專題06 函數(shù)的基本性質(zhì)（考點清單+知識導圖+ 19個考點清單-題型解讀）（解析版）-25學年高一數(shù)學上學期期末考點大串講（人教A版必修一）

清單06函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】函數(shù)的圖象1.1、函數(shù)圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.1.2、函數(shù)圖象的對稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；1.3、函數(shù)圖象的翻折變換（絕對值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個偶函數(shù)）【清單02】函數(shù)的單調(diào)性2.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).2.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).【清單03】函數(shù)的奇偶性3.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).3.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).【清單04】函數(shù)奇偶性的判斷4.1定義法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）求，根據(jù)與的關(guān)系，判斷的奇偶性：①若是奇函數(shù)②若是偶函數(shù)③若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)④若既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)4.2圖象法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.（2）若的圖象關(guān)于軸對稱是偶函數(shù)（3）若的圖象關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)4.3性質(zhì)法：，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【清單05】冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.1、五個冪函數(shù)的圖象(記憶五個冪函數(shù)的圖象）當時，我們得到五個冪函數(shù)：；；；；5.2、五個冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點【考點題型一】函數(shù)圖象識別核心方法：特殊值法，單調(diào)性，奇偶性，零點，極限法【例1-1】（24-25高一上·廣東清遠·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．【答案】A【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識別【分析】求出函數(shù)的奇偶性，并代入特殊函數(shù)值，判斷出答案.【詳解】的定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除CD；又，B錯誤，A正確.故選：A【例1-2】（24-25高一上·北京朝陽·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．

C．

D．

【答案】C【知識點】函數(shù)圖像的識別【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，特殊值點以及分子分母的增長速度，結(jié)合選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的解析式，易知該函數(shù)的定義域為，故選項A錯誤；令，得，故選項B錯誤；當時，的增長速度遠大于，所以當時，，故選項D錯誤.故選：C.【變式1-1】（24-25高一上·黑龍江·期中）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)圖像的識別【分析】根據(jù)函數(shù)定義域、奇偶性以及特殊點的函數(shù)值來確定正確答案.【詳解】由題知函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除C，D，令，得，排除A，故B正確.故選：B【變式1-2】（24-25高一上·吉林長春·期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】函數(shù)圖像的識別、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】研究函數(shù)的定義域、奇偶性與特殊點即可選出.【詳解】解：因為的定義域為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù).圖象關(guān)于軸對稱，所以可排除CD；又因為，排除B,所以A正確.故選：A【考點題型二】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性核心方法：證明單調(diào)性只能用定義法判斷單調(diào)性：①（）；②（）③圖象法【例2】（24-25高一上·廣東珠?！て谥校┮阎瘮?shù)，．

(1)畫出當時，函數(shù)y=fx的圖象；(2)探究函數(shù)y=fx【答案】(1)如圖所示(2)答案見解析【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、畫出具體函數(shù)圖象【分析】（1）根據(jù)題意，利用描點法畫出草圖即可；（2）分情況討論，結(jié)合單調(diào)性定義證明即可.【詳解】（1）當時，.圖象如下：

（2）當時，x∈?∞，越大，反比例函數(shù)知道也越大，則也增大，則在上單調(diào)遞增.在0,+∞上也單調(diào)遞增.當時，在上單調(diào)遞增.當時，x∈?∞設(shè),,且,則.因為,所以,,當,時,,此時函數(shù)為減函數(shù);當,時,,此時函數(shù)為增函數(shù).綜上,函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).且，則為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間單調(diào)性相同.則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所得，當時,在上單調(diào)遞增,在0,+∞上也單調(diào)遞增.當時，在上單調(diào)遞增.當時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【變式2-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)的圖象過點和．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間0,+∞上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.

【答案】(1)(2)在上為減函數(shù)，證明見解析【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、求解析式中的參數(shù)值【分析】（1）待定系數(shù)法得到方程，求出，，則；（2）定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟，取點，作差，變形判號，下結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題意函數(shù)的圖象過點和，則，，解得，，則；（2）函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，證明：任取，，設(shè)，則，又因為，則，，，，則；所以,故函數(shù)在0,+∞上為減函數(shù).【變式2-2】（24-25高一上·廣東佛山·期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式．(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見解析【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、求解析式中的參數(shù)值、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由已知，代入函數(shù)，可求得，即可求得函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義即可證明；【詳解】（1）由題意，，得，從而可得，則函數(shù)的解析式為．（2）任取，設(shè)，則，當時，，則，即，則在上單調(diào)遞減；當時，，則，即，則在上單調(diào)遞增；【考點題型三】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間核心方法：圖象法【例3】（24-25高一上·吉林長春·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、判斷二次函數(shù)的單調(diào)性和求解單調(diào)區(qū)間、分段函數(shù)的單調(diào)性【分析】化函數(shù)為分段函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A【變式3-1】（24-25高一上·廣東茂名·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】、【知識點】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】作出函數(shù)的圖象，可得出該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】因為，由此畫出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、.

