吉林省長春市新區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試卷

吉林省長春市新區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若使二次根式x-2在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x>2 C．x<2 D．x≤22．用配方法解方程x2A．(x+3)2=7 B．(x-3)2=73．如圖，直線a//b//c，直線m、n分別與直線a、b、c相交于點A、B、C和點D、E、F，若AB=2，BC=3，DE=3，則EF=（）A．103 B．152 C．4 4．如圖，在綜合實踐活動中，小明在學校門口的點C處測得樹的頂端A仰角為37°，同時測得BC=20米，則樹的高AB(單位：米)為（）A．20tan37° B．20tan37° C．205．a(chǎn)是方程x2+x-1=0的一個根，則代數(shù)式A．2019 B．2021 C．2022 D．20236．已知點(-4，y1)、(-1，y2)、(2，y3)A．y1>y2>y3 B．7．在△ACB中，∠ABC=90°，用直尺和圓規(guī)在AC上確定點D，使△BAD∽△CBD，根據(jù)作圖痕跡判斷，正確的是（）A． B．C． D．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，DE：CE=2：3，連結AE，BD交于點F，若△DEF的面積為4，則四邊形CEFB的面積等于（）A．50 B．35 C．31 D．20二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9．如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，若DF：AC=1：3，則OE：OB=．10．如果關于x的一元二次方程x2+2x+m=0有兩個同號實數(shù)根，則m的取值范圍是11．將拋物線y=-x2向右平移2個單位所得函數(shù)解析式為12．二次函數(shù)y=x2-x-2的圖象如圖所示，則函數(shù)值y≥0時，x13．攔水壩橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1：3，壩高BC=10m，則坡面AB的長度是14．如圖，同學們在操場上玩跳大繩游戲，繩甩到最高處時的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名同學拿繩的手的間距為6米，到地面的距離AO與BD均為0.9米，繩子甩到最高點C處時，最高點距地面的垂直距離為1.8米.身高為1.4米的小吉站在距點O水平距離為m米處，若他能夠正常跳大繩(繩子甩到最高時超過他的頭頂)，則m的取值范圍是．三、解答題：本題共10小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．計算：2cos30°-tan60°+sin45°cos45°．16．2023年第19屆亞運會在杭州舉辦.小蔡作為亞運會的志愿者“小青荷”為大家提供咨詢服務.現(xiàn)有如圖所示“杭州亞運會吉祥物”的三盒盲盒供小蔡選擇，分別記為A，B，C.小蔡從中隨機抽取兩盒.請用列表或畫樹狀圖的方法，求小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是A和C的概率．17．每當秋冬季節(jié)交替的時間，感冒藥品的銷量就會大幅增長，藥店利潤也有所提高，某藥店九月份的銷售利潤是5000元，而十一月份的銷售利潤為11250元，求該藥店利潤平均每月的增長率．18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB=6，BC=10，求BD的長．19．圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，畫出△ABC中BC邊上的中線AD．（2）在圖②中，在AC邊上找到一點E，連結BE，使S△ABE：S△BCE=2（3）在圖③中，在AB邊上找到一點F，連結CF，使tan∠ACF=20．下表是某廠質檢部門對該廠生產(chǎn)的一批排球質量檢測的情況．抽取的排球數(shù)描取格品數(shù)5001000150020003000合格品數(shù)4719461425b2853合格品頻率a0.9460.9500.9490.951（1）求出表中a=，b=．（2）從這批排球中任意抽取一個，是合格品的概率約是.(精確到0.01)（3）如果生產(chǎn)25000個排球，那么估計該廠生產(chǎn)的排球合格的有多少個？21．已知，拋物線y=x2+2x-3與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A（1）直接寫出A、B、C三點的坐標；（2）當-3≤x≤2時，求y的最大值與最小值之差．22．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第77頁的部分內容．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB與AC的中點，根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE//BC，且DE=12BC．

