2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.5.2簡單的三角恒等變換二課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修第一冊

PAGE11-簡潔的三角恒等變換(二)(15分鐘35分)1.設(shè)sinQUOTE=QUOTE，則sin2θ= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.sin2θ=-cosQUOTE=2sin2QUOTE-1=2×QUOTE-1=-QUOTE.2.已知等腰三角形的頂角的余弦值等于QUOTE，則它的底角的余弦值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)等腰三角形的頂角為α，底角為β，則cosα=QUOTE.又β=QUOTE-QUOTE，所以cosβ=cosQUOTE=sinQUOTE=QUOTE=QUOTE.3.已知函數(shù)f(x)=sinx+acosx的圖象的一條對稱軸是x=QUOTE，則函數(shù)gQUOTE=asinx+cosx的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由于函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=QUOTE對稱，則f(0)=fQUOTE，所以a=-QUOTE-QUOTE，所以a=-QUOTE，所以g(x)=-QUOTEsinx+cosx=QUOTEsinQUOTE，所以g(x)max=QUOTE.【補償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=sinx-cosQUOTE的值域為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.f(x)=sinx-cosQUOTE=QUOTEsinx-QUOTEcosx=QUOTEsinQUOTE，所以f(x)∈QUOTE.4.函數(shù)y=cos2QUOTE+sin2QUOTE-1的最小正周期為_______.

【解析】y=cos2QUOTE+sin2QUOTE-1=QUOTE+QUOTE-1=QUOTE=QUOTEsin2x，所以T=QUOTE=π.答案：π【補償訓(xùn)練】函數(shù)y=QUOTE的最小正周期等于 ()A.QUOTE B.π C.2π D.3π【解析】選C.y=QUOTE=tanQUOTE，T=QUOTE=2π.5.如圖，l1，l2，l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2之間的距離是1，l2與l3之間的距離是2，正三角形ABC的三個頂點分別在l1，l2，l3上，則△ABC的邊長等于_______.

【解析】設(shè)其邊長為a，AB與l2的夾角為θ，易知1=asinθ，2=asinQUOTE，所以2sinθ=sinQUOTE，即QUOTEcosθ-QUOTEsinθ=0，可得tanθ=QUOTE，所以sinθ=QUOTE，所以a=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE6.已知tan(α+β)=λtan(α-β)，其中λ≠1，求證：QUOTE=QUOTE.【證明】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.已知sinQUOTE=QUOTE，則cos2QUOTE的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為sinQUOTE=QUOTE，則cos2QUOTE=cos2QUOTE=sin2QUOTE=QUOTE.2.若函數(shù)f(x)=5cosx+12sinx在x=θ時取得最小值，則cosθ等于()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.f(x)=5cosx+12sinx=13QUOTE=13sin(x+α)，其中sinα=QUOTE，cosα=QUOTE，由題意知θ+α=2kπ-QUOTE(k∈Z)，得θ=2kπ-QUOTE-α(k∈Z)，所以cosθ=cosQUOTE=cosQUOTE=-sinα=-QUOTE.3.已知f(x)=sin2QUOTE，若a=fQUOTE，b=fQUOTE，則 ()A.a+b=0 B.a-b=0C.a+b=1 D.a-b=1【解析】選C.a=fQUOTE=sin2QUOTE=QUOTE=QUOTE，b=fQUOTE=sin2QUOTE=QUOTE=QUOTE，則可得a+b=1.4.已知a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2QUOTE滿意fQUOTE=f(0)，則當(dāng)x∈QUOTE時，f(x)的值域為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意得f(x)=QUOTEsin2x-QUOTE+QUOTE=QUOTEsin2x-cos2x.又fQUOTE=f(0)，所以a=2QUOTE，所以f(x)=QUOTEsin2x-cos2x=2sinQUOTE，所以當(dāng)x∈QUOTE時，2x-QUOTE∈QUOTE，f(x)∈QUOTE.【補償訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)=QUOTEcosx，0≤x<QUOTE，則f(x)的最大值是()A.1 B.2C.QUOTE+1 D.QUOTE+2【解析】選B.f(x)=QUOTEcosx=QUOTEcosx=QUOTEsinx+cosx=2sinQUOTE.因為0≤x<QUOTE，所以QUOTE≤x+QUOTE<QUOTEπ，所以當(dāng)x+QUOTE=QUOTE時，f(x)取到最大值2.二、多選題(共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5.函數(shù)y=cosQUOTE+sinQUOTE具有性質(zhì) ()A.最大值為QUOTEB.最大值為1C.圖象關(guān)于QUOTE對稱D.圖象關(guān)于直線x=-QUOTE對稱【解析】選BD.y=cosQUOTE+sinQUOTE=-sinx+QUOTEcosx+QUOTEsinx=QUOTEcosx-QUOTEsinx=cosQUOTE，所以函數(shù)的最大值為1，令x+QUOTE=0，求得x=-QUOTE，可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-QUOTE對稱.6.已知cosQUOTE·cosQUOTE=QUOTE，θ∈QUOTE，則 ()A.sin2θ=QUOTE B.sin2θ=-QUOTEC.sinθ+cosθ=-QUOTE D.sinθ+cosθ=QUOTE【解析】選BC.cosQUOTE·cosQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEcos2θ=QUOTE，所以cos2θ=QUOTE.因為θ∈QUOTE，所以2θ∈QUOTE，所以sin2θ=-QUOTE，且sinθ+cosθ<0.所以(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1-QUOTE=QUOTE.所以sinθ+cosθ=-QUOTE.三、填空題(每小題5分，共10分)7.函數(shù)f(x)=sinx+cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為_______，已知sinα=QUOTE，且α∈QUOTE，則fQUOTE=_______.

