差數(shù)列.（3）通項公式法：（為常數(shù)，）是等差數(shù)列.其中定義法是最常用的一種方法，若要證明一個數(shù)列為等差數(shù)列，則必須用定義法證明；要證明三個實數(shù)依次成等差數(shù)列，只要證明中間一項是另外兩項的等差中項即可；若一個數(shù)列的通項公式是關于（）的一次函數(shù)，則可以判定該數(shù)列為等差數(shù)列.考點三等差數(shù)列的性質(zhì)例5若是等差數(shù)列，且，求.解：方法1：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知.由，得，解得，所以.方法2：設等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得.由，得，解得，由題意，知，即，所以.方法1運用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則；方法2利用通項公式，待各面轉(zhuǎn)化為關于數(shù)列的首項與公差的式子完成運算，屬于通性通法.兩種方法都運用了整體代換與方程思想.考點四等差數(shù)列的特殊設法例6成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26，且第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這四個數(shù).分析：已知四個數(shù)成等差數(shù)列有多種設法，但如果四個數(shù)的和已知，那么常利用對稱性，先設四個數(shù)為，，，，再計算.解：設這四個數(shù)為.由題意，知，即.解得或.所以這四個數(shù)分別為2，5，8，11或11，8，5，2.利用等差數(shù)列的定義巧設未知量，可以簡化計算.一般有如下規(guī)律：當?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)為奇數(shù)時，可先設中間一項為，再以公差為向兩邊分別設項：…，，…；當項數(shù)為偶數(shù)時，可先設中間兩項為，再以公差為向兩邊分別設項：…，，….這樣可減少計算量.考點五等差數(shù)列的綜合應用例7在中，若成等差數(shù)列，且三個內(nèi)角也成等差數(shù)列，試判斷此三角形的形狀.分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，將已知條件進行轉(zhuǎn)化，從而得出三個內(nèi)角的度數(shù)，以此判斷三角形的形狀.解：因為成等差數(shù)列，所以.又因為，所以，即，.因為成等差數(shù)列，所以，即，又因為，所以，所以.所以，所以.整理，得，即.所以.因為