對此，我們可以用演繹推理給出證明.(無需證明（1）【感知】如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，AD、CE是Rt△ABC的中線，M、N分別是AD和CE的中點，求MN的長；（2）【應用】如圖②，在Rt△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，連接DE，將△ADE繞點A逆時針旋轉一定的角度α(0°<α<∠BAC)，連接BD、CE，若ABBC=12（3）【拓展】如圖③，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動點(點D在點C右側)，連接AD，把線段CD繞點D逆時針旋轉120°得到線段DE，連接BE，F(xiàn)是BE中點，連接DF、CF，若AB=8，CF=12CD，則23．如圖，在?ABCD中，AD=10，AB=8，BD⊥AB.點P從點A出發(fā)，沿折線AB-BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動(點P不與點A、B、C重合).在點P的運動過程中，過點P作AB所在直線的垂線，交邊AD或邊CD于點Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且QM=4，MN與BD在PQ的同側.設點P的運動時間為t(秒)．（1）tanA的值為．（2）直接寫出線段BP的長.(用含t的代數(shù)式表示)（3）當△BDQ的面積等于6時，求t的值．（4）連接BQ，當BQ將矩形PQMN分成的兩部分的面積比為1：7時，直接寫出t的值．24．如圖①，在平面直角坐標系內，拋物線與x軸交于O、B兩點，與直線y=13x交于O、C兩點，且拋物線的頂點A（1）直接寫出點B的坐標；△AOB的形狀為：；（2）求拋物線的解析式；（3）如圖②，點T(t，0)是線段OB上的一個動點，過點T作y軸的平行線交直線y=13x于點D，交拋物線于點E，以DE為一邊，在DE的右側作矩形DEFG，且DG=2．

①當矩形DEFG的面積隨著t的增大而增大時，求t的取值范圍；

②當矩形DEFG與△AOB

答案解析部分1．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式進行計算即可得解．

【解答】根據(jù)題意得，x-2≥0，

解得x≥2．

故答案為：x≥2．故選A

【點評】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．2．【答案】C【解析】【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，∴x2﹣6x＝﹣7，則x2﹣6x+9＝﹣7+9，即（x﹣3）2＝2，故答案為：C．【分析】配方法的一般步驟：移項，化二次項系數(shù)為1，配方，寫成標準形式，據(jù)此求解。3．【答案】D【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，∴AB：BC＝DE：EF，∵AB＝2，BC＝3，DE＝3，∴2：3＝3：EF，∴EF＝9故答案為：D．

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式求解即可。4．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，在直角△ABC中，∠B＝90°，∠C＝37°，BC＝20m，∴tanC＝則AB＝BC?tanC＝20tan37°．故答案為：A．

【分析】仰角的正切等于對邊與鄰邊的比值，據(jù)此求解。5．【答案】A【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x+1＝0的一個根，∴a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴2021﹣2a2﹣2a＝2021﹣2（a2+a）＝2021﹣2×1＝2019．故答案為：A．

【分析】把x=a代入方程，整理得a2+a＝1，把代數(shù)式變形為2021﹣2（a2+a），然后整體代入計算即可。6．【答案】C【解析】【解答】解：∵y＝﹣x2+5，∴函數(shù)圖象的對稱軸是y軸，圖象的開口向下，∴當x＜0時，y隨x的增大而增大，∵點（2，y3）關于對稱軸的對稱點的坐標是（﹣2，y3），且﹣4＜﹣2＜﹣1，∴y2＞y3＞y1，故答案為：C．

【分析】先確定對稱軸是y軸，圖象的開口向下，再求出點（2，y3）關于對稱軸的對稱點的坐標是（﹣2，y3），根據(jù)當x＜0時，y隨x的增大而增大求解即可。7．【答案】C【解析】【解答】解：當BD是AC的垂線時，△BAD∽△CBD.∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，∴∠A=∠CBD，∴△BAD∽△CBD.根據(jù)作圖痕跡可知，A選項中，BD是∠ABC的角平分線，不與AC垂直，不符合題意；B選項中，BD是AC邊的中線，不與AC垂直，不符合題意；C選項中，BD是AC的垂線，符合題意；D選項中，BD不與AC垂直，不符合題意.

