2024年黑龍江哈爾濱市中考數(shù)學(xué)真題卷及答案解析

試題PAGE1試題2024年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共計30分）1．（3分）﹣的相反數(shù)為（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（3分）剪紙是我國最古老的民間藝術(shù)之一．下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2020年11月10日，中國萬米載人潛水器“奮斗者號”在馬里亞納海溝成功坐底，下潛深度達10909m．將10909用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.0909×104 B．10.909×103 C．109.09×102 D．0.10909×1054．（3分）三個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖是（）A． B． C． D．5．（3分）方程的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝16．（3分）二次函數(shù)y＝2（x+1）2+3的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．（3分）如圖，用棋子擺出一組形如正方形的圖形，按照這種方法擺下去，擺第5個圖形需要棋子（）A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，則FC的長為（）A．6 B．3 C．5 D．99．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN交BC于點D連接AD，若∠B＝50°，則∠DAC＝（）A．20° B．50° C．30° D．80°10．（3分）一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始5min內(nèi)只進水不出水，在隨后的10min內(nèi)既進水又出水，每分的進水量和出水量是兩個常數(shù)．容器內(nèi)的水量y（單位：L）與時間x（單位：min）之間的關(guān)系如圖所示，當(dāng)x＝9min時，y＝（）A．36L B．38L C．40L D．42L二、填空題（每小題3分，共計30分）11．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．12．（3分）把多項式2a2﹣18分解因式的結(jié)果是．13．（3分）如圖，AB是⊙O的切線，點A為切點，連接OA，OB，若∠OBA＝40°，則∠AOB＝度．14．（3分）一個不透明的袋子中裝有7個小球，其中6個紅球，1個黑球，這些小球除顏色外無其它差別．小峰同學(xué)從袋子中隨機摸出1個小球，則摸出的小球是紅球的概率是．15．（3分）已知蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則蓄電池的電壓U＝V．16．（3分）不等式組的解集是．17．（3分）若90°圓心角所對的弧長是3πcm，則此弧所在圓的半徑是．18．（3分）定義新運算：a※b＝ab+b2，則（2m）※m的運算結(jié)果是．19．（3分）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，則AC的長為．20．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長BC至點G，連接DG，∠CDG＝∠AOB，點E為DG的中點，連接OE交CD于點F，若AO＝6EF，DE＝，則DF的長為．三、解答題（其中21～22題各7分，23～24題各8分，25～27題各10分，共計60分）21．（7分）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．22．（7分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB的端點均在小正方形的頂點上．（1）在方格紙中將線段AB先向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到線段CD（點A的對應(yīng)點為點C，點B的對應(yīng)點為點D），連接AD，BC，畫出線段CD，AD，BC；（2）在方格紙中，畫出以線段AD為斜邊的等腰直角三角形AED（點E在小正方形的頂點上），且∠BAE為鈍角，AD，BC交于點O，連接OE，畫出線段OE，直接寫出的值．23．（8分）威杰中學(xué)開展以“我最喜歡的研學(xué)地點”為主題的調(diào)查活動，圍繞“在科技館、規(guī)劃館、博物館、航天館四個研學(xué)地點中，你最喜歡哪一個地點？（必選且只選一個地點）”的問題，在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖，其中最喜歡航天館的學(xué)生人數(shù)占所調(diào)查人數(shù)的20%，請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？（2）通過計算補全條形統(tǒng)計圖；（3）若威杰中學(xué)共有800名學(xué)生，請你估計該中學(xué)最喜歡科技館的學(xué)生共有多少名．24．