【解析】f(x)=sinx+cosx=QUOTEsinQUOTE，當(dāng)2kπ-QUOTE≤x+QUOTE≤2kπ+QUOTE，k∈Z，即2kπ-QUOTE≤x≤2kπ+QUOTE，k∈Z時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)的遞增區(qū)間是QUOTE，k∈Z.因為sinα=QUOTE，α∈QUOTE，所以cosα=QUOTE，所以fQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinα+QUOTEcosα=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE，k∈ZQUOTE8.在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形(如圖所示).假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于_______.

【解析】由題意知5cosθ-5sinθ=1，θ∈QUOTE.所以cosθ-sinθ=QUOTE.因為(cosθ+sinθ)2+(cosθ-sinθ)2=2，所以cosθ+sinθ=QUOTE，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=QUOTE.答案：QUOTE【補償訓(xùn)練】如圖所示，有一塊正方形的鋼板ABCD，其中一個角有部分損壞，現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH，其面積是原正方形鋼板面積的三分之二，則應(yīng)按角度x=_______來截.

【解析】設(shè)正方形鋼板的邊長為a，截后的正方形邊長為b，則QUOTE=QUOTE，QUOTE=QUOTE，又a=GC+CF=bsinx+bcosx，所以sinx+cosx=QUOTE，所以sinQUOTE=QUOTE.因為0<x<QUOTE，所以QUOTE<x+QUOTE<QUOTE，所以x+QUOTE=QUOTE或QUOTE，x=QUOTE或QUOTE.答案：QUOTE或QUOTE四、解答題(每小題10分，共20分)9.已知函數(shù)f(x)=sinx·(2cosx-sinx)+cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若QUOTE<α<QUOTE，且f(α)=-QUOTE，求sin2α的值.【解析】(1)因為f(x)=sinx·(2cosx-sinx)+cos2x，所以f(x)=sin2x-sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=QUOTEsinQUOTE，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π.(2)f(α)=-QUOTE，即QUOTEsinQUOTE=-QUOTE，sinQUOTE=-QUOTE.因為QUOTE<α<QUOTE，所以QUOTE<2α+QUOTE<QUOTE，所以cosQUOTE=-QUOTE，所以sin2α=sinQUOTE=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.點P在直徑AB=1的半圓上移動，過點P作切線PT，且PT=1，∠PAB=α，則當(dāng)α為何值時，四邊形ABTP的面積最大？【解析】如圖所示.因為AB為半圓的直徑，所以∠APB=QUOTE，又AB=1，所以PA=cosα，PB=sinα.又PT切半圓于P點，所以∠TPB=∠PAB=α，所以S四邊形ABTP=S△PAB+S△TPB=QUOTEPA·PB+QUOTEPT·PB·sinα=QUOTEsinαcosα+QUOTEsin2α=QUOTEsin2α+QUOTE(1-cos2α)=QUOTEsinQUOTE+QUOTE.因為0<α<QUOTE，所以-QUOTE<2α-QUOTE<QUOTE，所以當(dāng)2α-QUOTE=QUOTE，即α=QUOTE時，S四邊形ABTP取得最大值QUOTE+QUOTE.已知函數(shù)f(x)=sin4x+cos4x，x∈QUOTE，若f(x1)<f(x2)，則肯定有()A.x1<x2