故答案為：、.【變式3-2】（2024高一·全國·專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】【知識點】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、畫出具體函數(shù)圖象【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，由，解得或，函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.【考點題型四】求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（注意優(yōu)先考慮定義域）核心方法：同增異減【例4】（23-24高一上·陜西西安·階段練習）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．【答案】【知識點】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、復合函數(shù)的單調(diào)性【分析】求出函數(shù)的定義域，利用復合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)即可求得其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由題意可知，解得，即函數(shù)定義域為，易知函數(shù)由復合而成，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；利用復合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)增區(qū)間是故答案為：.【變式4-1】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、復合函數(shù)的單調(diào)性【分析】求得的定義域，利用復合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】函數(shù)中，，解得，又的開口向下，對稱軸方程為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A【考點題型五】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)核心方法：圖象法【例5-1】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】分段函數(shù)單調(diào)性，保證兩段都單調(diào)遞減，考慮端點即可.【詳解】根據(jù)題意得到，，解得，即.故選：A.【例5-2】（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值【分析】化簡可得，根據(jù)單調(diào)性可得，求出函數(shù)的減區(qū)間，可得出區(qū)間的包含關(guān)系，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得或，則函數(shù)的減區(qū)間為、，由題意可得，可得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式5-1】（24-25高一上·廣西河池·階段練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸列不等式即可得解.【詳解】由二次函數(shù)性質(zhì)可知，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，只需，解得，即的取值范圍為.故選：A【變式5-2】（24-25高一上·廣東清遠·期中）若在上是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義及單調(diào)性列不等式組，解不等式即可.【詳解】由已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞減，則，當時，單調(diào)遞減，則，即，又結(jié)合分段函數(shù)可知，綜上所述.故選：D.【考點題型六】判斷函數(shù)的奇偶性核心方法：①定義法②圖象法③性質(zhì)法偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【例6】（24-25高一上·上海徐匯·期中）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號為①②③

④【答案】①②④【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】利用偶函數(shù)的定義逐一判斷即得.【詳解】對于①，函數(shù)的定義域為，，①是；對于②，函數(shù)中，，解得，，，②是；對于③，中，，而，，③不是；對于④，中，，當時，，；當時，，，因此，④是.故答案為：①②④【變式6-1】（24-25高一上·甘肅武威·期中）在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、分段函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】BC選項可以用常見函數(shù)的函數(shù)圖形得到奇偶性和單調(diào)性，A選項由奇函數(shù)的定義來判斷，并判斷0,+∞【詳解】A選項：定義域為：，，當時，，由二次函數(shù)圖像可知，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞減，A選項正確；B選項：由反比例函數(shù)圖像可知，函數(shù)是奇函數(shù)，但是在區(qū)間上單調(diào)遞減，但在定義域上不單調(diào)，所以B選項錯誤；C選項：由二次函數(shù)的圖像可知，函數(shù)是偶函數(shù)，所以C選項錯誤；D選項：當時，，，所以是奇函數(shù)，由解析式可知咋0,+∞和上單調(diào)遞減，又∵，∴在定義域上不單調(diào)，D選項錯誤.故選：A【變式6-2】（多選）（24-25高一上·陜西咸陽·期中）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用單調(diào)性和奇偶性逐項判斷即可.【詳解】對于A，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，故A正確；對于B，，則為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，，則為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，故D正確；故選：AD【考點題型七】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值核心方法：奇偶性定義【例7】（24-25高一上·四川成都·期中）已知為定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】C【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再求出即可得解.【詳解】因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以得，所以，故，則，故選：C．【變式7-1】（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函數(shù)，且，則（