（8分）四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖2，AB＝AC，CH⊥AD于點H，交BD于點E，連接AE，點G在AB上，連接EG交AC于點F，若∠FEC＝75°，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出四條與線段CE相等的線段（線段CE除外）．25．（10分）春浩中學(xué)在校本課程的實施過程中，計劃組織學(xué)生編織大、小兩種中國結(jié)．若編織2個大號中國結(jié)和4個小號中國結(jié)需用繩20米；若編織1個大號中國結(jié)和3個小號中國結(jié)需用繩13米．（1）求編織1個大號中國結(jié)和1個小號中國結(jié)各需用繩多少米；（2）春浩中學(xué)決定編織以上兩種中國結(jié)共50個，這兩種中國結(jié)所用繩長不超過165米，那么該中學(xué)最多編織多少個大號中國結(jié)？26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于點E，AE＝CE，連接AC，BD．（1）如圖1，求證：AC∥BD；（2）如圖2，連接EO并延長交BD于點F，求證：∠BEF＝∠DEF；（3）如圖3，在（2）的條件下，作OM⊥CD于點M，連接AD，點G在BF上，連接EG，點H在弧AD上，連接BH交AD于點T，交EG于點Q，連接TE，若DE﹣CM＝OE，＝，∠DGE＝2∠BAD，F(xiàn)G＝2，AC＝8，求TQ的長．27．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點O（0，0），與x軸正半軸交于點A，點A坐標(biāo)（3，0）．（1）求b．c的值；（2）如圖1，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接PA，PO，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△AOP的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，t＝﹣2，點D在OA上，DF⊥OA，交PA于點C，CF＝CD，點E在第二象限，連接EC，EC⊥CD，連接ED，過點E作ED的垂線，交過點F且平行AC的直線于點G，連接DG交AC于點M，過點A作x軸的垂線，交EC的延長線于點B，交DG的延長線于點R，CM＝RB，連接RE并延長交拋物線于點N，RA＝RN，點T在△ADM內(nèi)，連接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延長線于點H，HT＝2DH，求直線CT的解析式．

2024年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共計30分）1．（3分）﹣的相反數(shù)為（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根據(jù)符號不同，絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)即可求得答案．【解答】解：﹣的相反數(shù)是．故選：B．【點評】本題考查了相反數(shù)的概念，掌握只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．2．（3分）剪紙是我國最古老的民間藝術(shù)之一．下列剪紙圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A．圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B．圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形形，故此選項符合題意，故選：D．【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．3．（3分）2020年11月10日，中國萬米載人潛水器“奮斗者號”在馬里亞納海溝成功坐底，下潛深度達10909m．將10909用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.0909×104 B．10.909×103 C．109.09×102 D．0.10909×105【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：10909用科學(xué)記數(shù)法可以表示：1.0909×104．故選：A．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）三個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【解答】解：從左邊看，是一列兩個相鄰的正方形．故選：D．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．5．（3分）方程的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝1【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．【解答】解：原方程去分母得：x+2＝3（x﹣4），整理得：x+2＝3x﹣12，解得：x＝7，檢驗：當(dāng)x＝7時，（x+2）（x﹣4）≠0，故原方程的解為x＝7，故選：C．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．6．（3分）二次函數(shù)y＝2（x+1）2+3的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】依據(jù)題意，由y＝2（x+1）2+3，從而可以判斷得解．