江蘇無錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高三（上）數(shù)學(xué)第15周階段性訓(xùn)練模擬練習【含答案】

江蘇無錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高三（上）數(shù)學(xué)第15周階段性訓(xùn)練模擬練習一．選擇題（共6小題）1．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，BC＝2AD＝2AB＝2，以下底BC所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2π2．在平面直角坐標系xOy中，已知A是圓C1：x2+（y﹣3）2＝1上的一點，B，C是圓C2：（x﹣4）2+y2＝4上的兩點，則∠BAC的最大值為（）A． B． C． D．3．已知正實數(shù)a，b，c滿足＝2a﹣a，＝3b﹣b，＝4c﹣c，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜a＜c4．若sin是函數(shù)f（x）＝ax3﹣bx+1（a，b∈N*）的一個零點，則f（1）＝（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝1，an+1＝an+bn，bn+1＝an﹣bn，則an＝（）A．2n﹣1 B． C． D．6．已知四面體ABCD，△ABC是邊長為6的正三角形，DA＝DB＝2，二面角D﹣AB﹣C的大小為π，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．40π B．52π C．72π D．84π二．多選題（共5小題）（多選）7．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：y＝x﹣2經(jīng)過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，l與拋物線相交于A，B兩點，則（）A．p＝2 B．|AB|＝16 C．線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為6 D．OA⊥OB（多選）8．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝，AA1＝1，P為棱C1D1的中點，Q為底面ABCD上（含邊界）的一動點．記點Q軌跡的長度為L，則下列說法正確的有（）A．若PQ⊥B1C，則L＝2 B．若PQ∥平面A1BC1，則L＝ C．若PQ＝，則L＝π D．若C到平面A1PQ的距離為，則L＝2（多選）9．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為菱形且∠DAB＝，A1A＝AB，∠A1AB＝∠A1AD，O為A1C1的中點，P為線段AB1上的動點，則下列命題正確的是（）A．可作為一組空間向量的基底 B．可作為一組空間向量的基底 C．直線OP∥平面C1BD D．向量在平面AB1D1上的投影向量為（多選）10．已知函數(shù)f（x）＝cos2x，，則（）A．將函數(shù)y＝f（x）的圖象右移個單位可得到函數(shù)y＝g（x）的圖象 B．將函數(shù)y＝f（x）的圖象右移個單位可得到函數(shù)y＝g（x）的圖象 C．函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）的圖象關(guān)于點對稱（多選）11．已知數(shù)據(jù)x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，若去掉x4后剩余6個數(shù)的平均數(shù)比7個數(shù)的平均數(shù)大，記x1，x2，x3，x4的平均數(shù)與方差為，，記x4，x5，x6，x7的平均數(shù)與方差為，，則（）A． B． C．﹣＞[（xk﹣x4）2﹣（xk﹣x4）2] D．﹣＜[（xk﹣x4）2﹣（xk﹣x4）2]三．填空題（共3小題）12．已知單位向量，的夾角為θ，向量＝﹣，若|c|∈Z，則cosθ＝．（寫出一個可能值）13．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過O的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若FB⊥AB，∠AFB+∠AOF＝π，則C的離心率為．14．已知點P是雙曲線C：＝1（a，b＞0）與圓x2+y2＝a2+c2在第一象限的公共點，若點P關(guān)于雙曲線C其中一條漸近線的對稱點恰好在y軸負半軸上，則雙曲線C的離心率e＝．