）.A． B． C． D．3【答案】C【知識點】由奇偶性求參數(shù)【分析】結(jié)合題意利用奇函數(shù)的定義即可求解.【詳解】因為，所以.所以.故選：.【變式7-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù).【答案】2【知識點】由奇偶性求參數(shù)【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，即對于任意實數(shù)，都有根據(jù)這個定義列出等式，然后通過化簡等式來求解實數(shù)的值.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以.先求出，將換為，可得.而.所以..展開左邊式子.展開右邊式子.左右兩邊的系數(shù)應(yīng)該相等，，解得.故答案為：2.【考點題型八】利用函數(shù)奇偶性解不等式核心方法：奇偶性+單調(diào)性（特別注意容易忽視定義域）【例8-1】（多選）（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且對任意，當時，總有，則滿足的x的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】由題意得在上是增函數(shù)，根據(jù)奇偶性可得在上也是增函數(shù)，，由單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可知，在上是增函數(shù)，而為奇函數(shù)，故在上也是增函數(shù)，所以fx在R上單調(diào)遞增.因為，所以，即，所以，解得.故選：.【例8-2】（24-25高一上·天津南開）定義在上的偶函數(shù)，當時，為減函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是.【答案】【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，所以等價于，因為當時，為減函數(shù)，則，解得，或，故答案為：.【變式8-1】（24-25高一上·湖北黃岡·期中）已知定義域為的偶函數(shù)滿足：對任意，，都有成立，則滿足的x取值范圍是（

）A．?∞,1 B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】根據(jù)條件可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，原不等式可化為，則，即可求解.【詳解】解：由題意可得在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，則不等式等價于，所以，解得，即滿足題意的x取值范圍為：故選：C【變式8-2】（24-25高一上·天津津南·期中）定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性列不等式來求得不等式的解集.【詳解】由于是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以的圖象關(guān)于直線對稱，在上單調(diào)遞減，所以在1,+∞上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，由得，所以，所以不等式的解集為.故選：C【考點題型九】函數(shù)的對稱性和周期性【例9】（24-25高三上·遼寧錦州·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，當時，，則（

）A．2024 B．2 C．1 D．0【答案】D【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性及其對稱性推導得到的周期為，進而利用函數(shù)的周期性求解即可.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，又因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，進而可得：又，所以，即，所以函數(shù)的周期為4，所以.故選：D【變式9-1】（多選）（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．【答案】ACD【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性、奇偶性及周期性的性質(zhì)推導可得.【詳解】因為f2x+1為奇函數(shù)，所以，則，所以關(guān)于1,0對稱且f1=0，則，，又為偶函數(shù)，所以，所以，故，所以為偶函數(shù)，故C正確；所以，即，所以是以為周期的周期函數(shù)，則，故D正確；又，故A正確；因為，由于無法確定，所以無法確定，故B錯誤.故選：ACD【變式9-2】（多選）（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù)的定義域為，對任意都有，且，，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C． D．為偶函數(shù)【答案】AC【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷證明抽象函數(shù)的周期性、判斷或證明函數(shù)的對稱性、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性逐項判斷即可.【詳解】∵，則的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確，B錯誤；∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，又，∴，則，即，∴函數(shù)的周期為8，則，故C正確；∵，所以為奇函數(shù)，故D錯誤．故選：AC.【考點題型十】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用【例10】（多選）（24-25高一上·重慶·期中）已知定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱B．是以8為周期的周期函數(shù)C．存在函數(shù)，使得對，都有D．【答案】ABD【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性定義即可得出，即可判斷A正確；結(jié)合奇偶性和對稱性計算可得是以8為周期的周期函數(shù)，利用周期性計算可得，即B正確，D正確；利用反證法假設(shè)C選項成立，可得的函數(shù)值不唯一，構(gòu)不成函數(shù)關(guān)系，因此假設(shè)不成立，即C錯誤.【詳解】對于A，根據(jù)題意由可得；又為奇函數(shù)，聯(lián)立，兩式相加可得，因此的圖象關(guān)于點2,1對稱，即A正確；對于B，由A選項可知，又為偶函數(shù)，所以，可得，即，所以，即是以8為周期的周期函數(shù)，可知B正確；對于C，假設(shè)存在函數(shù)hx，使得對，都有，由，，可得，，可得；因此，又，即的函數(shù)值不唯一，構(gòu)不成函數(shù)關(guān)系，因此假設(shè)不成立，即C錯誤.對于D，易知，由可得，又，所以；所以，即D正確；故選：ABD【點睛】求解函數(shù)對稱性、奇偶性、周期性等性質(zhì)綜合性問題時，要充分利用已有性質(zhì)推出第三個性質(zhì)進行綜合運用進而實現(xiàn)問題求解.【變式10-1】（多選）（24-25高三上·全國·階段練習）已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，且，則（