【解答】解：由題意，∵y＝2（x+1）2+3，∴當(dāng)x＝﹣1時，y取最小值為3．故選：D．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的最值，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．7．（3分）如圖，用棋子擺出一組形如正方形的圖形，按照這種方法擺下去，擺第5個圖形需要棋子（）A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚【分析】根據(jù)題意得第1，2，3個圖形中棋子的個數(shù)，據(jù)此得到其余圖形中棋子的總數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系即可．【解答】解：第1個圖棋子個數(shù)為4；第2個圖棋子個數(shù)為2×4＝8；第3個圖棋子個數(shù)為3×4＝12；因此：第四個圖的棋子個數(shù)為4×4＝16；第五個圖棋子個數(shù)為5×4＝20．故選：B．【點評】本題考查圖形的變化規(guī)律；找到棋子總數(shù)與正方形的邊數(shù)4及每邊上的棋子的個數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，則FC的長為（）A．6 B．3 C．5 D．9【分析】根據(jù)平行線分線段成比例即可解答．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，∴AD∥EF∥BC，∴，即，解得FC＝6，故選：A．【點評】本題考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN交BC于點D連接AD，若∠B＝50°，則∠DAC＝（）A．20° B．50° C．30° D．80°【分析】由題意，得到DM是線段AB的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)，得到DA＝DB，得到等腰三角形DAB的兩底角相等，再利用等腰三角形ABC得到∠C的度數(shù)，從而得到結(jié)果．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN交BC于點D連接AD，∴DM是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝50°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣50°＝30°．故選：C．【點評】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是由題意得到DM是線段AB的垂直平分線，從而得到等腰三角形，利用等邊對等角，結(jié)合條件，得到結(jié)果．10．（3分）一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始5min內(nèi)只進水不出水，在隨后的10min內(nèi)既進水又出水，每分的進水量和出水量是兩個常數(shù)．容器內(nèi)的水量y（單位：L）與時間x（單位：min）之間的關(guān)系如圖所示，當(dāng)x＝9min時，y＝（）A．36L B．38L C．40L D．42L【分析】依據(jù)題意，先求出5≤x≤15時的函數(shù)關(guān)系式，然后將x＝9代入計算可以得解．【解答】解：設(shè)當(dāng)5≤x≤15時的直線方程為：y＝kx+b（k≠0）．∵圖象過（5，30）、（15，50），∴．∴．∴y＝2x+20．令x＝9，∴y＝2×9+20＝38．故選：B．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共計30分）11．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x≠5．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)分母不為0求解即可．【解答】解：∵y＝，∴x﹣5≠0，故答案為：x≠5．【點評】本題考查了反比例函數(shù)自變量x的取值范圍，掌握分母不為0是解題的關(guān)鍵．12．（3分）把多項式2a2﹣18分解因式的結(jié)果是2（a+3）（a﹣3）．【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3），故答案為：2（a+3）（a﹣3）．【點評】本題考查提公因式法及公式法因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，AB是⊙O的切線，點A為切點，連接OA，OB，若∠OBA＝40°，則∠AOB＝50度．【分析】由直線l是圓O的切線，切點是點A，且點B在直線l上得AB⊥OA，則∠OAB＝90°，而∠OBA＝40°，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求出∠AOB的度數(shù)，得到問題的答案．【解答】解：∵直線l是圓O的切線，切點是點A，且點B在直線l上，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵∠OBA＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．【點評】此題考查圓的切線的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余等知識，根據(jù)切線的性質(zhì)定理證明AB⊥OA是解題的關(guān)鍵．