四．解答題（共6小題）15．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且d≠0，設(shè)Sn為{an}的前項和，數(shù)列{bn}滿足bn＝4Sn﹣2n（n∈N*）．（1）若a1＝﹣1，d＝1，且bn＜an，求n；（2）若數(shù)列{}也是公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列{（﹣1）nbn}的前n項和Tn．16．已知函數(shù)f（x）＝．（1）求f（x）的極值；（2）證明：f（x）＜+．17．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Γ：（a＞b＞0）經(jīng)過點A（﹣4，0），B（2，3），直線AB與y軸交于點P，過P的直線l與Γ交于C，D兩點（異于A，B），記直線AC和直線BD的斜率分別為k1，k2（k1k2≠0）．（1）求Γ的標準方程；（2）求﹣的值；（3）設(shè)直線AC和直線BD的交點為Q，求證：Q在一條定直線上．18．已知點F1，F(xiàn)2為橢圓C：+y2＝1的左，右焦點，橢圓C上的點P，Q滿足F1P∥F2Q，且P，Q在x軸上方，直線F1Q，F(xiàn)2P交于點G．已知直線PF1的斜率為k（k＞0）．（Ⅰ）當k＝1時，求|PF1|+|QF2|的值；（Ⅱ）記△PF1G，△QF2G的面積分別為S1，S2，求S1﹣S2的最大值．

19．我國有天氣諺語“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”，說的是如果中秋節(jié)有降水，則來年的元宵節(jié)亦會有降水．某同學(xué)想驗證該諺語的正確性，統(tǒng)計了40地5年共200組中秋節(jié)與來年元宵節(jié)的降水狀況，整理如下：中秋天氣元宵天氣合計降水無降水降水194160無降水5090140合計69131200（Ⅰ）依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為元宵節(jié)的降水與前一年的中秋節(jié)降水有關(guān)？（Ⅱ）從以上200組數(shù)據(jù)中隨機選擇2組，記隨機事件A為二組數(shù)據(jù)中中秋節(jié)的降水狀況為一降水一無降水，記隨機事件B為二組數(shù)據(jù)中元宵節(jié)的降水狀況為一降水一無降水，求P（B|A）．參考公式與數(shù)據(jù)：．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82820．定義滿足f（x0）＝f'（x0）的實數(shù)x0為函數(shù)y＝f（x）的然點．已知f（x）＝（lnx+a）e﹣x．（Ⅰ）證明：對于?a∈R，函數(shù)y＝f（x）必有然點；（Ⅱ）設(shè)x0為函數(shù)y＝f（x）的然點，判斷函數(shù)g（x）＝f（x）﹣f（x0）的零點個數(shù)并證明．

參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．【解答】解：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，BC＝2AD＝2AB＝2，以下底BC所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體為圓錐與圓柱的組合體，圓錐與圓柱的底面半徑為1，高均為1，則該幾何體的體積V＝．故選：B．2．【解答】解：A是圓C1：x2+（y﹣3）2＝1上的一點，B，C是圓C2：（x﹣4）2+y2＝4上的兩點，可知A與圓C2距離最短，并且過A與圓C2：（x﹣4）2+y2＝4相切時，∠BAC取得最大值，此時|AC2|＝﹣1＝4，sin∠BAC2＝＝，可得∠BAC2＝，∠BAC＝．故選：B．3．【解答】解：由＝2a﹣a得，2+＝2a﹣a，∴，∴函數(shù)y＝x+與函數(shù)y＝2x﹣2的圖象在（0，+∞）上交點的橫坐標為a，同理，函數(shù)y＝x+與函數(shù)y＝3x﹣3的圖象在（0，+∞）上交點的橫坐標為b，函數(shù)y＝x+與函數(shù)y＝4x﹣4的圖象在（0，+∞）上交點的橫坐標為c，在同一個平面直角坐標系中畫出函數(shù)函數(shù)y＝x+，y＝2x﹣2，y＝3x﹣3，y＝4x﹣4的圖象，如圖所示：由圖可知，c＜b＜a．故選：A．4．【解答】解：由頂角為36°的等腰三角形可得sin＝＝，所以sin3＝＝﹣，故a（﹣）﹣b（）+1＝0，即（a﹣2b）﹣2a+2b+8＝0，因為a，b∈N*，可得a＝2b，b﹣a＝﹣4，可得a＝8，b＝4．所以f（1）＝a﹣b+1＝5．故選：D．5．