）A． B．的一個周期是3C．的一個對稱中心是 D．【答案】BCD【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用、判斷或證明函數(shù)的對稱性【分析】根據(jù)的周期性，奇偶性、對稱性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由，可得，所以有，所以是周期為的周期函數(shù)，選項B正確；又是上的奇函數(shù)，知，可得，無法確定，的值，選項A錯誤；由，及，可得，所以的圖象關(guān)于點對稱，選項C正確；由的周期為3，得，選項D正確.故選：BCD.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.【變式10-2】（多選）（24-25高三上·甘肅金昌·期中）已知函數(shù)的定義域為R，函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．D．若函數(shù)滿足，則【答案】ABD【知識點】由函數(shù)的周期性求函數(shù)值、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法逐項分析判斷即可.【詳解】對于A，由函數(shù)是奇函數(shù)，得，由，得，A正確；對于B，由是奇函數(shù)，得，即，又，則，即，因此，為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對稱，B正確；對于C，由，得，C錯誤；對于D，，函數(shù)是以為4周期的周期函數(shù)，由，得，，于是是以4為周期的函數(shù)，，由，得，，所以，D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：涉及抽象函數(shù)等式問題，利用賦值法探討函數(shù)的性質(zhì)，再借助性質(zhì)即可求解.【考點題型十一】利用函數(shù)奇偶性求解析式【例11】（24-25高一上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，，則當時，的解析式為.【答案】【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式【分析】設(shè)，求出，再利用函數(shù)的奇偶性得出.【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即時，的解析式為.故答案為：【變式11-1】（23-24高一上·遼寧沈陽·期中）已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，，則當時，．【答案】【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)先求出，然后結(jié)合奇函數(shù)定義可求時的函數(shù)解析式．【詳解】因為y=fx是定義域為的奇函數(shù)，當時，，所以，即，此時，則當時，，，所以．故答案為：．【變式11-2】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則當時，．【答案】【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】若，則，當時，，所以，又因函數(shù)是偶函數(shù)，所以所以當時，，故答案為：【考點題型十二】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例12】（23-24高一上·廣東深圳·期中）已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；(2)求集合M={m|使方程有兩個不相等的實根}.【答案】(1)答案見解析，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和(2)M={m|m>4或m=0}.【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性、分段函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）化簡函數(shù)的解析式，再畫出函數(shù)的圖象，即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，取最大值4，利用數(shù)形結(jié)合分析得解.【詳解】（1）當時，得或，，當時，得，，即.函數(shù)的圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和.（2）當時，，當時，取最大值4.由題意可知，函數(shù)與y=m的圖象有兩個不同的交點，故集合M={m|m>4或m=0}.【變式12-1】（23-24高一上·陜西商洛·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．

(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖像并根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【答案】(1)(2)圖象見解析，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，值域為.【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、畫出具體函數(shù)圖象、分段函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)先求出，再根據(jù)奇函數(shù)性性質(zhì)求出時的解析式，即可得答案.（2）根據(jù)函數(shù)解析式可作出函數(shù)圖象，由圖象可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及值域.【詳解】（1）由題意知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故；當時，，則時，，故，函數(shù)在上的解析式為.（2）畫出函數(shù)的圖像如圖：

由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，值域為.【變式12-2】（23-24高一上·天津）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（用開區(qū)間表示）【答案】【知識點】判斷二次函數(shù)的單調(diào)性和求解單調(diào)區(qū)間、分段函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)絕對值的符號分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】當時，，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.【考點題型十三】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例13】（24-25高一上·河南洛陽·期中）設(shè)若函數(shù)y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞增，需要滿足在每一段上函數(shù)都是單調(diào)遞增的，并且在分段點處左邊函數(shù)的最大值小于等于右邊函數(shù)的最小值.我們將分別分析兩段函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)分段點處的條件確定的取值范圍.【詳解】當時，.對于反比例函數(shù)（），當時，在各自區(qū)間上單調(diào)遞減.，要使在上單調(diào)遞增，則，解不等式得.

當時，，對于指數(shù)函數(shù)（且），當時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，解這個不等式得到.

在處，需要滿足，即，解得.

綜合以上三個條件，取交集得到實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式13-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)時的單調(diào)性可確定在上的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和分段處函數(shù)值大小關(guān)系可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】當時，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，解得：，實數(shù)的取值范圍為.故選：D.【變式13-2】（24-25高一上·甘肅金昌·期中）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】由分段函數(shù)的兩段均遞增，且臨界點左小右大（最多相等）列不等式組可得．【詳解】若使在上單調(diào)遞增，則；若使在上單調(diào)遞增，則.若使函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：，【考點題型十四】分段函數(shù)的值域或最值問題核心方法：圖象法【例14】（24-25高一上·天津·期中）給定函數(shù)，，用表示函數(shù)，中的較大者，即,，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【知識點】分段函數(shù)的值域或最值【分析】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．【詳解】令，解得或，作出函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖象可知，當時，取得最小值為．故選：C．【變式14-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若，記，則函數(shù)的最小值為（