14．（3分）一個不透明的袋子中裝有7個小球，其中6個紅球，1個黑球，這些小球除顏色外無其它差別．小峰同學(xué)從袋子中隨機摸出1個小球，則摸出的小球是紅球的概率是．【分析】從袋中任意摸出一個球，共有7種等可能結(jié)果，其中是紅球的有6種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：∵從袋中任意摸出一個球，共有7種等可能結(jié)果，其中是紅球的有6種結(jié)果，∴從袋中任意摸出一個球，是紅球的概率為，故答案為：．【點評】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．15．（3分）已知蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則蓄電池的電壓U＝36V．【分析】根據(jù)題意，先列出反比例函數(shù)解析式I＝，根據(jù)函數(shù)圖象過（9，4）代入計算出U值即可．【解答】解：∵電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，∴I＝．由圖象可知，當(dāng)R＝9時，I＝4，∴U＝I?R＝4×9＝36（v）．答：蓄電池的電壓是36v．故答案為：36．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運用反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．16．（3分）不等式組的解集是1＜x＜3．【分析】依據(jù)題意，根據(jù)解不等式組的一般方法，先分別解出不等式的解集再找出公共部分，從而可以判斷得解．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x＜3，∴原不等式組的解集為：1＜x＜3．故答案為：1＜x＜3．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題時要熟練掌握并能準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵．17．（3分）若90°圓心角所對的弧長是3πcm，則此弧所在圓的半徑是6cm．【分析】根據(jù)弧長公式求解即可．【解答】解：∵l＝，∴r＝＝＝6（cm），故答案為：6cm．【點評】本題考查了弧長的計算，解答本題的關(guān)鍵是掌握弧長公式：l＝．18．（3分）定義新運算：a※b＝ab+b2，則（2m）※m的運算結(jié)果是3m2．【分析】根據(jù)新定義運算法則：（2m）※m＝2m?m+m2，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則以及合并同類項法則計算即可．【解答】解：∵a※b＝ab+b2，∴（2m）※m＝2m?m+m2＝2m2+m2＝3m2．故答案為：3m2．【點評】本題考查了整式的混合運算以及有理數(shù)的混合運算，掌握新定義運算的法則是解題的關(guān)鍵．19．（3分）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，則AC的長為2或．【分析】分若∠A＝90°，若∠C＝90°求解即可．【解答】解：若∠A＝90°，則AC＝＝2；若∠C＝90°，則AC＝AB＝．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是分類討論．20．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長BC至點G，連接DG，∠CDG＝∠AOB，點E為DG的中點，連接OE交CD于點F，若AO＝6EF，DE＝，則DF的長為．【分析】連接CE，設(shè)EF＝x，證△DOE∽△CEG，得出成比例線段，求出EF，即可．【解答】解：連接CE，設(shè)EF＝x，在矩形ABCD中，OA＝OC＝OD＝OB，則∠OBC＝∠OCB，∠AOB＝∠COD＝∠OBC+∠OCB＝2∠DBC，∵E是DG中點，∴OE∥BC，∴∠DOE＝∠DBC＝，EF＝，∠G＝∠OED，∵∠DCG＝90°，∴DE＝CE＝EG，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠CEG＝∠EDC+∠ECD，∵∠CDG＝∠AOB，∴，∴∠CEG＝∠DOE，∴△DOE∽△CEG，∴，∵AO＝6EF＝OD，DE＝，∴，∴EF＝1，∴．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造相似三角形是關(guān)鍵．三、解答題（其中21～22題各7分，23～24題各8分，25～27題各10分，共計60分）21．（7分）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．【分析】依據(jù)題意，先化簡分式，然后化簡x后代入計算可以得解．【解答】解：由題意，原式＝?﹣?＝﹣＝＝＝．又x＝2cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1，∴原式＝＝．【點評】本題主要考查了分式的化簡求值、特殊角的三角函數(shù)值，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．22．（7分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB的端點均在小正方形的頂點上．