故答案為：C.【分析】根據(jù)作圖痕跡可知，A中，BD為∠ABC的角平分線，構成的△BAD與△CBD不相似；B中，BD為AC邊的中線，構成的△BAD與△CBD不相似；C中，BD是AC的垂線，△BAD與△CBD相似，符合題意；D中，AB=BD，構成的△BAD與△CBD不相似.8．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，CD＝AB．∴△DFE∽△BFA，∴S△DEF：S△BAF＝DE2：AB2，EFAF∵DE：EC＝2：3，∴DE：DC＝DE：AB＝2：5，∴S△DEF：S△ABF＝4：25，∵△DEF的面積為4，∴S△ABF＝25，∵△DEF和△ADF的高相等，且EFAF∴S△ADF＝5∴S△ABD＝S△BAF+S△ADF＝25+10＝35，∴S△BCD＝35，∴四邊形EFBC的面積＝S△BCD﹣S△DEF＝35﹣4＝31，故答案為：C．

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質證明△DFE∽△BFA，根據(jù)相似三角形的性質，結合等高三角形的面積與底邊的關系求解即可。9．【答案】1：3【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，若DF：AC＝1：3，∴△ABC∽△DEF，EF∥BC，∴EF：BC＝DF：AC＝1：3，∴OE：OB＝EF：BC＝1：3，故答案為：1：3．【分析】利用位似三角形的性質可得△ABC∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質求解即可。10．【答案】0<m≤1【解析】【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝22﹣4m≥0，解得m≤1，設方程兩根分別為x1，x2，而x1+x2＝﹣2＜0，則x1x2＝m＞0，所以m的取值范圍為0＜m≤1．故答案為0＜m≤1．【分析】根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x111．【答案】y=-(x-2【解析】【解答】解：將拋物線y＝﹣x2向右平移2個單位所得函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2．故答案為：y＝﹣（x﹣2）2．【分析】拋物線平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，據(jù)此求解。12．【答案】x≤-1或x≥2【解析】【解答】解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2，觀察函數(shù)圖象可知，當x≤﹣1或x≥2時，函數(shù)值y≥0．故答案為：x≤﹣1或x≥2．【分析】y≥0指的是函數(shù)圖象在x軸上方的部分，確定這部分圖象對應的x的取值范圍即可。13．【答案】20【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：3，壩高BC＝10m，∴BCAC解得：AC＝103，則AB＝BC2故答案為：20．【分析】坡比i=tan14．【答案】1<m<5【解析】【解答】解：如圖，由題意可知C（3，1.8），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+1.8，把A（0，0.9）代入y＝a（x﹣3）2+1.8，得a＝﹣0.1，∴所求的拋物線的解析式是y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，當y＝1.4時，﹣0.1（x﹣3）2+1.8＝1.4，解得x1＝1，x2＝5，∴則m的取值范圍是1＜m＜5．故答案為：1＜m＜5．【分析】先確定頂點C的坐標，設二次函數(shù)的解析式為頂點式，再把A（0，0.9）代入求出a＝﹣0.1，寫出解析式求解即可。15．【答案】解：2cos30°-tan60°+sin45°cos45°

=2×32-3+【解析】【分析】先把特殊角的三角函數(shù)值代入，再根據(jù)二次根式的運算法則計算即可。16．【答案】解：畫樹狀圖如下：

共有6種等可能的結果，其中小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是A和C的結果有2種，

∴小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是A和C的概率為26=【解析】【分析】先畫樹狀圖，確定所有等可能的結果和小蔡抽到的兩盒吉祥物恰好是A和C的結果，再根據(jù)概率的公式計算即可。17．【答案】解：設該藥店利潤平均每月的增長率為x，