）A．0 B．1 C．3 D．12【答案】C【知識點】函數(shù)圖象的應(yīng)用、分段函數(shù)的值域或最值【分析】利用新定義，將寫成分段函數(shù)，畫出圖象即可求出最小值.【詳解】則的圖象如下：∴當或時，有最小值3.故選：C.【變式14-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）定義運算，已知函數(shù)，則的最大值為.【答案】9【知識點】指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用、分段函數(shù)的值域或最值【分析】根據(jù)的含義及函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性可得分段函數(shù)的解析式及單調(diào)性，可得最大值.【詳解】由題意得，表示與的最小值，∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時，，∴當時，，當時，，∴，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴.故答案為：9.【考點題型十五】二次函數(shù)的最值問題（不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題）核心方法：配方法+圖象法【例15】（24-25高一上·貴州·期中）已知函數(shù)滿足.(1)求的解析式；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【知識點】已知f（g（x））求解析式、求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式【分析】（1）利用換元法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，則.（2）由（1）可知，則的圖象關(guān)于直線對稱.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.因為，，所以.故在上的值域是.【變式15-1】（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值【分析】利用配方法可得出函數(shù)的最小值.【詳解】因為，故.故選：A.【變式15-2】（24-25高一上·陜西漢中·期中）函數(shù)的值域是.【答案】【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值【分析】求出二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而可求最大值和最小值.【詳解】二次函數(shù)開口向上，對稱軸x=?1,所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以,因為比?2遠離對稱軸，所以,所以故答案為：【考點題型十六】二次函數(shù)的最值問題（含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題）核心方法：圖象法+分類討論【例16-1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)．(1)已知，若，求實數(shù)取值范圍；(2)求在上的最小值；(3)函數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)(3)3【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）由可得，即關(guān)于的不等式，求解即可；（2）得二次函數(shù)的對稱軸，然后分，，三種情況分類討論即可；（3）在（2）的基礎(chǔ)上分段討論函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）因為，，所以，所以，解得；故實數(shù)取值范圍為.（2）函數(shù)的對稱軸為，當，即時，在上單調(diào)遞增，故；當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；當，即時，在上單調(diào)遞減，故；綜上所述；（3）由（2）可知當時，在上單調(diào)遞增，此時的最大值為；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時的最大值為；當時，在上單調(diào)遞減，此時的最大值為；綜上所述的最大值為.【例16-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當時，，函數(shù)在軸左側(cè)的圖象如圖所示，請根據(jù)圖象；

(1)畫出在軸右側(cè)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)寫出函數(shù)的解析式；(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【答案】(1)圖象見解析，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為,(2)(3)【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、求二次函數(shù)的值域或最值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】（1）利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱作出圖象，由圖象得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)偶函數(shù)的定義求解析式；（3）用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論即可求得最小值．【詳解】（1）函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則函數(shù)圖象如圖所示，

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為,．（2）令，則，則，又因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，則，所以．（3）當x∈2,4時，，則，其對稱軸為，因為x∈2,4當，即時，，當，即時，，當，即時，，故．【變式16-1】（24-25高一上·河南洛陽·期中）已知函數(shù)(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)k的值；(2)若不等式的解集為，求實數(shù)k的值；(3)求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)(2)(3)【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、由奇偶性求參數(shù)、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）運用偶函數(shù)性質(zhì)得解；（2）運用韋達定理可解；（3）分類討論，結(jié)合圖像得到最值.【詳解】（1）∵函數(shù)是偶函數(shù)，，即整理解得（2）不等式的解集為，所以是方程得兩根，運用韋達定理，得到，解得（3）由于