（1）在方格紙中將線段AB先向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到線段CD（點A的對應(yīng)點為點C，點B的對應(yīng)點為點D），連接AD，BC，畫出線段CD，AD，BC；（2）在方格紙中，畫出以線段AD為斜邊的等腰直角三角形AED（點E在小正方形的頂點上），且∠BAE為鈍角，AD，BC交于點O，連接OE，畫出線段OE，直接寫出的值．【分析】（1）在圖形中直接作圖即可；（2）每個小正方形的邊長均為1個單位長度，結(jié)合平移，得到相應(yīng)線段的長度，從而得到結(jié)果．【解答】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示：得到．∵每個小正方形的邊長均為1個單位長度，∴等腰直角三角形EAD中，AD＝＝，∵O是平行四邊形ABDC對角線的交點，∴DO＝，在Rt△EOD中，ED＝＝，∴EO＝＝＝＝，∴．【點評】本題考查了平移變換，畫圖，涉及到平行四邊形，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用小正方形格子的邊長，求出OE，AD的長度，得到結(jié)果．23．（8分）威杰中學(xué)開展以“我最喜歡的研學(xué)地點”為主題的調(diào)查活動，圍繞“在科技館、規(guī)劃館、博物館、航天館四個研學(xué)地點中，你最喜歡哪一個地點？（必選且只選一個地點）”的問題，在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖，其中最喜歡航天館的學(xué)生人數(shù)占所調(diào)查人數(shù)的20%，請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？（2）通過計算補全條形統(tǒng)計圖；（3）若威杰中學(xué)共有800名學(xué)生，請你估計該中學(xué)最喜歡科技館的學(xué)生共有多少名．【分析】（1）根據(jù)最喜歡航天館的學(xué)生人數(shù)除以所占的百分比，即可求出調(diào)查總?cè)藬?shù)；（2）用總?cè)藬?shù)減去其它三個地點的人數(shù)，求出喜歡規(guī)劃館的人數(shù)，即可求出答案；（3）用全?？倢W(xué)生數(shù)乘樣本中最喜歡科技館的學(xué)生所占的百分比，即可求出答案．【解答】解：（1）8÷20%＝40（名），答：在這次調(diào)查中，一共抽取了40名學(xué)生；（2）喜歡規(guī)劃館的人數(shù)為：40﹣14﹣10﹣8＝8（名），補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）800×＝280（名），答：估計該中學(xué)最喜歡科技館的學(xué)生共有280名．【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖以及用樣本估計總體，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．24．（8分）四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如圖2，AB＝AC，CH⊥AD于點H，交BD于點E，連接AE，點G在AB上，連接EG交AC于點F，若∠FEC＝75°，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出四條與線段CE相等的線段（線段CE除外）．【分析】（1）利用菱形的判定定理解答即可；（2）利用菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理和等腰直角三角形的判定定理解答即可．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，在△ADO和△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：與線段CE相等的線段有：AE，DE，AG，CF．理由：由（1）知：四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC和△ADC為等邊三角形，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，即CH為AD的垂直平分線，∴AE＝DE．同理：CE＝AE，∴AE＝DE＝EC．∵△ADC為等邊三角形，CH⊥AD，∴∠ACH＝∠ACD＝30°，∵∠FEC＝75°，∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，∴∠EFC＝∠FEC，∴CF＝CE．∵△ABC和△ADC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，∵CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120°，∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，∴△AGE為等腰直角三角形，∴AE＝AG，∴AG＝EC．【點評】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全是三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（10分）春浩中學(xué)在校本課程的實施過程中，計劃組織學(xué)生編織大、小兩種中國結(jié)．若編織2個大號中國結(jié)和4個小號中國結(jié)需用繩20米；若編織1個大號中國結(jié)和3個小號中國結(jié)需用繩13米．