依題意得：5000(1+x)2=11250，

整理得：(1+x)2=2.25，

解得：x1=0.5=50%，【解析】【分析】基本關系：初量×（1+增長率）2=末量，據(jù)此列方程求解即可。18．【答案】（1）證明：∵∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高．∴∠ADB=90°，∠B+∠C=90°∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C又∵∠B=∠B∴△ABD∽△CBA，（2）解：∵△ABD∽△CBA∴ABCB又AB=6，BC=10∴BD=A【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意結合直角三角形的性質即可得到∠ADB=90°，∠B+∠C=90°，進而即可得到∠BAD=∠C，再運用相似三角形的判定即可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的性質結合題意代入數(shù)值即可求解。19．【答案】（1）解：如圖①，AD即為所求．

（2）解：如圖②，取格點M，N，使AM=2，CN=3，AM//CN，連接MN交AC于點E，連接BE，

則△AEM∽△CEN，

∴AECE=AMCN=23，

∴S（3）解：如圖③，取格點G，使AC=AG，AC⊥AG，取AG與網(wǎng)格線的交點H，

則AHGH=13，

即AHAG=AHAC=14，

連接CH交【解析】【分析】（1）取BC的中點D，連接AD即可；

（2）在網(wǎng)格中找出AM：CN=2：3的兩個格點M、N，連接MN交AC于點E，連接AE即可；

（3）正切值等于對邊與鄰邊的比值，結合網(wǎng)格求作即可。20．【答案】（1）0.942；1898（2）0.95（3）解：25000×0.95=23750(個)．

答：估計該廠生產(chǎn)的排球合格的有23750個．【解析】【解答】解：（1）471÷500＝0.942，2000×0.949＝1898．故答案為：0.942，1898；（2）由題意知，從這批排球中任意抽取一個是合格品的概率估計值是0.95；故答案為：0.95；【分析】（1）基本關系：合格率=合格品數(shù)÷描取格品數(shù)×100%，據(jù)此求解；

（2）當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數(shù)很多，或各種可能結果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率，據(jù)此求解。

（3）用樣本的合格率估計總體的合格率，利用合格數(shù)量=總數(shù)量×合格率，據(jù)此求解即可。21．【答案】（1）A(-3，0)（2）解：∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，

∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，開口向上，

∴在-3≤x≤2范圍當x=-1時，y最小值=-4；

當x=2【解析】【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；【分析】（1）分別令x＝0和y＝0，代入函數(shù)解析式求解即可；

（2）先確定拋物線的對稱軸和開口方向，再確定-3≤x≤2范圍內y的最大值和最小值，據(jù)此求解。22．【答案】（1）解：如圖①，設AC、CE交于點G，連接DE，

∵∠ABC=90°，AB=BC=4，

∴AC=AB2+BC2=42+42=42，

∵AD、CE是Rt△ABC的中線，

∴D、E分別為CB、AB的中點，

∴DE//AC，DE=12AC=22，

∴△DGE∽△AGC，

∴DGAG=EGCG=DEAC=12，

∴DG=13AD，EG=13CE，

∵M、N分別是AD和CE的中點，

∴DM=（2）5（3）4或2【解析】【解答】解：(2)【應用】如圖②，∵ABBC=12，

∴BC=2AB，

∵∠ABC=90°，

∴AC=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5AB，

∴ABAC=55，

∵AD=12AB，AE=∵△ABC是等邊三角形，AB=8，

∴BC=AB=8，

∵F是BE中點，

∴FE=BF，

∴CDBC=FEBF=1，

∴CD=BC=8，

∴CF=12CD=4；

如圖④，CF

∵CGBC=FEBF=1，

∴CG=BC=8，

∴CF=12GE，

由旋轉得DE=CD，∠CDE=120°，

∴CF=12CD=12DE，∠EDG=180°-∠CDE=60°，

∴12GE=12DE，

∴GE=DE，

【分析】（1）設AC、CE交于點G，連接DE，用股定理求出AC的長，利用中位線定理求出DE的長，證△DGE∽△AGC和△MGN∽△DGE，利用相似三角形的性質求解即可；