①當即時，在上單調(diào)遞增，所以.②當即時，則③當即時，在上單調(diào)遞減，所以則.【變式16-2】（24-25高一上·廣東清遠·期中）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，(1)求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)(2)答案見解析【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、由奇偶性求參數(shù)、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，再利用條件，可求得，即可求解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而得到，令，將問題轉(zhuǎn)化成求的值域，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，又，，得到，所以，此時有，所以，，滿足題意，故實數(shù)，.（2）由（1）知，任取，則，因為，則，得到，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以時，，令，由，得到，對稱軸為，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，，當時，，①時，，②是，，綜上，當時，函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)的值域為.【考點題型十七】恒成立與能成立問題核心方法：判別法+變量分離法+基本不等式+對勾函數(shù)【例17-1】（24-25高一上·黑龍江·期中）已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)設(shè)，若對任意的，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)不等式恒成立問題、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義按照步驟進行證明即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上的最大值小于等于在上的最小值的問題，解不等式可得結(jié)論.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，因為，所以，，，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，，則問題轉(zhuǎn)化為，當時，恒成立又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為【例17-2】（24-25高一上·湖南邵陽·階段練習）設(shè)函數(shù).(1)若關(guān)于x的不等式有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式對于實數(shù)時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題【分析】（1）將給定的不等式等價轉(zhuǎn)化成，按與并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可；（2）將給定的不等式等價轉(zhuǎn)化成，根據(jù)給定條件借助一次函數(shù)的性質(zhì)即可作答.【詳解】（1）依題意，有實數(shù)解，即不等式有實數(shù)解，當時，有實數(shù)解，則符合題意，當時，取，則成立，即有實數(shù)解，于是符合題意，當時，二次函數(shù)的圖象開口向下，要有解，當且僅當，從而得，綜上，，所以實數(shù)a的取值范圍是.（2）不等式對于實數(shù)時恒成立，即，，顯然，函數(shù)在上遞增，從而得，即，解得，所以實數(shù)x的取值范圍是.【變式17-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定義域是的奇函數(shù)，當時，.(1)若，求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)若，不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、函數(shù)不等式恒成立問題、求函數(shù)值、由奇偶性求函數(shù)解析式【分析】（1）代入后求得，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)題意，考慮在上的單調(diào)性，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（3）利用函數(shù)的奇偶性求得當時，的解析式，再利用參變分離法與二次函數(shù)的最值性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）當，時，，則，又y=fx定義域是的奇函數(shù)，所以.（2）因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以此時只需考慮在上的單調(diào)性即可，因為當時，，其圖象開口向下，對稱軸為，所以，解得，即的取值范圍為.（3）因為不等式在區(qū)間上恒成立，所以此時只需考慮在0,+∞上的解析式即可，當，時，，當時，，則，又y=fx定義域是的奇函數(shù)，所以，因為不等式在區(qū)間上恒成立，所以，即在上恒成立，令，則，而，當且僅當時，等號成立，則，所以，即.【變式17-2】（24-25高一上·湖北·階段練習）設(shè)，其中，記．(1)若，求的值域；(2)若，記函數(shù)對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）作出函數(shù)的圖象，即可根據(jù)圖象求解，（2）求解在上的值域，進而根據(jù)與的子集關(guān)系，求解的范圍即可，（3）作出的圖象，對分類討論，求解的最值，即可根據(jù)分類討論得解.【詳解】（1）當時，在直角坐標系中，分別作出的圖象（左圖），進而可得的圖象（右圖），令，解得，故由圖可知：的值域為（2）函數(shù)，由于，，所以，故，當時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，故在取最大值，在取最小值故，當時，，在單調(diào)遞增，若對任意，總存在，使得成立，則在上的值域為的子集即可，故是的子集，故，解得，或者，解得綜上，所求的范圍為.（3）令，解得或，故的圖象如下：，即當時，此時在單調(diào)遞減，故只需要即可，即，解得，不符合題意，舍去，當時，，此時在上的最大值為，最小為只需要，，解得，當時，，此時在上的最大值為，只需要，且且，無解，綜上可得：【點睛】方法點睛：函數(shù)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．【考點題型十八】抽象函數(shù)綜合問題【例18】（24-25高一上·湖北·期中）函數(shù)的定義域為，且滿足對于任意，有，當時，.(1)證明：是偶函數(shù)；(2)如果，解不等式.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】（1）令，從而得到，即可證明；（2）通過賦值代換得，再證明其單調(diào)性，從而得到不等式組，解出即可.【詳解】（1）因?qū)Χx域內(nèi)的任意，有，令，則有，又令，得，再令，得，從而，于是有，所以是偶函數(shù).（2）由于，所以，于是不等式可化為，由（1）可知函數(shù)是偶函數(shù)，則不等式可化為，設(shè)，則，由于，所以，所以，所以，所以，所以在上是增函數(shù)，所以可得，解得，所以不等式的解集為.【變式18-1】（24-25高一上·重慶·期中）已知定義域在上的函數(shù)滿足：，且當時，.(1)求，的值；(2)證明是偶函數(shù)；(3)解不等式.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)【知識點】求函數(shù)值、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）令和計算即可；（2）令結(jié)合（1）的結(jié)論及偶函數(shù)的定義證明即可；（3）令，根據(jù)條件判定函數(shù)的單調(diào)性計算即可解不等式.【詳解】（1）令，則；令，則；（2）易知函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，令，則，滿足偶函數(shù)的定義，證畢；（3）令，易知，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，則，，即，即不等式的解集為.【變式18-2】（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）設(shè)函數(shù)滿足：①對任意實數(shù)都有；②對任意，都有恒成立；③不恒為0，且當時，.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并給出你的證明.(3)定義“若存在非零常數(shù)，使得對函數(shù)定義域中的任意一個，均有，則稱為以為周期的周期函數(shù)”.試證明：函數(shù)為周期函數(shù)，并求出的值.【答案】(1),(2)偶函數(shù)，證明見解析(3)【知識點】求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷證明抽象函數(shù)的周期性【分析】（1）令，得，令，得，從而得到，再令，確定出的范圍，從而得到；（2）令，結(jié)合，可得為偶函數(shù)；（3），得周期為2，再分別令，，可得，，從而得到，結(jié)合周期性，得到答案.【詳解】（1）由于不恒為0，故存在，使，令，則，所以，令，由，由令，得，所以得到，又令，，因為當時，，所以，所以，，故；（2）定義域為,令，得，因為，所以，所以為偶函數(shù)；（3）由，取，得，又為偶函數(shù)，則，即是以2為周期的周期函數(shù)；令，得，即，再令，得，即.