（1）求編織1個大號中國結(jié)和1個小號中國結(jié)各需用繩多少米；（2）春浩中學(xué)決定編織以上兩種中國結(jié)共50個，這兩種中國結(jié)所用繩長不超過165米，那么該中學(xué)最多編織多少個大號中國結(jié)？【分析】（1）設(shè)編織1個大號中國結(jié)需用繩x米，編織1個小號中國結(jié)需用繩y米，根據(jù)若編織2個大號中國結(jié)和4個小號中國結(jié)需用繩20米；若編織1個大號中國結(jié)和3個小號中國結(jié)需用繩13米．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）該中學(xué)編織m個大號中國結(jié)，則編織（50﹣m）個小號中國結(jié)，根據(jù)兩種中國結(jié)所用繩長不超過165米，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)編織1個大號中國結(jié)需用繩x米，編織1個小號中國結(jié)需用繩y米，由題意得：，解得：，答：編織1個大號中國結(jié)需用繩4米，編織1個小號中國結(jié)需用繩3米；（2）該中學(xué)編織m個大號中國結(jié)，則編織（50﹣m）個小號中國結(jié)，由題意得：4m+3（50﹣m）≤165，解得：m≤15，答：該中學(xué)最多編織15個大號中國結(jié)．【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于點E，AE＝CE，連接AC，BD．（1）如圖1，求證：AC∥BD；（2）如圖2，連接EO并延長交BD于點F，求證：∠BEF＝∠DEF；（3）如圖3，在（2）的條件下，作OM⊥CD于點M，連接AD，點G在BF上，連接EG，點H在弧AD上，連接BH交AD于點T，交EG于點Q，連接TE，若DE﹣CM＝OE，＝，∠DGE＝2∠BAD，F(xiàn)G＝2，AC＝8，求TQ的長．【分析】（1）可得出∠A＝∠C，∠C＝∠B，從而∠A＝∠B，從而AC∥BD；（2）連接OD，OB，可證得△DOE≌△BOE，從而得出∠BEF＝∠DEF；（3）作AD的垂直平分線，交AB于W，連接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，可得出AW＝DW，∠DEF＝30°，△BED是等邊三角形，進而證得△BDW≌△BEG，從而得出DW＝EG，BW＝DG，EW＝BG，同理可得，△ACE是等邊三角形，AE＝AC＝8，設(shè)EW＝BG＝a，則AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，BE＝BD＝2BF＝2a+4，EF＝BE＝（a+2），根據(jù)DW＝AW得，3（a+2）2+4＝（a+8）2，從而求得a＝8，從而得出BD＝2a+4＝16，可證得點E、T、D、B共圓，從而得出∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠AET＝∠ADB，∠ATE＝∠EBD＝60°，可證得△AHT≌△AET，∠HAT＝∠EAT，進而證得△ADH≌△ADE，從而得出DH＝DE＝BD＝16，解△BDC得出tan∠BCD＝＝，sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，解△BQG，可求得QG＝6，進而證得△ATE≌△QTE，從而得出AT＝QT，解△ATE得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵AE＝CE，∴∠A＝∠C，∵，∴∠C＝∠B，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD；（2）證明：如圖1，連接OD，OB，由（1）知，AC∥BD，∠C＝∠EBD，∴∠EDB＝∠C＝∠EBD，∴DE＝BE，∵OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠BEF＝∠DEF；（3）解：如圖2，作AD的垂直平分線，交AB于W，連接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，∴AW＝DW，∴∠BAD＝∠ADW，∴∠BWD＝∠BAD+∠ADW＝2∠BAD，∵∠DGE＝2∠BAD，∴∠DWB＝∠DGE，∵OM⊥CD，∴DM＝CM，∵DE﹣CM＝OE，∴DE﹣CM＝DE﹣DM＝EM＝OE，∴∠DEF＝30°，由（2）知，∠BEF＝∠DEF＝30°，DE＝BE，∴∠DEB＝60°，∴△BED是等邊三角形，∴DE＝BD，∠BDE＝∠EBD＝60°，∴△BDW≌△BEG（AAS），∴DW＝EG，BW＝DG，∴EW＝BG，同理可得，△ACE是等邊三角形，∴AE＝AC＝8，設(shè)EW＝BG＝a，則AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，∴BE＝BD＝2BF＝2a+4，∴EF＝BE＝（a+2），∴DW2＝EG2＝EF2+FG2＝3（a+2）2+4，由DW＝AW得，3（a+2）2+4＝（a+8）2，∴a1＝6，a2＝﹣4（舍去），∴BD＝2a+4＝16，∵，∴∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，∴點E、T、D、B共圓，∴∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠AET＝∠ADB，∠ATE＝∠EBD＝60°，∵，∴∠ADB＝∠AHB，∴∠AHB＝∠AET，∵∠ATH＝∠BTD＝60°，∴∠ATH＝∠ATE，∵AT＝AT，∴△AHT≌△AET（AAS），∴∠HAT＝