（2）根據(jù)旋轉的性質證明△ABD∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質計算即可；

（3）分兩種情況：CF和DE平行，CF和DE平平行，根據(jù)等邊三角形的判定和性質，平行線分線段成比例的性質求解即可。23．【答案】（1）3（2）解：BP=8-2t(0<t<4)（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD=10，CD=AB=8，

當點P在AB邊上時，0<t<4，則AP=2t，如圖1，

∴BP=8-2t，

∴S△BDQ=12BD?BP=12×6(8-2t)=24-6t，

由題意得24-6t=6，

解得：t=3；

當點P在BC邊上時，4<t<9，如圖2，BP=2t-8，

∴CP=BC-BP=10-(2t-8)=18-2t，

∵PQ//BD，

∴DQBP=CDBC，即DQ2t-8=810，

∴DQ=45(2t-8)=85t-325（4）解：t的值為72或26-5【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD=10，AB=8，BD⊥AB，

∴BD=AD2-AB2=102-82=6，

∴tanA=BDAB=68=34，

故答案為：34．

（2）當點P在AB邊上時，0＜t＜4，則AP＝2t，

∴BP＝AB（4）當點P在AB邊上時，0<t<4，則AP=2t，BP=8-2t，

令8-2t=4，

解得：t=2，

∵PQ∥BD，

∴△APQ∽△ABD，

∴PQAP=BDAB，即PQ2t=68，

∴PQ=32t，

當0<t≤2時，如圖3，設BQ交MN于K，

∵四邊形PQMN是矩形，

∴MN∥PQ，MN=PQ=32t，

∴△BKN∽△BQP，

∴KNPQ=BNBP，即KN32t=8-2t-48-2t，

∴KN=6t-3t28-2t，

∴MK=MN-KN=32t-6t-3t28-2t=3t4-t，

由題意得：S△MQKS矩形PQMN=18，

∴S矩形PQMN=8S△MQK，

即4×32t=8×12×4×3t4-t，

解得：t=-4(不符合題意，舍去)；

當2<t<4時，如圖4，BP=8-2t，

由題意得：S△BPQS矩形PQMN=18，

∴S矩形PQMN=8S△BPQ，

即4×32t=8×12×32t(8-2t)，

解得：t1=0(不符合題意，舍去)，t2=72；

當點P在BC邊上時，4<t<9，則BP=2t-8，

如圖5，當4<t≤6時，設BQ交PN于K，

【分析】（1）正切的值等于對邊與鄰邊的比值，據(jù)此求解即可；

（2）分兩種情況：①當點P在AB邊上時，0＜t＜4，當點P在BC邊上時，4＜t＜9；（3）分兩種情形：當點P在AB邊上時，0＜t＜4，當點P在BC邊上時，4＜t＜9，根據(jù)平行四邊形的性質和三角形的面積建立方程求解即可；（4）分四種情形分別求解即可，當0＜t≤2時，當2＜t＜4時，當4＜t≤6時，當6＜t＜9時．根據(jù)平行四邊形的性質，結合平行線分線段成比例和相似三角形的判定和性質求解即可。24．【答案】（1）(8，0（2）解：設拋物線的解析式為y=a(x-4)2+4，

∵該拋物線經(jīng)過點(0，0)，

∴16a+4=0，

∴a=-1（3）解：①∵點T(t，0)，過點T作y軸的平行線交直線y=13x于點D，交拋物線于點E，

∴D(t，13t)，E(t，-14t2+2t)，

當D，E重合時，13t=-14t2+2t，

∴t=0或t=203．

∴C(203，209).當點D在點C的左側時，t<203，

∴DE=-14t2+2t-13t=-14t2+53t，

∴矩形DEFG的面積=DE?DG

=-12t2+103t=-12(t-103