而，解得，，由得，，所以，又由于是以2為周期的周期函數(shù)，所以【點睛】關(guān)鍵點點睛：求抽象函數(shù)的值，判斷抽象函數(shù)的奇偶性和周期性，利用賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值是一種常用的方法.【考點題型十九】函數(shù)基本性質(zhì)中的新定義問題【例19】（24-25高一上·湖北·期中）對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②當時，，則稱是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.(1)求證：是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”；(2)求證：函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；(3)已知函數(shù)有“優(yōu)美區(qū)間”，當取得最大值時，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)新定義【分析】（1）在區(qū)間0,4上單調(diào)遞增，又，滿足“優(yōu)美區(qū)間”的定義；（2）根據(jù)的定義域，可設(shè)或，由單調(diào)性得到，兩式相減，化簡得到，代入方程組，得到，原方程無解，故函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；（3）根據(jù)函數(shù)定義域得到或，分離常數(shù)得到hx在上單調(diào)遞增，故，是方程，即的兩個同號且不等的實數(shù)根，根據(jù)，求出或，由韋達定理得到兩根之和，兩根之積，求出，當時，取得最大值.【詳解】（1）在區(qū)間0,4上單調(diào)遞增，又，當時，，根據(jù)“優(yōu)美區(qū)間”的定義，0,4是的一個“優(yōu)美區(qū)間”；（2），設(shè)，可設(shè)或，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.若是的“優(yōu)美區(qū)間”，則兩式相減可得：，又，所以，即，代入方程組，得到，原方程無解.函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”.（3），設(shè).有“優(yōu)美區(qū)間”，或，在上單調(diào)遞增.若是函數(shù)hx的“優(yōu)美區(qū)間”，則，是方程，即（*）的兩個同號且不等的實數(shù)根.，或，由（*）式得.，或，當時，取得最大值..【點睛】方法點睛：新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.【變式19-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）若函數(shù)對任意的均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷下面函數(shù)①；②是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)全集為，函數(shù)，試判斷并證明函數(shù)是否具有性質(zhì)；(3)若函數(shù)具有性質(zhì)，且，求證：對任意，，均有.【答案】(1)函數(shù)①具有性質(zhì)；函數(shù)②不具有性質(zhì)(2)函數(shù)具有性質(zhì)，證明見解析(3)證明見解析【知識點】函數(shù)新定義【分析】（1）利用題中定義以及所給的函數(shù)，結(jié)合基本不等式，可以檢驗函數(shù)①是否具有性質(zhì)，代入特殊值，即可檢驗函數(shù)②是否具有性質(zhì)；（2）分別討論為有理數(shù)和無理數(shù)，根據(jù)題中所給的定義以及函數(shù)，檢驗計算，即可判斷；（3）利用反證法，結(jié)合所給的定義進行推理，即可證明．【詳解】（1）函數(shù)①，且，則，所以，故，所以函數(shù)①具有性質(zhì)；②不具有性質(zhì)，比如當時，，不滿足定義，故函數(shù)②不具有性質(zhì)；（2）函數(shù)具有性質(zhì)，理由如下：當為有理數(shù)時，，所以此時函數(shù)具有性質(zhì)；當為無理數(shù)時，，所以此時函數(shù)具有性質(zhì)，綜上所述，函數(shù)具有性質(zhì)；（3）證明：假設(shè)為，，，中第一個大于0的值，則，因為具有性質(zhì)，則，所以，則（1），這與，矛盾，故假設(shè)不成立，則原命題成立，所以對任意，均有．【變式19-2】（24-25高一上·山東青島·期中）對于區(qū)間，若函數(shù)同時滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)，②函數(shù)在的值域是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間.(1)求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間；(2)判斷函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間，并說明理由；(3)已知函數(shù)有“保值”區(qū)間，當取得最大值時求的值.【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析；(3)3.【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值、函數(shù)新定義【分析】（1）由函數(shù)最小值確定的范圍，再借助單調(diào)性建立方程，求出“保值”區(qū)間.（2）假定存在“保值”區(qū)間，借助單調(diào)性建立方程，判定方程解的情況即可.（3）由“保值”區(qū)間的定義建立方程，再利用韋達定理結(jié)合二次函數(shù)最值求解即得.【詳解】（1）函數(shù)在R上的值域為，令在的值域為，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，而，解得，所以函數(shù)的所有“保值”區(qū)間為.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，若是在的保值區(qū)間，則，是方程同號的兩個不等實根，由，得，，則方程無實根，所以函數(shù)不存在“保值”區(qū)間.（3）函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意，，是方程同號的兩個不等實根，即是關(guān)于的方程同號的兩個不等實根，，解得或，于是，，當且僅當時取等號，所以當取得最大值時，的值為3.提升訓練一、單選題1．（24-25高一上·天津南開·期中）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C．3 D．5【答案】A【知識點】求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并利用奇偶性求出函數(shù)值.【詳解】函數(shù)的定義域為R，令，定義域為，，即函數(shù)是奇函數(shù)，于是，，即，所以.故選：A2．（24-25高一上·寧夏銀川·期中）函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，且對任意都有則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、比較函數(shù)值的大小關(guān)系【分析】由函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)可得，然后利用的單調(diào)性可得答案.【詳解】因為函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，所以，因為對任意都有，即有在上單調(diào)遞減，所以，故選：D3．（24-25高一上·湖南·期中）已知函數(shù)，且對任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組，解出即可得.【詳解】由對任意，都有，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得.故選：D.4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函數(shù)，若在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)【分析】首先分析函數(shù)的單調(diào)性與取值特征，即可畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞減且，當時，所以在0,2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，則的圖象如下所示：因為在上的值域為0,4，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A5．（24-25高一上·黑龍江鶴崗·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】復雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域【分析】復合函數(shù)求值域，先令根號內(nèi)的函數(shù)為新函數(shù)，利用配方法得到函數(shù)值域，再由外函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而求出值域.【詳解】令，∵在上單調(diào)遞減，且當時，，∴.故選：A.6．（24-25高一上·天津北辰·期中）已知函數(shù)，其中為奇函數(shù)，若，則（