∠EAT，∵AD＝AD，∴△ADH≌△ADE（ASA），∴DH＝DE＝BD＝16，在Rt△BDV中，BD＝16，∠BDE＝60°，∴DV＝16?cos60°＝8，BV＝16?sin60°＝8，∴CV＝CD﹣DV＝24﹣8＝16，∴tan∠BCD＝＝，∴sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，在Rt△EFG中，tan∠EGF＝，設(shè)QS＝4m，SG＝m，則BS＝BG+SG＝6+m，QG＝，在Rt△QBS中，tan∠DBH＝tan∠BHD＝tan∠BCD＝，∴，∴m＝，∴QG＝7m＝6，∴BG＝QG＝6，∴∠DBH＝∠BQG，∵∠EQT＝∠BQG，∠DBH＝∠BHD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠EQT，∵∠ATE＝∠BTE＝60°，ET＝ET，∴△ATE≌△QTE（ASA），∴AT＝QT，在Rt△AEN中，EN＝AE?sin∠BAD＝8×＝，AN＝AE?cos∠BAD＝8×＝，在Rt△ETN中，EN＝，∠TEN＝90°﹣∠ATE＝30°，∴NT＝＝，∴QT＝AT＝AN+NT＝．【點評】本題考查了圓周角定理，圓的弧、弦、圓周角之間的關(guān)系，確定圓的條件，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．27．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點O（0，0），與x軸正半軸交于點A，點A坐標(biāo)（3，0）．（1）求b．c的值；（2）如圖1，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接PA，PO，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△AOP的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，t＝﹣2，點D在OA上，DF⊥OA，交PA于點C，CF＝CD，點E在第二象限，連接EC，EC⊥CD，連接ED，過點E作ED的垂線，交過點F且平行AC的直線于點G，連接DG交AC于點M，過點A作x軸的垂線，交EC的延長線于點B，交DG的延長線于點R，CM＝RB，連接RE并延長交拋物線于點N，RA＝RN，點T在△ADM內(nèi)，連接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延長線于點H，HT＝2DH，求直線CT的解析式．【分析】（1）將點O和點A坐標(biāo)代入拋物線的解析式，進而求得結(jié)果；（2）OA＝3，表示出處P點縱坐標(biāo)，進而得出結(jié)果；（3）作PJ⊥x軸于J，連接BF，連接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x軸于S，延長BE，交SN于Q，可得出∠PAJ＝45°，進而得出△ACD是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，可推出點F、G、B共線，進而得出點G、E、D、B共圓，進而推出△DEG是等腰直角三角形，可證得△EGV≌△DEG，從而得出EV＝CD，CE＝GV，設(shè)CM＝x，WI＝a，從而得出WM＝CW＝x，RB＝3x，根據(jù)△MWI∽△RBI，可得出＝，從而得出BI＝3WI＝3a，從而表示出AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a，根據(jù)△RBI∽△RAD得出，即得出，從而得出x＝2a，從而得出正方形的邊長BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a，根據(jù)△GFD∽△GBR得出，從而BG＝BF＝2，進而得出GV＝BV＝BG＝2a，CE＝GV＝2a，BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a，ER＝，進而得出CE＝EN＝2a，作IK⊥RN于K，根據(jù)S△RBE＝S△RBI+S△RIE得，從而得出IK＝3a，從而得出∠NRD＝∠ARD，進而證得△ARD≌△NRD（SAS），從而得出∠RND＝∠RAD＝90°，進而證得Rt△DCE≌Rt△DNE，從而DN＝CD＝6a，根據(jù)△EQN∽△NEO得出，從而得出NS＝3EQ，QN＝DS，設(shè)N（x，y），可得出NS＝3（3﹣8a﹣x），NQ＝（3﹣6a﹣x），進而得出3（3﹣8a﹣x）+（3﹣6a﹣x）＝6a，從而x＝3﹣，y＝NS＝3（3﹣8a﹣x）＝a，進而得出a，求得a＝，進而得出C（，）；延長DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，設(shè)CT交x軸于Y，可推出DH＝HZ，設(shè)HZ＝DH＝m，則XH＝DH＝2m，DZ＝DH＝，可證得△ADZ≌△CDX，從而CX＝DZ＝，DL＝XL＝，CL＝CX+XL＝＝，根據(jù)tan∠DCL＝＝得出DY＝，從而得出Y（2，0），進一步得出結(jié)果．【解答】解：（1）將點O（0，0）和點A（3，0）代入拋物線y＝x2+bx+c得，，∴，∴；（2）S＝y(tǒng)P＝＝；（3）如圖1，作PJ⊥x軸于J，連接BF，連接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x軸于S，延長BE，交SN于Q，則∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，把t＝﹣2代入y＝得，y＝，∵AJ＝3