【解答】解：根據(jù)an+1＝an+bn，bn+1＝an﹣bn，相加可得an+1+bn+1＝2an，所以an+2＝an+1+bn+1＝2an，可知{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成公比為2的等比數(shù)列，由a1＝b1＝1，得a2＝a1+b1＝2，所以{an}的各項為：1，2，2，4，4，8，8，?，奇數(shù)項的通項公式為an＝，偶數(shù)項的通項公式為an＝＝，因此，數(shù)列{an}的通項公式為an＝＝，D項符合題意．故選：D．6．【解答】解：取AB中點E，連接CE，DE，因為△ABC是邊長為6的正三角形，，則由三線合一可知AB⊥DE，AB⊥CE，所以二面角D﹣AB﹣C的平面角為，取三角形ABC的外心O1，設(shè)外接球的球心為O，則OO1平面ABC，且OA＝OB＝OC＝OD＝r，其中r為四面體ABCD外接球的半徑，過點D作DG垂直平面ABC，垂足為點G，由對稱性可知點G必定落在O1E的延長線上面，由幾何關(guān)系，設(shè)DF＝x，由正弦定理邊角互換得，進而O1E＝CE﹣CO1＝，由勾股定理得，從而，，所以，，所以由OD＝OC＝r，得，解得，，所以四面體ABCD的外接球的表面積為4πr2＝52π．故選：B．二．多選題（共5小題）7．【解答】解：∵直線l：y＝x﹣2經(jīng)過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴焦點為（2，0），可得＝2，p＝4，A錯；故拋物線方程為：y2＝8x，聯(lián)立，可得（x﹣2）2＝8x，即x2﹣12x+4＝0，則x1+x2＝12，x1x2＝4，故|AB|＝x1+x2+p＝12+4＝16；B對；線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為：＝6；C對；?＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣2）（x2﹣2）＝2x1x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣12，D錯．故選：BC．8．【解答】解：對A選項，如圖，設(shè)Q在BC上的射影為M，PQ⊥B1C，即C1M⊥B1C，易得，故L＝MN＝2，故A選項正確；對B選項：如圖，取AB，BC中點E，F(xiàn)，顯然有PE∥BC1，EF∥A1C1，進而可得平面PEF∥平面A1BC1，故，故B選項錯誤；對C選項：如圖，設(shè)P在CD上的射影為N，由PQ＝，PN＝1，易得NQ＝1，故Q在以N為圓心，1為半徑的半圓弧上，故L＝π，故C選項正確；對D：以D為原點建系如圖，則，設(shè)Q（m，n，0），m∈[0，]，n∈[0，2]，所以，，，設(shè)平面A1PQ的法向量為，則，取，所以C到平面A1PQ的距離為＝＝，所以，所以，即或，即或，但當Q（m，n，0）滿足時，直線在矩形ABCD外，所以L＝＝2，故D選項正確．故選：ACD．9．【解答】解：如圖所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，對于選項A，，三個向量都在平面AB1D1，即三個向量共面，則也共面，不可作為一組空間向量的基底，選項A錯誤；對于選項B，兩個向量都在平面OAD，顯然直線AB與平面OAD是相交關(guān)系，不與平面OAD平行，故三個向量不共面，可作為一組空間向量的基底，選項B正確；對于選項C，由于BD∥B1D1，AB1∥DC1，易得B1D1∥平面C1BD，AB1∥平面C1BD，從而有平面AB1D1∥平面C1BD，且OP?平面AB1D1，所以直線OP∥平面C1BD，選項C正確；對于選項D，取作為一組空間向量的基底，，，，其中，因為底面ABCD為菱形，且，，∠A1AB＝∠A1AD，得，，所以，即，OC⊥B1D1，其中，顯然，[（+）]2＝（2+2+2?）＝（2+2+22cos）＝2，所以，即，OC⊥OA，因為OC⊥B1D1，OC⊥OA，且B1D1?平面AB1D1，OA?平面AB1D1，B1D1∩OA＝O，所以O(shè)C⊥平面AB1D1，所以向量在平面AB1D1上的投影向量為，選項D正確．故選：BCD．10．