）A．2017 B．2018 C．2023 D．2022【答案】A【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】構(gòu)造，應(yīng)用奇偶性定義判斷奇偶性，再應(yīng)用奇偶性求.【詳解】令，則，又為奇函數(shù)，所以，即為奇函數(shù)，則，所以，又，所以.故選：A7．（24-25高一上·福建廈門·期中）若是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，且不等式對于一切恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用【分析】由題意可得在上單調(diào)遞增，不等式對于一切恒成立，可轉(zhuǎn)化為對于一切恒成立，設(shè)，求與即可.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.因為不等式對于一切恒成立，所以對于一切恒成立，所以對于一切恒成立，即對于一切恒成立.設(shè)，則.因為的開口向上，且，，所以.因為在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選:C.8．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，若正實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】易得在R上遞增，且是奇函數(shù)，再由，得到，然后利用“1”的代換，用基本不等式求解.【詳解】因為，所以在R上遞增，又，所以是奇函數(shù)，因為，所以，則，即，則，，當且僅當時，等號成立，所以的最小值是，故選：B二、多選題9．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知函數(shù)的定義域是，且，都有，當時，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．函數(shù)在上是減函數(shù)D．【答案】ABC【知識點】求函數(shù)值、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】采用賦值法可判斷AB的真假；證明函數(shù)在上的單調(diào)性，判斷C的真假，研究的值，判斷D的真假.【詳解】對A：令得：.故A正確；對B：由題意，故B正確；對C：設(shè)，則，因為，所以，即，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，故C正確；對D：因為，所以，故D錯誤.故選：ABC10．（24-25高一上·吉林·期中）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且，則（

）A．B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是偶函數(shù)D．的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】ACD【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、判斷或證明函數(shù)的對稱性、函數(shù)對稱性的應(yīng)用【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)和已知等式得出fx+2=?fx【詳解】因為，所以.因為是奇函數(shù)，所以f?x=?fx，則fx+2=?fx因為，即，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，則B錯誤.因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即是偶函數(shù)，則C正確.因為是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，因