【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos2x＝sin（2x+），，對于A，函數(shù)y＝f（x）的圖象右移個單位可得到函數(shù)y＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x+）＝g（x），故A正確；對于B，函數(shù)y＝f（x）的圖象右移個單位可得到函數(shù)y＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x+）≠g（x），故B錯誤；對于C，函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于x＝對稱的函數(shù)為f（﹣x）＝cos2（﹣x）＝cos（2x﹣）＝sin（2x+）＝g（x），故C正確；對于D，函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點對稱的函數(shù)為﹣f（﹣x）＝﹣cos2（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos（﹣﹣2x）＝sin（2x+）＝g（x），故D正確．故選：ACD．11．【解答】解：因為，所以x1+x2+x3+x5+x6+x7＞6x4，所以（x1+x2+x3+x4）+（x4+x5+x6+x7）＞8x4，所以，故A正確，B錯誤；＝＝＝，故C正確，D錯誤．故選：AC．三．填空題（共3小題）12．【解答】解：因為＝﹣，單位向量，的夾角為θ，所以||＝＝，因為||∈Z，cosθ∈[﹣1，1]，，所以cosθ＝或．故答案為：或．13．【解答】解：設(shè)雙曲線的焦距為2c，則F（c，0），設(shè)B（m，n），m＞0，n＞0，則A（﹣m，﹣n），因為FB⊥AB，所以＝（m﹣c，n）?（2m，2n）＝2m（m﹣c）+2n2＝0，即m2+n2＝mc，又∠AFB+∠AOF＝π，所以∠AFB＝π﹣∠AOF＝∠BOF，所以tan∠AFB＝tan∠BOF，而tan∠AFB＝tan（∠AFO+∠BFO）＝＝＝＝＝，tan∠BOF＝，所以＝，即m＝，又m2+n2＝mc，所以n＝m＝，因為點B在雙曲線上，所以，所以，又b2＝c2﹣a2，所以c4﹣12a2c2+9a4＝0，兩邊同時除以a4，得e4﹣12e2+9＝0，解得e2＝，所以e＝＝＝＝，因為e＞1，所以e＝．故答案為：．14．【解答】解：聯(lián)立，取x＞0，y＞0，解得，即P（，），設(shè)點P關(guān)于雙曲線C的漸近線y＝﹣的對稱點為點Q，則Q恰好在y軸負半軸上，且|OQ|＝|OP|＝，所以Q（0，﹣），因為點P與點Q關(guān)于漸近線y＝﹣對稱，所以直線PQ的斜率為，所以＝，即＝，化簡得a2＝2b2，所以離心率e＝＝＝．故答案為：．四．解答題（共6小題）15．【解答】解：（1）由題意得an＝﹣1+（n﹣1）＝n﹣2，所以，所以，因為bn＜an，所以2n2﹣8n＜n﹣2，所以，又因為n∈N*，所以n＝1，2，3，4；（2）因為是公差為d的等差數(shù)列，所以設(shè)，又因為，所以對任意n∈N*恒成立，即對任意n∈N*恒成立，所以，又因為d≠0，所以，所以，所以，當n為偶數(shù)時，＝4[（2﹣1）×（2+1）+（4﹣3）（4+3）+?+（n﹣（n﹣1））（n+n﹣1）]＝4（1+2+3+4+?+n）＝2n（n+1），當n為奇數(shù)時，＝4[﹣1+（2﹣3）（2+3）+（4﹣5）（4+5）+?+（（n﹣1）﹣n）（n﹣1+n）]＝4（﹣1﹣2﹣3﹣4﹣?﹣n）＝﹣2n（n+1），綜上所述，．16．【解答】解：（1）f′（x）＝，x∈（0，+∞），令u（x）＝﹣1﹣lnx，則函數(shù)u（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，又u（1）＝0，∴x∈（0，1）時，u（x）＞0，即f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x∈（1，+∞）時，u（x）＜0，即f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴x＝1時，函數(shù)f（x）取得極大值f（1）＝，無極小值．（2）證明：要證明f（x）＜+?lnx﹣+2﹣2ln2＜0．令g（x）＝lnx﹣+2﹣2ln2，g′（x）＝﹣，則函數(shù)g′（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，存在唯一x0滿足x0＝4，可得lnx0+x0＝2ln2，＝，∴函數(shù)g（x）在x0∈（1，2）出取得極大值即最大值，g（x0）＝2ln2﹣x0﹣+2﹣2ln2＝2﹣（x0+）≤2﹣2＝0，等號不成立，∴g（x）≤g（x0）＜0，∴f（x）＜+．17．【解答】解：（1）因為橢圓Γ經(jīng)過點A（﹣4，0），B（2，3），所以，解得，則橢圓Γ的標準方程為；（2）易知直線AB的方程為x﹣2y+4＝0，P（0，2），當直線l的斜率為0時，直線l的方程為y＝2，易得，，此時；當直線l的斜率不為0時，不妨設(shè)直線l的方程為x＝my﹣2m，C（x1，y1），D（x2，y2），聯(lián)立，消去x并整理得（3m2+4）y2﹣12m2y+12m2﹣48＝0，由韋達定理得，，易知y1y2＝4（y1+y2）﹣1